Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

1

WYKŁAD 3.

RENTY PEWNE

3.1. Renty o ratach stałych

3.2. Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny

3.3. Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny

3.4. Renta uogólniona

3.1. RENTY O RATACH STAŁYCH

Rentą nazywamy ciąg kapitałów (ciąg rat) równomiernie rozłożony w czasie –

kolejne daty kapitałów następują po sobie w stałych równych odstępach czasu.

Rentą kapitałową nazywamy ciąg systematycznie uzyskiwanych dochodów

(ciąg rat) z kapitału nie wymagający dodatkowego wkładu pracy. Kapitał, z

którego wypłacana jest renta nazywamy kapitałem rentowym.

Rentę nazywamy pewną, jeżeli liczba rat jest z góry ustaloną liczbą natural-

ną n

∈N lub jest liczbą nieskończoną. Rentę nazywamy życiową, jeżeli licz-

ba rat jest zmienną losową.

Rentę pewną nazywamy czasową, jeżeli liczba rat jest skończona w prze-

ciwnym przypadku rentę pewną nazywamy nieskończoną.

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

2

Okresem renty nazywamy stały okres czasu pomiędzy kolejnymi sąsiedni-

mi parami jej rat.

Rentę pewną nazywamy prostą (zgodną), jeżeli okres stopy procentowej,

okres kapitalizacji i okres renty są sobie równe. W przeciwnym przypadku

rentę nazywamy uogólnioną (niezgodną).

Rentę prostą nazywamy płatną z dołu, jeżeli terminem płatności j-tej raty tej

renty jest koniec j-tego okresu bazowego.

Rentę prostą nazywamy płatną z góry, jeżeli terminem płatności j-tej raty tej

renty jest początek j-tego okresu bazowego.

R

n-1

R

n

R

1

0

Raty renty

Początek

renty

n

czas (okresy bazowe)

n-1

R

3

3

R

2

2

1

Koniec

renty

Rys. 1. Renta prosta czasowa płatna z dołu.

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

0

R

n

czas (okresy bazowe)

Raty renty

Początek

renty

Koniec

renty

R

2

1

2

R

3

3

n-1

n

R

1

Rys. 2. Renta prosta czasowa płatna z góry.

RENTY PROSTE (ZGODNE)

i –bazowa stopa procentowa

kapitalizacja zgodna z dołu

płatności zgodne z dołu

okres stopy procentowej = okres kapitalizacji = okres renty

Wartością początkową renty złożonej z n rat nazywamy sumę rat zdys-

kontowanych na początek renty.

Renta płatna z dołu:

n

n

)

1

n

(

n

2

2

1

1

)

0

(

)

i

1

(

R

)

i

1

(

R

)

i

1

(

R

)

i

1

(

R

R

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+

+

+

=

L

(1)

(2)

∑

=

−

+

=

n

1

j

j

)

0

(

)

i

1

(

R

R

j

Renta płatna z góry:

)

1

n

(

n

)

2

n

(

1

n

1

2

1

)

0

(

)

i

1

(

R

)

i

1

(

R

.

.

.

)

i

1

(

R

R

R

−

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+

+

+

=

(3)

Renty

pewne

3

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

4

(4)

∑

=

+

−

+

+

=

n

1

j

1

j

j

)

0

(

)

i

1

(

R

R

Z zapisanych wyżej wzorów wynika, że:

(5)

)

i

1

(

R

R

)

0

(

)

0

(

+

=

+

R

(0)

– wartość początkowa n- okresowej renty prostej płatnej z dołu,

R

(0+)

– wartość początkowa n- okresowej renty prostej płatnej z góry,

R

j

– j- ta rata renty,

i

– bazowa stopa procentowa,

t = 0 – początek renty,

t = n – koniec renty.

Wartość początkowa renty prostej płatnej z góry jest równa wartości po-

czątkowej renty prostej płatnej z dołu oprocentowanej na jeden okres czasu.

Renty stałe R

j

=R dla j=1,2, . . . n.

