Praca domowa z analizy matematycznej nr 1
1
Praca domowa z analizy matematycznej nr 1
Zadanie 1. Wykazać, że poniższe formuły rachunku zdań są tautologiami:
a) p ∨ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r,
b) (p ⇒ q) ⇐⇒ (∼ q ⇒∼ p),
c) [(p ∧ q) ⇒ r] ⇐⇒ [p ⇒ (q ⇒ r)],
d) [(p ∨ q) ∧ (∼ p)] ⇒ q,
e) [(p ∨ q) ⇒ r] ⇒ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)].
Zadanie 2. Napisać zaprzeczenie poniższego wyrażenia, po czym przekształcić to
zaprzeczenie tak, by nie było w nim znaku negacji:
a) ∀
x
∃
a
∃
b
[(x < a) ∨ (x > b)],
b) ∀
x
∀
y
∃
a
∃
b
[(x < a) ∧ (y < b)].
Zadanie 3. Zbadać prawdziwość poniższych zdań, w których φ(a, x), gdzie a, x ∈
R oznacza funkcję zdaniową ax
2
+ x − 3 < 0.
a) ∀
a
∀
x
(φ(a, x)),
b) ∀
x
∃
a
(φ(a, x)),
c) ∃
x
∀
a
(φ(a, x)),
d) ∃
a
∀
x
(φ(a, x)),
e) ∀
a
∃
x
(φ(a, x)).
Zadanie 4. Wykazać:
a) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C),
b) Jeśli A = (A ∪ B) \ B, to A i B są rozłączne,
c) Jeśli A = (A \ B) ∪ B, to B ⊂ A.
Zadanie 5. Dane jest odwzorowanie f : R → R określone wzorem f (x) = |x|. Wy-
znaczyć obraz i przeciwobraz zbioru a) [0, 1], b) [−1, 1].
Zadanie 6. Dane jest odwzorowanie f : R → R określone wzorem f (x) = sin x.
Wyznaczyć obraz zbioru: a) [0, π], b) (0, π), c) R, d) {x: x = kπ, k ∈ Z} i przeciw-
obraz zbioru: e) {0}, f) (−∞, 1), g) (1, ∞).
Zadanie 7. Wyznaczyć funkcję odwrotną oraz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji
i funkcji odwrotnej:
a) y = log
3
1
2
x + 1
,
b) y = −1 + arc cos(x + 5),
c) y =
1
3
sin
x
3
− 1
.
