Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
1
WYKŁAD 3.
RENTY PEWNE
3.1. Renty o ratach stałych
3.2. Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
3.3. Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
3.4. Renta uogólniona
3.1. RENTY O RATACH STAŁYCH
Rentą nazywamy ciąg kapitałów (ciąg rat) równomiernie rozłożony w czasie –
kolejne daty kapitałów następują po sobie w stałych równych odstępach czasu.
Rentą kapitałową nazywamy ciąg systematycznie uzyskiwanych dochodów
(ciąg rat) z kapitału nie wymagający dodatkowego wkładu pracy. Kapitał, z
którego wypłacana jest renta nazywamy kapitałem rentowym.
Rentę nazywamy pewną, jeżeli liczba rat jest z góry ustaloną liczbą natural-
ną n
∈N lub jest liczbą nieskończoną. Rentę nazywamy życiową, jeżeli licz-
ba rat jest zmienną losową.
Rentę pewną nazywamy czasową, jeżeli liczba rat jest skończona w prze-
ciwnym przypadku rentę pewną nazywamy nieskończoną.
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
2
Okresem renty nazywamy stały okres czasu pomiędzy kolejnymi sąsiedni-
mi parami jej rat.
Rentę pewną nazywamy prostą (zgodną), jeżeli okres stopy procentowej,
okres kapitalizacji i okres renty są sobie równe. W przeciwnym przypadku
rentę nazywamy uogólnioną (niezgodną).
Rentę prostą nazywamy płatną z dołu, jeżeli terminem płatności j-tej raty tej
renty jest koniec j-tego okresu bazowego.
Rentę prostą nazywamy płatną z góry, jeżeli terminem płatności j-tej raty tej
renty jest początek j-tego okresu bazowego.
R
n-1
R
n
R
1
0
Raty renty
Początek
renty
n
czas (okresy bazowe)
n-1
R
3
3
R
2
2
1
Koniec
renty
Rys. 1. Renta prosta czasowa płatna z dołu.
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
0
R
n
czas (okresy bazowe)
Raty renty
Początek
renty
Koniec
renty
R
2
1
2
R
3
3
n-1
n
R
1
Rys. 2. Renta prosta czasowa płatna z góry.
RENTY PROSTE (ZGODNE)
i –bazowa stopa procentowa
kapitalizacja zgodna z dołu
płatności zgodne z dołu
okres stopy procentowej = okres kapitalizacji = okres renty
Wartością początkową renty złożonej z n rat nazywamy sumę rat zdys-
kontowanych na początek renty.
Renta płatna z dołu:
n
n
)
1
n
(
n
2
2
1
1
)
0
(
)
i
1
(
R
)
i
1
(
R
)
i
1
(
R
)
i
1
(
R
R
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
L
(1)
(2)
∑
=
−
+
=
n
1
j
j
)
0
(
)
i
1
(
R
R
j
Renta płatna z góry:
)
1
n
(
n
)
2
n
(
1
n
1
2
1
)
0
(
)
i
1
(
R
)
i
1
(
R
.
.
.
)
i
1
(
R
R
R
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
(3)
Renty
pewne
3
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
4
(4)
∑
=
+
−
+
+
=
n
1
j
1
j
j
)
0
(
)
i
1
(
R
R
Z zapisanych wyżej wzorów wynika, że:
(5)
)
i
1
(
R
R
)
0
(
)
0
(
+
=
+
R
(0)
– wartość początkowa n- okresowej renty prostej płatnej z dołu,
R
(0+)
– wartość początkowa n- okresowej renty prostej płatnej z góry,
R
j
– j- ta rata renty,
i
– bazowa stopa procentowa,
t = 0 – początek renty,
t = n – koniec renty.
Wartość początkowa renty prostej płatnej z góry jest równa wartości po-
czątkowej renty prostej płatnej z dołu oprocentowanej na jeden okres czasu.
Renty stałe R
j
=R dla j=1,2, . . . n.