Rentę nazywamy stałą, jeżeli wszystkie raty renty są sobie równe.

Dla renty stałej wzory (1) i (2) przyjmują postać:

(6)

∑

=

−

+

=

n

1

j

j

)

0

(

)

i

1

(

R

R

(7)

∑

=

+

−

+

+

=

n

1

j

1

j

)

0

(

)

i

1

(

R

R

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

5

Rentę nazywamy jednostkową, jeżeli wszystkie raty renty są równe jedno-

stce wartości.

(8)

∑

=

−

+

=

n

1

j

j

i

|

n

)

i

1

(

a

(9)

∑

=

+

−

+

=

n

1

j

1

j

i|

n

)

i

1

(

a

&&

(10)

)

i

1

(

a

a

i|

n

i|

n

+

=

&&

i|

n

a

– wartość początkowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z dołu,

i|

n

a&&

– wartość początkowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z góry,

(11)

i|

n

)

0

(

a

R

R

=

(12)

i

|

n

)

0

(

a

R

R

&&

=

+

Wartość początkowa renty stałej płatnej z dołu (z góry) jest równa ilo-

czynowi stałej raty renty oraz wartości początkowej renty jednostkowej

płatnej z dołu (z góry).

n

)

1

n

(

2

1

i|

n

)

i

1

(

)

i

1

(

.

.

.

)

i

1

(

)

i

1

(

a

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+

+

+

=

.

(13)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

6

Wartość początkowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z

dołu, jest równa sumie n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o

wyrazie początkowym a

1

= (1+i)

-1

oraz o ilorazie q = (1+i)

-1

Wartość początkowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z

dołu, jest równa sumie n kolejnych czynników dyskontujących.

(14)

q

1

a

S

n

1

n

−

=

q

1

−

1

n

1

i|

n

)

i

1

(

1

)

i

1

(

1

)

i

1

(

a

−

−

−

+

−

+

−

⋅

+

=

(15)

(16)

i

v

1

i

)

i

1

(

1

a

n

n

i

|

n

−

=

+

−

=

−

(17)

d

v

1

d

)

i

1

(

1

a

n

n

i

|

n

−

=

+

−

=

−

&&

v=(1+i)

-1

– czynnik dyskontujący,

i

– bazowa stopa procentowa,

d

– bazowa stopa dyskontowa d= i(1+i)

-1

,

n

– liczba rat jednostkowych.

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

7

Przykład 1

Wyznaczyć wartość początkową stałej renty rocznej o racie R=10 tys. zł płat-

nej przez 10 kolejnych lat z dołu (z góry). Roczna stopa procentowa i=0,24.

6818

,

3

24

,

0

)

24

,

0

1

(

1

a

10

24

,

0

|

n

≈

+

−

=

−

.

5654

,

4

24

.

1

6818

,

3

)

i

1

(

a

a

24

,

0

|

n

24

,

0

|

n

≈

⋅

≈

+

=

&&

818

,

36

6818

,

3

10

a

R

R

i

|

n

)

0

(

=

⋅

=

=

tys. zł.

654

,

45

5654

,

4

10

a

R

R

i

|

n

)

0

(

=

⋅

=

=

+

&&

tys. zł.

WARTOŚĆ POCZĄTKOWA RENTY

JEDNOSTKOWEJ( n=20)

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

18,00

20,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

STOPA PROCENTOWA "i"

WARTO

ŚĆ

POCZ

Ą

TKOWA

Rys.3. Wykres funkcji

i

|

n

a

(n=20 stałe)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

8

Rys.4. Wykres funkcji

i

|

n

a

(i stałe)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1

5

9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

Czas trw ania renty-n liczba okresów

Wa

rt

ość

po

cz

ątk

ow

a r

enty

je

dnos

tk

ow

ej

n-

ok

re

so

w

ej

i=0,05

i=0,1

i=0,15

i=0,2

Ustalone n

∈N

i

|

n

a

- ciągła malejąca i wypukła funkcja zmiennej stopy procentowej „i”

