Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny

28

3.2. RENTY O RATACH TWORZĄCYCH CIĄG

ARYTMETYCZNY

R

1

, R

2

, . . . , R

n

- kolejne raty renty

{R

j

} – ciąg arytmetyczny

(51)

R

j

=R

1

+(j-1)b

gdzie:

R

j

– j-ta rata renty,

R

1

– pierwsza rata,

b – różnica ciągu arytmetycznego rat.

Założenia: a) R

j

= R

1

+ (j–1)b dla j = 2,. . . , n

b) renta zgodna płatna z dołu

Wartość początkowa renty arytmetycznej

v=(1+i)

-1

– czynnik dyskontujący

R

(0)

= R

1

v+R

2

v

2

+R

3

v

3

+ ... +R

n

v

n

Po podstawieniu do (51)

R

(0)

= R

1

v+ (R

1

+ b)v

2

+ (R

1

+2b)v

3

+ ...+ (R

1

+(n-1)b)v

n

(52)

(1+i)R

(0)

=R

1

+(R

1

+ b)v+ (R

1

+2b)v

2

+ ...+ (R

1

+(n-1)b)v

n-1

(53)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny

29

Ode jmując (52) od (53) otrzymujemy

iR

(0)

= R

1

+ b(v + v

2

+ v

3

+ ...+ v

n-1

) – R

1

v

n

– (n–1)bv

n

iR

(0)

= R

1

(1– v

n

) + b(v +v

2

+ v

3

+ ...+v

n-1

) – nbv

n

iR

(0)

= R

1

(1– v

n

) + b

|

n

a - nbv

n

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ −

=

i

nv

a

b

i

v

1

R

R

n

|

n

n

1

)

0

(

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

+

=

i

nv

a

b

a

R

R

n

|

n

|

n

1

)

0

(

(54)

Wartość końcowa renty arytmetycznej

R

(n)

= R

(0)

(1+i)

n

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ −

+

=

i

n

s

b

s

R

R

|

n

|

n

1

)

n

(

(55)

Przykład 7.

Obliczyć wartość rat leasingowych tworzących ciąg arytme-
tyczny, jeżeli:

-

wartość początkowa rat R

(0)

= 3000zł

-

pierwsza rata R

1

= 500zł

-

roczna stopa procentowa i=0,2 (20%)

-

okres dzierżawy 10 lat

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny

30

R

(0)

= 3000zł; R

1

= 500zł;

2

,

0

10

a

⏐

=4,1925

V

10

= (1+0,2)

-10

= 0,1615; n=10; i=0,2

Podstawiając do równania (54) mamy:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

+

⋅

=

2

,

0

1615

,

0

10

1925

,

4

b

1925

,

4

500

300

b = 70,13

R

1

= 500zł; R

2

= 570,13zł R

3

= 640,26, ... R

10

= 1131,17zł

☺☺☺☺☺☺☺☺

Stan funduszu emerytalnego – renta arytmetyczna

E

n

= E(1+i)

n

– R

(n)

Stan funduszu emerytalnego – renta arytmetyczna

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

−

+

=

i

n

s

b

s

R

)

i

1

(

E

E

|

n

|

n

1

n

n

(56)

Przykład 8

Jaki fundusz emerytalny należy zgromadzić aby zapewnić so-

bie wypłacanie renty rocznej płatnej z dołu w wysokości 1; 1,2;

1,4; ... 3,8 tys. zł przez 15 lat. Roczna stopa procentowa i=0,2

(1+0,2)

15

= 15,407;

0351

,

72

s

2

,

0

15

=

⏐

; i=0,2; n=15; R

1

= 1

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny

31

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

⋅

−

⋅

=

2

,

0

15

0351

,

72

2

,

0

0351

,

72

1

407

,

15

E

0

E

≈

8377,37

☺☺☺☺☺☺☺☺

Renta arytmetyczna rosnąca

R

1

= 1; b = 1

R

1

= 1; R

2

= 2; R

3

= 3; ... R

n

= n

Wartość początkowa renty arytmetycznej rosnącej

increase

-

I

;

i

nv

a

a

)

Ia

(

n

|

n

|

n

|

n

−

+

=

(57)

i

nv

a

)

Ia

(

n

|

n

|

n

−

= &&

(58)

gdzie:

|

n

)

Ia

(

- wartość początkowa renty arytmetycznej rosnącej

Wartość końcowa renty arytmetycznej rosnącej

i

n

s

s

)

Is

(

|

n

|

n

|

n

−

+

=

(59)

i

n

s

)

Is

(

|

n

|

n

−

= &&

(60)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny

32

Przykład 9.

Obliczyć wartość początkową i końcową renty arytmetycznej

rosnącej płatnej z dołu przez 10 okresów bazowych i oprocen-

towanej na 20%.

2

,

0

10

a

⏐

=4,1925;

9587

,

25

s

2

,

0

10

=

⏐

; (1+0,2)

-10

= 0,1615

08

,

17

2

,

0

1615

,

0

10

1925

,

4

1925

,

4

)

Ia

(

2

,

0

10

≈

⋅

−

+

=

⏐

79

,

79

2

,

0

10

9587

,

25

9587

,

25

)

Is

(

2

,

0

10

≈

−

+

=

⏐

☺☺☺☺☺☺☺☺

Renta arytmetyczna malejąca

R

1

= 1; b = –1

R

1

= n; R

2

= n–1; R

3

= n–2; ... R

n

= 1

Wartość początkowa renty arytmetycznej malejącej

dicrease

-

D

;

i

nv

a

)

1

(

na

)

Da

(

n

|

n

|

n

|

n

−

−

+

=

(61)

i

a

n

)

Da

(

|

n

|

n

−

=

(62)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny

33

gdzie:

|

n

)

Da

(

- wartość początkowa renty arytmetycznej malejącej

Wartość końcowa renty arytmetycznej malejącej

n

|

n

|

n

)

i

1

(

)

Da

(

)

Ds

(

+

=

i

s

)

i

1

(

n

)

Ds

(

|

n

n

|

n

−

+

=

(63)

Przykład 10.

Obliczyć wartość początkową i końcową renty arytmetycznej

malejącej płatnej przez 10 lat z dołu. Stopa procentowa i=0,02

(20%)

2

,

0

10

a

⏐

=4,1925;

9587

,

25

s

2

,

0

10

=

⏐

; (1+0,2)

10

= 6,1917

0375

,

29

2

,

0

1925

,

4

10

)

Da

(

10

≈

−

=

⏐

7915

,

179

2

,

0

9587

,

25

1917

,

6

10

)

Ds

(

10

≈

−

⋅

=

⏐

☺☺☺☺☺☺☺☺

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny

34

Wartości początkowe rent arytmetycznych nieskończonych

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

+

=

=

∞

→

∞

→

∞

i

nv

a

b

a

R

lim

R

lim

R

n

|

n

|

n

1

n

)

0

(

n

)

0

(

0

nv

lim

,

i

1

a

lim

n

n

|

n

n

=

=

∞

→

∞

→

2

1

0

)

(

i

b

i

R

R

+

=

∞

(64)

gdzie:

- wartość początkowa renty arytmetycznej nie-

skończonej

0

)

(

R

∞

2

n

|

n

n

|

i

1

i

1

i

nv

a

lim

)

Ia

(

+

=

−

=

∞

→

∞

&&

0

nv

lim

,

i

1

1

a

lim

n

n

|

n

n

=

+

=

∞

→

∞

→

&&

2

|

i

1

i

1

)

Ia

(

+

=

∞

(65)