Rentę nazywamy stałą, jeżeli wszystkie raty renty są sobie równe.
Dla renty stałej wzory (1) i (2) przyjmują postać:
(6)
∑
=
−
+
=
n
1
j
j
)
0
(
)
i
1
(
R
R
(7)
∑
=
+
−
+
+
=
n
1
j
1
j
)
0
(
)
i
1
(
R
R
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
5
Rentę nazywamy jednostkową, jeżeli wszystkie raty renty są równe jedno-
stce wartości.
(8)
∑
=
−
+
=
n
1
j
j
i
|
n
)
i
1
(
a
(9)
∑
=
+
−
+
=
n
1
j
1
j
i|
n
)
i
1
(
a
&&
(10)
)
i
1
(
a
a
i|
n
i|
n
+
=
&&
i|
n
a
– wartość początkowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z dołu,
i|
n
a&&
– wartość początkowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z góry,
(11)
i|
n
)
0
(
a
R
R
=
(12)
i
|
n
)
0
(
a
R
R
&&
=
+
Wartość początkowa renty stałej płatnej z dołu (z góry) jest równa ilo-
czynowi stałej raty renty oraz wartości początkowej renty jednostkowej
płatnej z dołu (z góry).
n
)
1
n
(
2
1
i|
n
)
i
1
(
)
i
1
(
.
.
.
)
i
1
(
)
i
1
(
a
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
.
(13)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
6
Wartość początkowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z
dołu, jest równa sumie n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o
wyrazie początkowym a
1
= (1+i)
-1
oraz o ilorazie q = (1+i)
-1
Wartość początkowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z
dołu, jest równa sumie n kolejnych czynników dyskontujących.
(14)
q
1
a
S
n
1
n
−
=
q
1
−
1
n
1
i|
n
)
i
1
(
1
)
i
1
(
1
)
i
1
(
a
−
−
−
+
−
+
−
⋅
+
=
(15)
(16)
i
v
1
i
)
i
1
(
1
a
n
n
i
|
n
−
=
+
−
=
−
(17)
d
v
1
d
)
i
1
(
1
a
n
n
i
|
n
−
=
+
−
=
−
&&
v=(1+i)
-1
– czynnik dyskontujący,
i
– bazowa stopa procentowa,
d
– bazowa stopa dyskontowa d= i(1+i)
-1
,
n
– liczba rat jednostkowych.
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
7
Przykład 1
Wyznaczyć wartość początkową stałej renty rocznej o racie R=10 tys. zł płat-
nej przez 10 kolejnych lat z dołu (z góry). Roczna stopa procentowa i=0,24.
6818
,
3
24
,
0
)
24
,
0
1
(
1
a
10
24
,
0
|
n
≈
+
−
=
−
.
5654
,
4
24
.
1
6818
,
3
)
i
1
(
a
a
24
,
0
|
n
24
,
0
|
n
≈
⋅
≈
+
=
&&
818
,
36
6818
,
3
10
a
R
R
i
|
n
)
0
(
=
⋅
=
=
tys. zł.
654
,
45
5654
,
4
10
a
R
R
i
|
n
)
0
(
=
⋅
=
=
+
&&
tys. zł.