Ustalone i

∈(0,1)

i

|

n

a

- rosnąca funkcja zmiennej liczby rat renty „n”

Wyznaczyć stopę procentową renty stałej

c

R

R

a

Ra

R

)

0

(

i|

n

i|

n

)

0

(

=

=

=

c

i

)

i

1

(

1

a

n

i|

n

=

+

−

=

−

(18)

gdzie: c – stała (wartość początkowa renty jednostkowej)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

9

Przykład 2 (Wyznaczyć stopę procentową renty)

Obliczyć stopę procentową renty o stałych rocznych ratach równych 6.000zł

wiedząc, że renta ta ma być wypłacana przez 10 lat, a jej wartość początkowa

jest równa 30.000zł

R

(0)

= R

a

i

10

30.000 = 6.000

a

i

10

i

)

i

1

(

1

a

5

10

i

10

−

+

−

=

=

0188

,

5

a

15

,

0

10

=

8332

,

4

a

16

,

0

10

=

i

10

a

)

i

(

y

=

y

0

0,16

0,15

i

a

i

10

a

10 0 16

,

15

,

0

10

a

(x

2

,y

2

)

(x

1

,y

1

)

i

Rys. 5. Interpolacja liniowa

)

x

x

(

x

x

y

y

y

y

1

1

2

1

2

1

−

−

−

=

−

)

x

x

(

y

y

x

x

)

y

y

(

1

1

2

1

2

1

−

=

−

−

−

1

2

1

2

1

1

y

y

x

x

)

y

y

(

x

x

−

−

−

+

=

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

10

%

10

,

15

i

151012

,

0

001012

,

0

15

,

0

i

)

053879

,

0

(

)

0188

,

0

(

15

,

0

i

0188

,

5

8332

,

4

15

,

0

16

,

0

)

0188

,

5

5

(

15

,

0

i

≅

=

+

=

−

⋅

−

+

=

−

−

−

+

=

*********************************

☺☺☺☺☺☺☺

Wyznaczyć liczbę rat renty n

∈N

i

)

i

1

(

1

R

R

a

R

n

)

0

(

i|

n

)

0

(

−

+

−

=

=

)

i

1

(

ln

)

R

i

R

(

ln

R

ln

n

)

0

(

+

−

−

=

(19)

Liczba rat renty powinna być liczbą naturalną n

∈N

n = Ent[n],

n

= n +1

n

≤ n ≤

n

Metoda I (Modyfikacja wartości rat renty)
Przyjąć liczbę rat n

:= n ∨ n:=

n

i wyznaczyć nową wartość raty renty

Metoda II (Modyfikacja ostatniej raty)
Przyjąć liczbę rat n

:=

n

i wyznaczyć ostatnią niepełną ratę renty lub Przyjąć

n

:= n i wyznaczyć ostatnią podwyższoną ratę renty.

Przykład 3.
Wyznaczyć liczbę rat renty o wartości początkowej R

(0)

=

100.000zł, jeżeli sto-

pa procentowa wynosi i =5%, a raty są stałe i równe 10.000zł.

15

n

,

14

n

2066

,

14

)

05

,

1

ln(

)

5000

10000

ln(

)

10000

ln(

n

=

=

≈

−

−

=

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

11

Metoda I (Modyfikacja wartości raty)

Zmiana raty stałej renty

Dla n:= n = 14

44

,

10102

89864

,

9

100000

a

R

R

05

,

0

14

)

0

(

≈

=

=

zł

Dla n

:=

n

= 15

634

9

37966

,

10

100000

a

R

R

05

,

0

15

)

0

(

≈

=

=

zł

Metoda II (Modyfikacja ostatniej raty)

n

i

1

n

)

0

(

)

i

1

(

x

Ra

R

−

−

+

+

=

(20)

(n-1) rat o wartości R

n – ta rata o wartości x

)

Ra

R

(

)

i

1

(

x

i

1

n

)

0

(

n

−

−

+

=

(21)

