I Rozwiązać równania:

1.

1

1−x

+

1

1+x

= 0

zał: x ∈ R\{−1, 1}; rozw: x ∈ ∅

2.

x+3
x+2

−

x−3
x−2

=

x

2

x

2

−4

+ 1

zał: x ∈ R\{−2, 2}; rozw: x ∈ {−1}

3.

x

x+2

+

1

x−2

=

4

(x−2)(x+2)

zał: x ∈ R\{−2, 2}; rozw: x ∈ {−1}

4.

5x

2

−32x+3

x

2

−4x+3

= 2 −

9−3x

x−1

zał: x ∈ R\{1, 3}; rozw: x ∈ {−5}

5.

5x

2

−32x+3

x

2

−4x+6

=

10

2−x

− 3

zał: x ∈ R\{2, 3}; rozw: x ∈ {

2
3

, 1}

6. |

3

x+1

| = 1

zał: x ∈ R\{−1}; rozw: x ∈ {−4, 2}

7. |x

2

− 3| = 9

zał: x ∈ R; rozw: x ∈ {2

√

3, −2

√

3}

8.

3

|x|+2

= 1

zał: x ∈ R; rozw: x ∈ {−1, 1}

9.

2

|3x−1|−1

= 1

zał: x ∈ R\{

2
3

, 0}; rozw: x ∈ {−

2
3

}

10.

x

x−1

=

1
2

|x − 2| + 2

zał: x ∈ R\{1}; rozw: x ∈ {2}

11.

5x+11

x+2

= |x + 1| + 6

zał: x ∈ R\{−2}; rozw: x ∈ {−1}

12.

4|x|−3

x

= x

zał: x ∈ R\{0}; rozw: xin{−3, −1, 1, 3}

13.

√

4 − x =

√

5 − 2x

zał: x ∈ (−∞;

5
2

]; rozw: x ∈ {1}

14.

√

4 − x = −

√

5 − 2x

zał: x ∈ (−∞;

5
2

]; rozw: x ∈ ∅

15.

√

2 − x =

√

x − 5

zał: x ∈ (−∞; 2) ∪ (5; +∞); rozw: x ∈ ∅

16.

√

2 − x =

√

x

2

− 4

zał: x ∈ (−∞; −2) ∪ {2}; rozw: x ∈ {−3, 2}

17.

√

3 − 2x =

√

x + 1

zał: x ∈ [−1;

3
2

] ∪ {2}; rozw: x ∈ {

2
3

}

18.

√

9 − x

2

=

√

6 − 2x

zał: x ∈ [−3; 3]; rozw: x ∈ {−1, 3}

19. x +

√

x

2

− 1 = 0

zał: x ∈ (∞; −1] ∪ [1; +∞); rozw: x ∈ ∅

20. 2x +

√

x

2

+ 1 = 0

zał: x ∈ R; rozw: x ∈ {−

√

3

3

}

21.

√

x

2

= 4

zał: x ∈ R; rozw: x ∈ {−4, 4}

22. (

√

x)

2

= 4

zał: x ∈< 0, +∞); rozw: x ∈ {4}

II Rozwiązać nierówność.

1.

1
x

> −1

zał: x ∈ R\{0}; rozw: x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, +∞)

2.

3−x
x+2

< 0

zał: x ∈ R\{−2}; rozw: x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞)

3.

2x−3
x

2

−1

­ 2

zał: x ∈ R\{−1, 1}; rozw: x ∈ (−1, 1)

4.

x

x

2

−5x+6

¬

1

x−2

zał: x ∈ R\{2, 3}; rozw: x ∈ (2, 3)

5.

(x−1)

3

x

3

(x−2)

2

zał: x ∈ R\{0, 2}; rozw: x ∈ (0, 1)

6.

x

2

−5

x

< x + 1

zał: x ∈ R\{0}; rozw: x ∈ (−∞, −5) ∪ (0, +∞)

7.

x

2

−1

2x+5

¬ 3

zał: x ∈ R\{−

5
2

}; rozw: x ∈ (−∞, −

5
2

) ∪ (−2, +∞)

1

8. |

1
3

x − 1| < 5

zał: x ∈ R; rozw: x ∈ (−12, 18)

9. |

2x−1

x+2

| < 2

zał: x ∈ R\{−2}; rozw: x ∈ (−

3
4

, +∞)

10. |

x+2
x−1

| > 3

zał: x ∈ R\{1}; rozw: x ∈ (

1
4

, 1) ∪ (1, 2

1
2

)

11.

x

2

−4

4|x|−x

2

> 0

zał: x ∈ R\{−4, 0, 4}; rozw: x ∈ (−4, −2) ∪ (2, 4)

12.