WARTOŚĆ POCZĄTKOWA RENTY
JEDNOSTKOWEJ( n=20)
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
18,00
20,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
STOPA PROCENTOWA "i"
WARTO
ŚĆ
POCZ
Ą
TKOWA
Rys.3. Wykres funkcji
i
|
n
a
(n=20 stałe)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
8
Rys.4. Wykres funkcji
i
|
n
a
(i stałe)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
Czas trw ania renty-n liczba okresów
Wa
rt
ość
po
cz
ątk
ow
a r
enty
je
dnos
tk
ow
ej
n-
ok
re
so
w
ej
i=0,05
i=0,1
i=0,15
i=0,2
Ustalone n
∈N
i
|
n
a
- ciągła malejąca i wypukła funkcja zmiennej stopy procentowej „i”
Ustalone i
∈(0,1)
i
|
n
a
- rosnąca funkcja zmiennej liczby rat renty „n”
Wyznaczyć stopę procentową renty stałej
c
R
R
a
Ra
R
)
0
(
i|
n
i|
n
)
0
(
=
=
=
c
i
)
i
1
(
1
a
n
i|
n
=
+
−
=
−
(18)
gdzie: c – stała (wartość początkowa renty jednostkowej)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
9
Przykład 2 (Wyznaczyć stopę procentową renty)
Obliczyć stopę procentową renty o stałych rocznych ratach równych 6.000zł
wiedząc, że renta ta ma być wypłacana przez 10 lat, a jej wartość początkowa
jest równa 30.000zł
R
(0)
= R
a
i
10
30.000 = 6.000
a
i
10
i
)
i
1
(
1
a
5
10
i
10
−
+
−
=
=
0188
,
5
a
15
,
0
10
=
8332
,
4
a
16
,
0
10
=
i
10
a
)
i
(
y
=
y
0
0,16
0,15
i
a
i
10
a
10 0 16
,
15
,
0
10
a
(x
2
,y
2
)
(x
1
,y
1
)
i
Rys. 5. Interpolacja liniowa
)
x
x
(
x
x
y
y
y
y
1
1
2
1
2
1
−
−
−
=
−
)
x
x
(
y
y
x
x
)
y
y
(
1
1
2
1
2
1
−
=
−
−
−
1
2
1
2
1
1
y
y
x
x
)
y
y
(
x
x
−
−
−
+
=
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
10
%
10
,
15
i
151012
,
0
001012
,
0
15
,
0
i
)
053879
,
0
(
)
0188
,
0
(
15
,
0
i
0188
,
5
8332
,
4
15
,
0
16
,
0
)
0188
,
5
5
(
15
,
0
i
≅
=
+
=
−
⋅
−
+
=
−
−
−
+
=
*********************************
☺☺☺☺☺☺☺
Wyznaczyć liczbę rat renty n
∈N
i
)
i
1
(
1
R
R
a
R
n
)
0
(
i|
n
)
0
(
−
+
−
=
=
)
i
1
(
ln
)
R
i
R
(
ln
R
ln
n
)
0
(
+
−
−
=
(19)
Liczba rat renty powinna być liczbą naturalną n
∈N
n = Ent[n],
n
= n +1
n
≤ n ≤
n
Metoda I (Modyfikacja wartości rat renty)
Przyjąć liczbę rat n
:= n ∨ n:=
n
i wyznaczyć nową wartość raty renty
Metoda II (Modyfikacja ostatniej raty)
Przyjąć liczbę rat n
:=
n
i wyznaczyć ostatnią niepełną ratę renty lub Przyjąć
n
:= n i wyznaczyć ostatnią podwyższoną ratę renty.
Przykład 3.
Wyznaczyć liczbę rat renty o wartości początkowej R
(0)
=
100.000zł, jeżeli sto-
pa procentowa wynosi i =5%, a raty są stałe i równe 10.000zł.
