Funkcje trygonometryczne

Niech dany będzie na płaszczyźnie trójkąt prostokątny OAB (patrz rys. 1) z wyróżnionym

kątem ostrym o mierze

α

oraz długościami boków

x

OA =

→

,

r

OB =

→

,

y

AB =

→

.

rys.1

Wtedy funkcje trygonometryczne definiujemy następującymi wzorami:

r

y

=

α

sin

,

r

x

=

α

cos

,

x

y

tg

=

α

,

y

x

ctg

=

α

.

Kąty mierzymy miarą stopniową

0

α

z jednostką

0

1 albo miarą łukową

∩

α

=

r

τ

(patrz rys. 1) z jednostką 1rd (radian), mając przy tym zależność

π

α

α

0

0

180

=

∩

.

Wykresy funkcji trygonometrycznych:

a) funkcja sinus

α

B

A

O

r

τ

y

x

.

X

Y

b) funkcja cosinus

c) funkcja tangens

d) funkcja cotangens

Funkcje trygonometryczne są okresowe:

Ζ

∈

=

+

k

k

,

sin

)

2

sin(

α

π

α

,

Ζ

∈

=

+

k

k

,

cos

)

2

cos(

α

π

α

,

Ζ

∈

=

+

k

tg

k

tg

,

)

(

α

π

α

,

Ζ

∈

=

+

k

ctg

k

ctg

,

)

(

α

π

α

.

Funkcje sin, tg, ctg są nieparzyste, tzn.:

)

sin(

)

sin(

α

α

−

=

−

,

)

(

)

(

α

α

tg

tg

−

=

−

,

)

(

)

(

α

α

ctg

ctg

−

=

−

.

Funkcja cos jest parzysta, tzn.:

)

cos(

)

cos(

α

α

=

−

.

Wzory redukcyjne dla poszczególnych funkcji trygonometrycznych:

α

β

π

±

2

β

π

±

β

π

±

2

3

β

π

±

2

α

sin

β

cos

β

sin

m

β

cos

β

sin

±

α

cos

β

sin

m

β

cos

−

β

sin

±

β

cos

α

tg

β

ctg

m

β

tg

±

β

ctg

m

β

tg

±

α

ctg

β

tg

m

β

ctg

±

β

tg

m

β

ctg

±

Między funkcjami trygonometrycznymi zachodzą następujące związki:

1

cos

sin

2

2

=

+

α

α

,

α

α

α

cos

sin

=

tg

,

α

α

α

sin

cos

=

ctg

,

α

α

α

cos

sin

2

2

sin

⋅

=

,

α

α

α

2

2

sin

cos

2

cos

−

=

,

α

α

α

2

1

2

2

tg

tg

tg

−

=

,

α

α

α

2

2

2

1

2

ctg

ctg

ctg

−

=

,

β

α

β

α

β

α

sin

cos

cos

sin

)

sin(

⋅

+

⋅

=

+

,

β

α

β

α

β

α

sin

sin

cos

cos

)

cos(

⋅

+

⋅

=

+

,

β

α

β

α

β

α

tg

tg

tg

tg

tg

−

+

=

+

1

)

(

,

β

α

β

α

β

α

ctg

ctg

ctg

ctg

ctg

+

−

⋅

=

+

1

)

(

,

2

cos

2

sin

2

sin

sin

β

α

β

α

β

α

−

⋅

+

=

+

,

2

cos

2

cos

2

cos

cos

β

α

β

α

β

α

−

⋅

+

=

+

,

2

sin

2

cos

2

sin

sin

β

α

β

α

β

α

−

⋅

+

=

−

,

2

sin

2

sin

2

cos

cos

β

α

β

α

β

α

−

⋅

+

−

=

+

,

β

α

β

α

β

α

cos

cos

)

sin(

⋅

+

=

+ tg

tg

,

β

α

β

α

β

α

cos

cos

)

sin(

⋅

−

=

− tg

tg

,

β

α

β

α

β

α

sin

sin

)

sin(

⋅

+

=

+ ctg

ctg

,

β

α

β

α

β

α

sin

sin

)

sin(

⋅

−

−

=

− ctg

ctg

.