Dla n

:=

n

= 15

x = (1 + 0,05)

15

(100000-10000

⋅9,89864)≈ 2107zł

Dla n:= n = 14

x = (1 + 0,05)

14

(100000-10000

⋅9,39357)≈ 12006zł

*********************************

☺☺☺☺☺☺

Renta nieskończona n

→∞

i

1

i

)

i

1

(

1

lim

a

lim

a

n

n

i|

n

n

=

+

−

=

=

−

∞

→

∞

→

∞

(22)

i

1

a

=

∞

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

12

d

1

d

)

i

1

(

1

lim

a

lim

a

n

n

i|

n

n

=

+

−

=

=

−

∞

→

∞

→

∞

&&

&&

(23)

d

1

a

=

∞

&&

(24)

i

R

R

)

0

(

=

∞

(25)

d

R

R

)

0

(

=

+

∞

Przykład 4. (Model stałej dywidendy)

Wycenić wartość akcji spółki, wiedząc, że coroczne stałe dywidendy wynoszą

300 zł, a rynkowa stopa procentowa i=22%.

Dla wyceny akcji skorzystamy ze wzoru (24)

64

,

1363

22

,

0

300

i

R

R

)

0

(

≈

=

=

∞

zł.

Jedna akcja spółki ma wartość 1363,64 zł.

Wartością końcową renty złożonej z n rat

nazywamy sumę jej rat opro-

centowanych na koniec renty.

n

1

n

2

n

2

1

n

1

)

n

(

R

)

i

1

(

R

.

.

.

)

i

1

(

R

)

i

1

(

R

R

+

+

+

+

+

+

+

=

−

−

−

(26)

(27)

∑

=

−

+

=

n

1

j

j

n

j

)

n

(

)

i

1

(

R

R

)

i

1

(

R

)

i

1

(

R

.

.

.

)

i

1

(

R

)

i

1

(

R

R

n

2

1

n

1

n

2

n

1

)

n

(

+

+

+

+

+

+

+

+

=

−

+

+

(28)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

13

(29)

∑

=

−

+

+

+

=

n

1

j

j

1

n

j

)

n

(

)

i

1

(

R

R

R

(n)

– wartość końcowa n- okresowej renty prostej płatnej z dołu,

R

(n+)

– wartość końcowa n- okresowej renty prostej płatnej z góry,

R

j

– j-ta rata renty,

i

– bazowa stopa procentowa,

(1+i)

j

– czynnik oprocentowujący,

t = 0

– początek renty,

t = n

– koniec renty.

(30)

)

i

1

(

R

R

)

n

(

)

n

(

+

=

+

Wartość końcowa renty prostej płatnej z góry

jest równa wartości koń-

cowej renty prostej płatnej z dołu oprocentowanej na jeden okres.

,

(31)

n

)

n

(

)

0

(

)

i

1

(

R

R

−

+

=

(32)

n

)

0

(

)

n

(

)

i

1

(

R

R

+

=

Wartość początkowa renty

jest równa wartości końcowej zaktualizowa-

nej (zdyskontowanej) na początek renty.

Wartość końcowa renty

jest równa wartości początkowej zaktualizowanej

(oprocentowanej) na koniec renty.

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

14

Renta stała R

j

=R dla j=1,2, . . . n

(33)

∑

=

−

+

=

n

1

j

j

n

)

n

(

)

i

1

(

R

R

(34)

∑

=

−

+

+

=

n

1

j

j

1

n

)

n

(

)

1

R

R

+ i

(

(35)

∑

=

−

+

=

n

1

j

j

n

i

|

n

)

i

1

(

s

(36)

∑

=

−

+

+

=

n

1

j

j

1

n

i|

n

)

i

1

(

s

&&

(37)

)

i

1

(

s

s

i|

n

i|

n

+

=

&&

i|

n

s

– wartość końcowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z dołu,

i|

n

s&&

– wartość końcowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z góry,

)

i

1

(

)

i

1

(

)

i

1

(

)

i

1

(

s

2

1

n

n

i|

n

+

+

+

+

+

+

+

+

=

−

L

&&

Wartość końcowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z góry

jest równa sumie n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o wy-

razie początkowym a

1

=(1+i) oraz ilorazie q=(1+i).