2|2x−2|+1

x+2

> 1

zał: x ∈ R\{−2}; rozw: x ∈ (−2, 1) ∪ (

3
5

, +∞)

13. |3x − 5| < |x + 9|

zał: x ∈ R; rozw: x ∈ (−1, 7)

14.

√

x

2

− 1 < x

zał: x ∈ R\ < −1, 1 >; rozw: x ∈ {1}

15.

√

x

2

− 1 ¬ x − 1

zał: x ∈ R\ < −1, 1 >; rozw: x ∈ (1, +∞)

16.

√

x

2

− 1 > 1 − 2x

zał: x ∈ R\ < −1, 1 >; rozw: x ∈ (1, +∞)

17.

√

x

2

− 16 < 2 − x

zał: x ∈ R\ < −4, 4 >; rozw: x ∈ (−∞, −4)

III Obliczyć:

log

3

9,

log

4

1,

log

7

7

3

,

log

2

16,

log

2

1
4

,

log

5

0, 04,

log

0,5

32,

log 0, 0001,

log

1
3

9,

log

3

√

100,

log

√

2

2

√

2,

log

1
9

3

3

√

9.

IV Rozwiązać równania:

log

1
2

= −3,

log

2

(x + 1) = 5,

log

√

2

(

1

x

− 3) = 4,

log

0,1

(2x + 1) = −1,

log

x

4 = 2,

log

x

125 = 3, 2

x

= 7,

7

5x−2

= 18,

(

1
2

)

x+2

= 3,

(

2
3

)

1−x

= −2.

V Rozwiązać równania i nierówności:

1. log(x − 2) + log(2x − 3) = 1

zał: x ∈ (2, +∞); rozw: x ∈ (4, −

1
2

)

2. log

4

(x + 3) − log

4

(x − 1) = 2 − log

4

8

zał: x ∈ (1, +∞); rozw: x ∈ {5}

3. log

2

(x − 2) − 1 = log

2

(2x − 4) − log

2

(x + 2)

zał: x ∈ (2, +∞); rozw: x ∈ {6}

3. log

1
3

(x+10)+log

1
3

(7−2x) = −4

zał: x ∈ (−10,

7
2

); rozw: x ∈ {−1, −

10

2

}

4. log

2

x + 2 = 3 log x

zał: x ∈ (0, +∞); rozw: x ∈ {10, 100}

2. log

2

(x + 2) + log

2

(x + 14) < 6

zał: x ∈ (6, +∞); rozw: x ∈ (8, +∞)

3. log

1
2

(2x − 1) + log

1
2

(5 − 3x) ­ 0

zał: x ∈ (

1
2

,

5
3

); rozw: x ∈ (

1
2

,

2
3

) ∪ (

3
2

,

5
2

)

4. log

√

2

|x + 1| + log

√

2

|x| > 2

zał: x ∈ {1, 0}; rozw: x ∈ (−∞, −2) ∪ (1, +∞)

5. log

4

(2x − 6) < 2 − log

4

(3x − 11)

zał: x ∈ (

11

3

, +∞); rozw: x ∈ (

11

3

, 5)

6. log

4

log

3

log

2

x = 0

zał: x ∈ (2, +∞); rozw: x ∈ {8}

7. log

1
3

log

4

(x

2

−5) > 0

zał: x ∈ (−∞, −

√

6)∪(

√

6, +∞); rozw: x ∈ (−3, −

√

6)∪(

√

6, 3)

8. |3 log x − 1| < 2

zał: x ∈ (0, +∞); rozw: x ∈ (

3

√

0, 1, 10)

9. log

2

(1 −

1
x

) ­ 1

zał: x ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞); rozw: x ∈ (−1, 0)

10. log

1
2

(1 −

1

x

) ­ 1

zał: x ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞); rozw: x ∈ (1, 2)

2