MATEMATYKA

ZESTAW ZADAŃ

GEOMETRIA ANALITYCZNA

Zadanie 1.

Mając dane





3

,

2

,

1



u

,





2

,

1

,

3



w

,





4

,

5

,

2





v

,

7



k

obliczyć

v

u  , v

k ,

v

u



,

v

u  ,

 

w

v

u

.

Zadanie 2.

Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach

q

p

a



 2

,

q

p

b





, przy czym

p

,

q

to wektory jednostkowe wzajemnie prostopadłe.

Zadanie 3.

Obliczyć objętość czworościanu zbudowanego na wektorach

r

q

p

a







,

r

q

p

b





 2

,

r

q

p

c

3

2 





jeżeli wiemy, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach

p

,

q

,

r

wynosi 3.

Zadanie 4.
Oblicz pole trójkąta

( 1, 0, 2), ( 3,1, 0), (0, 1, 2)

A

B

C







 

oraz cos kata przy wierzchołku

A

.

Zadanie 5.

Oblicz objętość czworościanu rozpiętego na wektorach

[1, 0, 2]

u 





,

[ 1,1, 0]

v  



,

[3, 2, 1]

w 





.

Zadanie 6.
Dane są trzy wierzchołki równoległoboku ABCD:





0

,

0

A

,

 

1

,

3

B

.





1

,

1



D

. Wyznaczyć

współrzędne wierzchołka C oraz punktu przecięcia przekątnych tego równoległoboku.

Zadanie 7.
Boki trójkąta są zawarte na prostych o równaniach

9

3 

 x

y

,

1

2 





x

y

,

3





 x

y

. Znaleźć

pole tego trójkąta.

Zadanie 8.
Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty

 

2

,

1

A

,





5

,

3



B

.

Zadanie 9.
Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(2,-3) względem prostej o równaniu

2

1

y

x



 .

Zadanie 10.
Dla jakich wartości parametru

R

a 

trójkąt o wierzchołkach

( 1, 2), (1, 0), (

2, )

A

B

C a

a





jest

prostokątny?

Zadanie 11.

Znaleźć punkt

A

leżący na prostej

1

:

1

2

l y

x

 



, taki aby trójkąt

ABC

miał pole równe 10 jeśli

(0,3), (4, 0)

B

C

.

Zadanie 12.

Niech

(1, 2), (4,1),

A

B

1

10

:

3

3

C

l y

x



 



. Znajdź punkt

C

, tak aby trójkąt

ABC

był

prostokątny.
Zadanie 13.
Znaleźć długość cięciwy okręgu o równaniu

2

2

2

4

0

x

y

x

y







 zawartej w prostej

o równaniu

1

y

x

  .

Zadanie 14.
Znaleźć równanie stycznej do okręgu o równaniu

2

2

2

8

8

0

x

y

x

y







  . Przechodzącą przez

punkt

( 2, 0)

A 

.

Zadanie 15*.
Dla jakich wartości parametru

R

p 

prosta

:

2

l y

x

p





jest styczna do hiperboli o równaniu

2

2

1

x

y



 .

Zadanie 16.
Narysować krzywe o równaniach:

a)

2

2

8

2

17

0

x

y

x

y









 ,

b)

2

2

9

16

144

x

y





,

c)

2

2

8

0

y

x

y







,

d)

2

2

4

4

x

y



 .

Zadanie 17.
Napisać równanie płaszczyzny

a) przechodzącej przez punkty

( 3, 0,1), ( 1, 2, 0),

A

B





( 1, 2, 2)

C  

;

b) przechodzącej przez punkt





3

,

2

,

1

P

oraz





2

,

1

,

1 



u

i





1

,

1

,

2 



v

;

c) zawierającej proste:

1

:

1

2

x

t

l

y

t

z

t







 


 



i

2

2 2

:

2

1 4

x

t

l

y

t

z

t

 








   



.

Zadanie 18.
Napisać równanie kierunkowe i parametryczne prostej przechodzącej przez punkty

( 3, 2, 1)

A 



,

(0, 2, 3)

B



.

Zadanie 19.
Napisz punkt symetryczny do

(3, 1, 0)

A



względem

a) płaszczyzny o równaniu

3

2

1 0

x

z



 

b) prostej o równaniu

2 3

:

1

x

t

l

y

t

z

t

 








  