Wartość końcowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z góry

jest równa sumie n kolejnych czynników oprocentowujących.

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

15

)

i

1

(

1

)

i

1

(

1

)

i

1

(

s

n

i|

n

+

−

+

−

+

=

&&

d

1

)

i

1

(

s

n

i|

n

−

+

=

&&

(40)

i

1

)

i

1

(

s

n

i|

n

−

+

=

(41)

i

–

stopa

procentowa,

d

–

stopa dyskontowa równoważna stopie procentowej i

(d= i(1+i)

-1

),

n

– liczba rat jednostkowych.

Przykład 5.

Wyznaczyć wartość końcową stałej renty rocznej o racie R=10tys. zł płatnej

przez 10 kolejnych lat z dołu (z góry).

Roczna stopa procentowa i = 0,24

6434

,

31

24

,

0

1

)

24

,

0

1

(

s

10

24

,

0

10

≈

−

+

=

⏐

434

,

316

6434

,

31

10

Rs

R

i

|

n

)

n

(

=

⋅

=

=

tys. zł.

tys. zł.

378

.

392

24

,

1

434

,

316

)

i

1

(

R

R

)

n

(

)

n

(

≈

⋅

=

+

=

+

*****************************

☺☺☺☺☺☺

(42)

n

i|

n

n

i|

n

i|

n

v

s

)

i

1

(

s

a

=

+

=

−

(43)

n

i|

n

i|

n

)

i

1

(

a

s

+

=

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

16

Wartość początkowa renty jednostkowej

jest równa jej wartości końco-

wej pomnożonej przez czynnik dyskontujący (1+i)

-n

= v

n

.

Wartość końcowa renty jednostkowej

jest równa jej wartości początko-

wej pomnożonej przez czynnik oprocentowujący (1+i)

n

.

Renta stała

(44)

i|

n

)

n

(

s

R

R

=

(45

i

|

n

)

n

(

s

R

R

&&

=

+

Wartość końcowa renty stałej płatnej z dołu (z góry)

jest równa iloczy-

nowi stałej raty renty oraz wartości końcowej renty jednostkowej płatnej z

dołu (z góry).

WARTOŚĆ KOŃCOWA RENTY

JEDNOSTKOWEJ (n=20)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0,

01

0,

03

0,

05

0,

07

0,

09

0,

11

0,

13

0,

15

0,

17

0,

19

STOPA PROCENTOWA "i"

W

ART

O

ŚĆ

KO

Ń

CO

W

A

Rys.6 Wykres funkcji

i|

n

s

(n=20 stałe)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

17

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

Czas trw ania renty- n liczba okresów

Wa

rt

ość

ko

ńc

ow

a r

ent

y j

ednos

tk

ow

ej

n-

ok

re

so

w

ej

i=0,05

i=0,1

i=0,15

i=0,2

Rys.7. Wykres funkcji

i|

n

s

(i stałe)

Ustalone n

∈N

i|

n

s

- ciągła rosnąca i wypukła funkcja zmiennej stopy procentowej „i”

Ustalone i

∈(0,1)

i|

n

s

- rosnąca funkcja zmiennej liczby rat renty „n”

Stan Funduszu Emerytalnego

Jeżeli renta stała o wartości raty R wypłacana jest z funduszu emerytalnego E,

to stan funduszu po n – wypłatach dla renty wypłacanej z dołu wynosi

E

n

= E(1+i)

n

- R

i|

n

s

(44)

gdzie: E - stan funduszu emerytalnego w momencie t=0

i - stopa oprocentowania funduszu E

R - renta o stałej wysokości wypłacana z funduszu emerytalnego

E

n

- stan funduszu emerytalnego po n- wypłatach dla renty wypłacanej z

dołu

)

n

(

n

n

P

)

i

1

(

E

E

−

+

=

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

18

Jeżeli E

1

≥ E , to wysokość renty nie przekracza wartości odsetek, za jeden

okres, od funduszu emerytalnego. Wówczas, istnieje możliwość wypłacania

renty przez czas nieograniczony.

iE

≥ R

Renta wieczysta

renta stała której wysokość nie przekracza wartości odse-

tek za jeden okres, od funduszu emerytalnego.

