Funkcje trygonometryczne
Niech dany będzie na płaszczyźnie trójkąt prostokątny OAB (patrz rys. 1) z wyróżnionym
kątem ostrym o mierze
α
oraz długościami boków
x
OA =
→
,
r
OB =
→
,
y
AB =
→
.
rys.1
Wtedy funkcje trygonometryczne definiujemy następującymi wzorami:
r
y
=
α
sin
,
r
x
=
α
cos
,
x
y
tg
=
α
,
y
x
ctg
=
α
.
Kąty mierzymy miarą stopniową
0
α
z jednostką
0
1 albo miarą łukową
∩
α
=
r
τ
(patrz rys. 1) z jednostką 1rd (radian), mając przy tym zależność
π
α
α
0
0
180
=
∩
.
Wykresy funkcji trygonometrycznych:
a) funkcja sinus
α
B
A
O
r
τ
y
x
.
X
Y
b) funkcja cosinus
c) funkcja tangens
d) funkcja cotangens
Funkcje trygonometryczne są okresowe:
Ζ
∈
=
+
k
k
,
sin
)
2
sin(
α
π
α
,
Ζ
∈
=
+
k
k
,
cos
)
2
cos(
α
π
α
,
Ζ
∈
=
+
k
tg
k
tg
,
)
(
α
π
α
,
Ζ
∈
=
+
k
ctg
k
ctg
,
)
(
α
π
α
.
Funkcje sin, tg, ctg są nieparzyste, tzn.:
)
sin(
)
sin(
α
α
−
=
−
,
)
(
)
(
α
α
tg
tg
−
=
−
,
)
(
)
(
α
α
ctg
ctg
−
=
−
.
Funkcja cos jest parzysta, tzn.:
)
cos(
)
cos(
α
α
=
−
.
Wzory redukcyjne dla poszczególnych funkcji trygonometrycznych:
α
β
π
±
2
β
π
±
β
π
±
2
3
β
π
±
2
α
sin
β
cos
β
sin
m
β
cos
β
sin
±
α
cos
β
sin
m
β
cos
−
β
sin
±
β
cos
α
tg
β
ctg
m
β
tg
±
β
ctg
m
β
tg
±
α
ctg
β
tg
m
β
ctg
±
β
tg
m
β
ctg
±
Między funkcjami trygonometrycznymi zachodzą następujące związki:
1
cos
sin
2
2
=
+
α
α
,
α
α
α
cos
sin
=
tg
,
α
α
α
sin
cos
=
ctg
,
α
α
α
cos
sin
2
2
sin
⋅
=
,
α
α
α
2
2
sin
cos
2
cos
−
=
,
α
α
α
2
1
2
2
tg
tg
tg
−
=
,
α
α
α
2
2
2
1
2
ctg
ctg
ctg
−
=
,
β
α
β
α
β
α
sin
cos
cos
sin
)
sin(
⋅
+
⋅
=
+
,
β
α
β
α
β
α
sin
sin
cos
cos
)
cos(
⋅
+
⋅
=
+
,
β
α
β
α
β
α
tg
tg
tg
tg
tg
−
+
=
+
1
)
(
,
β
α
β
α
β
α
ctg
ctg
ctg
ctg
ctg
+
−
⋅
=
+
1
)
(
,