15
n
,
14
n
2066
,
14
)
05
,
1
ln(
)
5000
10000
ln(
)
10000
ln(
n
=
=
≈
−
−
=
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
11
Metoda I (Modyfikacja wartości raty)
Zmiana raty stałej renty
Dla n:= n = 14
44
,
10102
89864
,
9
100000
a
R
R
05
,
0
14
)
0
(
≈
=
=
zł
Dla n
:=
n
= 15
634
9
37966
,
10
100000
a
R
R
05
,
0
15
)
0
(
≈
=
=
zł
Metoda II (Modyfikacja ostatniej raty)
n
i
1
n
)
0
(
)
i
1
(
x
Ra
R
−
−
+
+
=
(20)
(n-1) rat o wartości R
n – ta rata o wartości x
)
Ra
R
(
)
i
1
(
x
i
1
n
)
0
(
n
−
−
+
=
(21)
Dla n
:=
n
= 15
x = (1 + 0,05)
15
(100000-10000
⋅9,89864)≈ 2107zł
Dla n:= n = 14
x = (1 + 0,05)
14
(100000-10000
⋅9,39357)≈ 12006zł
*********************************
☺☺☺☺☺☺
Renta nieskończona n
→∞
i
1
i
)
i
1
(
1
lim
a
lim
a
n
n
i|
n
n
=
+
−
=
=
−
∞
→
∞
→
∞
(22)
i
1
a
=
∞
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
12
d
1
d
)
i
1
(
1
lim
a
lim
a
n
n
i|
n
n
=
+
−
=
=
−
∞
→
∞
→
∞
&&
&&
(23)
d
1
a
=
∞
&&
(24)
i
R
R
)
0
(
=
∞
(25)
d
R
R
)
0
(
=
+
∞
Przykład 4. (Model stałej dywidendy)
Wycenić wartość akcji spółki, wiedząc, że coroczne stałe dywidendy wynoszą
300 zł, a rynkowa stopa procentowa i=22%.
Dla wyceny akcji skorzystamy ze wzoru (24)
64
,
1363
22
,
0
300
i
R
R
)
0
(
≈
=
=
∞
zł.
Jedna akcja spółki ma wartość 1363,64 zł.
Wartością końcową renty złożonej z n rat
nazywamy sumę jej rat opro-
centowanych na koniec renty.
n
1
n
2
n
2
1
n
1
)
n
(
R
)
i
1
(
R
.
.
.
)
i
1
(
R
)
i
1
(
R
R
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
(26)
(27)
∑
=
−
+
=
n
1
j
j
n
j
)
n
(
)
i
1
(
R
R
)
i
1
(
R
)
i
1
(
R
.
.
.
)
i
1
(
R
)
i
1
(
R
R
n
2
1
n
1
n
2
n
1
)
n
(
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
+
+
(28)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
13
(29)
∑
=
−
+
+
+
=
n
1
j
j
1
n
j
)
n
(
)
i
1
(
R
R
R
(n)
– wartość końcowa n- okresowej renty prostej płatnej z dołu,
R
(n+)
– wartość końcowa n- okresowej renty prostej płatnej z góry,
R
j
– j-ta rata renty,
i
– bazowa stopa procentowa,
(1+i)
j
– czynnik oprocentowujący,
t = 0
– początek renty,
t = n
– koniec renty.
(30)
)
i
1
(
R
R
)
n
(
)
n
(
+
=
+
Wartość końcowa renty prostej płatnej z góry
jest równa wartości koń-
cowej renty prostej płatnej z dołu oprocentowanej na jeden okres.
,
(31)
n
)
n
(
)
0
(
)
i
1
(
R
R
−
+
=
(32)
n
)
0
(
)
n
(
)
i
1
(
R
R
+
=
Wartość początkowa renty
jest równa wartości końcowej zaktualizowa-
nej (zdyskontowanej) na początek renty.
Wartość końcowa renty
jest równa wartości początkowej zaktualizowanej
(oprocentowanej) na koniec renty.
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
14
Renta stała R
j
=R dla j=1,2, . . . n
(33)
∑
=
−
+
=
n
1
j
j
n
)
n
(
)
i
1
(
R
R
(34)
∑
=
−
+
+
=
n
1
j
j
1
n
)
n
(
)
1
R
R
+ i
(
(35)
∑
=
−
+
=
n
1
j
j
n
i
|
n
)
i
1
(
s
(36)
∑
=
−
+
+
=
n
1
j
j
1
n
i|
n
)
i
1
(
s
&&
(37)
)
i
1
(
s
s
i|
n
i|
n
+
=
&&
i|
n
s
– wartość końcowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z dołu,
i|
n
s&&
– wartość końcowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z góry,
)
i
1
(
)
i
1
(
)
i
1
(
)
i
1
(
s
2
1
n
n
i|
n
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
L
&&
Wartość końcowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z góry
jest równa sumie n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o wy-
razie początkowym a
1
=(1+i) oraz ilorazie q=(1+i).