R

w

≤ iE

Maksymalna renta wieczysta

R

w

= iE

Równanie

0

i

Rs

)

i

1

(

E

E

n

n

n

=

−

+

=

|

(45)

Określa takie wielkości E, R, i oraz n, które powoduje wyczerpanie funduszu

emerytalnego (kapitału rentowego).

Przykład 6

Na funduszu emerytalnym zgromadzono kapitał 10000zł. Z funduszu wypłaca-

na jest stała renta miesięczna z dołu. Miesięczna stopa procentowa i=0,02 .

Kapitalizacja miesięczna.

a) Wyznaczyć maksymalną rentę wieczystą

R

w

= E·i = 10.000·0,02 = 200 zł

b) Przez ile miesięcy można pobierać z funduszu rentę stałą w wysokości

300zł?

0

02

,

0

1

)

02

,

0

1

(

3

,

0

)

02

,

0

1

(

10

n

n

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

+

−

+

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

19

002

,

1

log

3

log

n

3

)

02

,

1

(

15

)

02

,

1

(

15

)

02

,

1

(

10

n

n

n

=

⇒

=

−

=

−

n=55,48 miesięcy

c) Jaki będzie stan funduszu emerytalnego po wypłaceniu 24 rat w wysokości

300zł.

(

)

126558735

,

9

08437249

,

16

E

1

)

02

,

1

(

15

)

02

,

1

(

10

E

02

,

0

1

)

02

,

0

1

(

3

,

0

)

02

,

0

1

(

10

E

P

)

i

1

(

E

E

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

−

=

−

⋅

−

⋅

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

+

−

+

⋅

=

−

+

=

E

24

= 6,95781tys.zł

d) Jaką stałą rentę miesięczną można wypłacić z funduszu przez 3 lata (36 mie-

sięcy)?

0

9943672

,

51

R

39887344

,

20

0

02

,

0

1

)

02

,

1

(

R

)

02

,

1

(

10

36

36

=

⋅

−

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

−

⋅

R

=

0,3923285259

tys.

zł

R

=

392,23zł

Rentą odroczoną o m okresów

nazywamy ciąg rat R

1

,R

2

, R

3

, ......o terminach

płatności m+1, m+2, m+3, ....

R

n

m+1

m+2

R

2

R

1

m+n

m

2

1

0

Rys 8. Renta odroczona

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty

pewne

20

Wartością początkową n-okresowej renty odroczonej o m okresów

na-

zywamy sumę rat zdyskontowanych na moment t=0

(45)

∑

=

−

−

−

+

=

n

1

j

j

m

j

)

m

(

)

i

1

(

R

R

(46)

)

0

(

m

)

m

(

R

)

i

1

(

R

−

−

+

=

(47)

gdzie: R

(-m)

– wartość początkowa renty odroczonej o m okresów czasu

i|

n

m

i|

n

m

a

)

i

1

(

a

−

+

=

i|

n

m

a

– wartość początkowa renty jednostkowej odroczonej o m okre-

sów czasu

i|

m

i|

m

n

i|

n

m

a

a

a

−

=

+

(48)

Renta nieskończona odroczona

∞

−

−

∞

+

=

R

)

i

1

(

R

m

)

m

(

(49)

m

m

)

i

1

(

i

1

a

+

=

∞

(50)

gdzie:

)

m

(

R

−

∞

– wartość początkowa nieskończonej renty odroczonej o m okresów

czasu

∞

a

m

– wartość początkowa nieskończonej renty jednostkowej odroczonej o

m okresów czasu