Wartość końcowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z góry
jest równa sumie n kolejnych czynników oprocentowujących.
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
15
)
i
1
(
1
)
i
1
(
1
)
i
1
(
s
n
i|
n
+
−
+
−
+
=
&&
d
1
)
i
1
(
s
n
i|
n
−
+
=
&&
(40)
i
1
)
i
1
(
s
n
i|
n
−
+
=
(41)
i
–
stopa
procentowa,
d
–
stopa dyskontowa równoważna stopie procentowej i
(d= i(1+i)
-1
),
n
– liczba rat jednostkowych.
Przykład 5.
Wyznaczyć wartość końcową stałej renty rocznej o racie R=10tys. zł płatnej
przez 10 kolejnych lat z dołu (z góry).
Roczna stopa procentowa i = 0,24
6434
,
31
24
,
0
1
)
24
,
0
1
(
s
10
24
,
0
10
≈
−
+
=
⏐
434
,
316
6434
,
31
10
Rs
R
i
|
n
)
n
(
=
⋅
=
=
tys. zł.
tys. zł.
378
.
392
24
,
1
434
,
316
)
i
1
(
R
R
)
n
(
)
n
(
≈
⋅
=
+
=
+
*****************************
☺☺☺☺☺☺
(42)
n
i|
n
n
i|
n
i|
n
v
s
)
i
1
(
s
a
=
+
=
−
(43)
n
i|
n
i|
n
)
i
1
(
a
s
+
=
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
16
Wartość początkowa renty jednostkowej
jest równa jej wartości końco-
wej pomnożonej przez czynnik dyskontujący (1+i)
-n
= v
n
.
Wartość końcowa renty jednostkowej
jest równa jej wartości początko-
wej pomnożonej przez czynnik oprocentowujący (1+i)
n
.
Renta stała
(44)
i|
n
)
n
(
s
R
R
=
(45
i
|
n
)
n
(
s
R
R
&&
=
+
Wartość końcowa renty stałej płatnej z dołu (z góry)
jest równa iloczy-
nowi stałej raty renty oraz wartości końcowej renty jednostkowej płatnej z
dołu (z góry).
WARTOŚĆ KOŃCOWA RENTY
JEDNOSTKOWEJ (n=20)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0,
01
0,
03
0,
05
0,
07
0,
09
0,
11
0,
13
0,
15
0,
17
0,
19
STOPA PROCENTOWA "i"
W
ART
O
ŚĆ
KO
Ń
CO
W
A
Rys.6 Wykres funkcji
i|
n
s
(n=20 stałe)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
17
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
Czas trw ania renty- n liczba okresów
Wa
rt
ość
ko
ńc
ow
a r
ent
y j
ednos
tk
ow
ej
n-
ok
re
so
w
ej
i=0,05
i=0,1
i=0,15
i=0,2
Rys.7. Wykres funkcji
i|
n
s
(i stałe)
Ustalone n
∈N
i|
n
s
- ciągła rosnąca i wypukła funkcja zmiennej stopy procentowej „i”
Ustalone i
∈(0,1)
i|
n
s
- rosnąca funkcja zmiennej liczby rat renty „n”
Stan Funduszu Emerytalnego
Jeżeli renta stała o wartości raty R wypłacana jest z funduszu emerytalnego E,
to stan funduszu po n – wypłatach dla renty wypłacanej z dołu wynosi
E
n
= E(1+i)
n
- R
i|
n
s
(44)
gdzie: E - stan funduszu emerytalnego w momencie t=0
i - stopa oprocentowania funduszu E
R - renta o stałej wysokości wypłacana z funduszu emerytalnego
E
n
- stan funduszu emerytalnego po n- wypłatach dla renty wypłacanej z
dołu
)
n
(
n
n
P
)
i
1
(
E
E
−
+
=
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
18
Jeżeli E
1
≥ E , to wysokość renty nie przekracza wartości odsetek, za jeden
okres, od funduszu emerytalnego. Wówczas, istnieje możliwość wypłacania
renty przez czas nieograniczony.
iE
≥ R
Renta wieczysta
renta stała której wysokość nie przekracza wartości odse-
tek za jeden okres, od funduszu emerytalnego.
R
w
≤ iE
Maksymalna renta wieczysta
R
w
= iE
Równanie
0
i
Rs
)
i
1
(
E
E
n
n
n
=
−
+
=
|
(45)
Określa takie wielkości E, R, i oraz n, które powoduje wyczerpanie funduszu
emerytalnego (kapitału rentowego).
Przykład 6
Na funduszu emerytalnym zgromadzono kapitał 10000zł. Z funduszu wypłaca-
na jest stała renta miesięczna z dołu. Miesięczna stopa procentowa i=0,02 .
Kapitalizacja miesięczna.
a) Wyznaczyć maksymalną rentę wieczystą
R
w
= E·i = 10.000·0,02 = 200 zł
b) Przez ile miesięcy można pobierać z funduszu rentę stałą w wysokości
300zł?
0
02
,
0
1
)
02
,
0
1
(
3
,
0
)
02
,
0
1
(
10
n
n
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
19
002
,
1
log
3
log
n
3
)
02
,
1
(
15
)
02
,
1
(
15
)
02
,
1
(
10
n
n
n
=
⇒
=
−
=
−
n=55,48 miesięcy
c) Jaki będzie stan funduszu emerytalnego po wypłaceniu 24 rat w wysokości
300zł.
(
)
126558735
,
9
08437249
,
16
E
1
)
02
,
1
(
15
)
02
,
1
(
10
E
02
,
0
1
)
02
,
0
1
(
3
,
0
)
02
,
0
1
(
10
E
P
)
i
1
(
E
E
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
−
=
−
⋅
−
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
⋅
=
−
+
=
E
24
= 6,95781tys.zł
d) Jaką stałą rentę miesięczną można wypłacić z funduszu przez 3 lata (36 mie-
sięcy)?
0
9943672
,
51
R
39887344
,
20
0
02
,
0
1
)
02
,
1
(
R
)
02
,
1
(
10
36
36
=
⋅
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
R
=
0,3923285259
tys.
zł
R
=
392,23zł
Rentą odroczoną o m okresów
nazywamy ciąg rat R
1
,R
2
, R
3
, ......o terminach
płatności m+1, m+2, m+3, ....
R
n
m+1
m+2
R
2
R
1
m+n
m
2
1
0
Rys 8. Renta odroczona
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Renty
pewne
20
Wartością początkową n-okresowej renty odroczonej o m okresów
na-
zywamy sumę rat zdyskontowanych na moment t=0
(45)
∑
=
−
−
−
+
=
n
1
j
j
m
j
)
m
(
)
i
1
(
R
R
(46)
)
0
(
m
)
m
(
R
)
i
1
(
R
−
−
+
=
(47)
gdzie: R
(-m)
– wartość początkowa renty odroczonej o m okresów czasu
i|
n
m
i|
n
m
a
)
i
1
(
a
−
+
=
i|
n
m
a
– wartość początkowa renty jednostkowej odroczonej o m okre-
sów czasu
i|
m
i|
m
n
i|
n
m
a
a
a
−
=
+
(48)
Renta nieskończona odroczona
∞
−
−
∞
+
=
R
)
i
1
(
R
m
)
m
(
(49)
m
m
)
i
1
(
i
1
a
+
=
∞
(50)
gdzie:
)
m
(
R
−
∞
– wartość początkowa nieskończonej renty odroczonej o m okresów
czasu
∞
a
m
– wartość początkowa nieskończonej renty jednostkowej odroczonej o
m okresów czasu