Imię i nazwisko:	Ćwiczenie nr M7 Wyznaczanie Liczby Reynoldsa.
Kierunek i rok: Ochrona Środowiska I rok	Ocena z kolokwium: ....................................... data ....................... podpis...........................
Nazwisko prowadzącego zajęcia: dr A. Migalska-Zalas

I. CEL ĆWICZENIA:

Celem tego doświadczenia jest wyznaczenie Liczby Reynoldsa. Poznanie teorii dotyczącej wyznaczania liczy Reynoldsa oraz poznanie równania Poiseuille’a oraz równania Bernoullie”go oraz wyznaczenie wykresu zależności

II. CZĘŚĆ TEORETYCZNA:

1. Przepływ laminarny i turbulentny

Laminarny przepływ, przepływ uwarstwiony, przepływ płynu (cieczy, gazu), w którym kolejne warstwy płynu nie ulegają mieszaniu (w odróżnieniu od przepływu turbulentnego, burzliwego). Zachodzi, gdy liczba Reynoldsa nie przekracza tzw. wartości krytycznej. Przy przepływie laminarnym w rurze poprzeczny rozkład prędkości opisuje parabola. Przepływ laminarny jest to przepływ uwarstwiony (cieczy lub gazu), w którym kolejne warstwy płynu nie ulegają mieszaniu (w odróżnieniu od przepływu turbulentnego, burzliwego). Przepływ taki zachodzi przy małych prędkościach przepływu, gdy liczba Reynoldsa nie przekracza tzw. wartości krytycznej.

Przepływ laminarny: mówi się, że ruch płynu jest ustalony, kiedy prędkość płynu v jest w dowolnie wybranym punkcie stała w czasie. Oznacza to, że w dowolnym punkcie przepływu ustalonego prędkość każdej przechodzącej przez ten punkt cząstki płynu jest zawsze taka sama. W pewnym innym punkcie cząstka może poruszać się z inną prędkością, ale każda następna cząstka przechodząca przez ten drugi punkt zachowuje się w nim zupełnie tak samo, jak zachowywała się cząstka pierwsza.

Warunki takie mogą być osiągnięte przy niskich prędkościach przepływu.

Ruch warstwowy, czyli laminarny – nazwa ta pochodzi stąd, że wyróżnić możemy warstwy cieczy poruszające się z różnymi szybkościami. Chodzi tu zresztą o szybkości niewielkie, a grubość płynącej w ten sposób warstwy cieczy jest rzędu grubości warstwy granicznej. Przykład przepływu laminarnego stanowi ciecz płynąca przez wąską rurkę np. kapilarę. Rozkład szybkości przepływu cieczy w rurce przedstawia rysunek:

Największą szybkość przepływu posiada ciecz płynąca wzdłuż osi rurki, na ściankach szybkość ta spada do zera, gdyż ciecz przylega do ścianek. Między atomami cieczy i naczynia wytworzą się tzw. siły przylegania, które powodują, że ciecz przy ściankach nie porusza się.

Warto zwrócić uwagę na to, że przepływ laminarny cieczy przez rurkę jest przepływem wirowym.

Turbulencja, przepływ burzliwy - w mechanice ośrodków ciągłych, reologii i aerodynamice - określenie bardzo skomplikowanego, nielaminarnego ruchu płynów. Ogólniej termin ten oznacza złożone zachowanie dowolnego układu fizycznego, czasem zachowanie chaotyczne. Ruch turbulentny płynu przejawia się w występowaniu wirów, zjawisku oderwania strugi, zjawisku mieszania. Dziedzinami nauki, które analizują zjawiska związane z turbulencją, są: hydrodynamika, aerodynamika i reologia. Model matematyczny turbulencji próbuje się tworzyć na bazie teorii układów dynamicznych i teorii chaosu. Typowym przykładem utraty stabilności ruchu przez przepływ jest unoszący się znad papierosa dym. Początkowo układa się on w pasma (ruch laminarny), by ok. 10 cm nad papierosem wytworzyć początkowe zawirowania, które w końcu tracą uporządkowana strukturę. Innym przykładem ruchu słabo turbulentnego, a właściwie wirowego, jest smuga dymu za wysokimi kominami przemysłowymi: dym układa się w łańcuszek wirów zwany ścieżką von Karmanna. Turbulencja ma liczne i ważne zastosowania. Wyniki jej badań są istotne m.in. w analizie procesów spalania gazów i cieczy, znajdując zastosowanie w budowie układów wtrysku paliwa i układów tłokowych w samochodach. Zastosowania turbulencji obejmują także konstrukcje przyrządów pomiarowych pozwalających np. mierzyć stan zastawek sercowych czy prędkości przepływu krwi w żyłach na podstawie widma akustycznego szumów turbulentnie płynącej krwi.

Przepływ turbulentny:

Przepływem turbulentnym nazywamy ruch różnego rodzaju wirów. Możemy wyobrazić sobie małe kółko z łopatkami zanurzone w poruszającym się płynie. Ruch płynu jest wirowy, jeżeli kółko obraca się podczas ruchu.

Gdy wartość liczby Reynoldsa dla przepływu cieczy lepkiej w rurze przekracza 1160, przepływ zmienia swój charakter: z laminarnego staje się turbulentny.

Do płynącej przez rurę cieczy wprowadzamy za pomocą dodatkowej rurki wąski strumień zabarwionej cieczy. Gdy przepływ jest laminarny, zabarwiony strumień płynie prostolinijnie, gdy zwiększymy szybkość przepływu, po przekroczeniu krytycznej wartości liczby Reynoldsa strumień zabarwionej cieczy staje się nieregularny – tworzą się zagięcia.

Przepływ cieczy przez rurę: a) przepływ laminarny czyli lepki, b) przepływ burzliwy – turbulentny.

1. Liczba Reynoldsa

Liczba Reynoldsa - jedna z liczb podobieństwa stosowanych w reologii. Przy jej pomocy można oszacować stosunek sił bezwładności do sił lepkości. Liczba Reynoldsa jest kryterium do wyznaczania charakterystyki przepływu płynu (cieczy lub gazu).

Gdzie:

• l - wymiar charakterystyczny

• v - prędkość charakterystyczna płynu

• ρ - gęstość płynu

• μ - lepkość dynamiczna

• ν - lepkość kinematyczna

Liczba Reynoldsa określa charakter przepływu. Dla przepływu płynu przez rurę, gdzie za v przyjmuje się średnią prędkość przepływu, a za l średnicę rury, zbadano doświadczalnie, że w przybliżeniu dla:

• Re<2300 - przepływ laminarny (uporządkowany)

• 2300<Re<10000 - przepływ przejściowy (częściowo burzliwy)

• Re>10000 - przepływ turbulentny (burzliwy)

Najprostszym modelem płynu jest ciecz nieściśliwa i pozbawiona lepkości. W tym modelu jednak turbulencja nie występuje. Najprostszym realistycznym modelem cieczy jest ciecz nieściśliwa. Większość cieczy rzeczywistych przy niezbyt wysokich ciśnieniach jest w granicach błędu pomiaru nieściśliwa, tzn. nie zmienia swojej objętości pod wpływem sił ścinających i zmian ciśnienia. Przykładem takiej cieczy jest woda. Również wiele bardziej złożonych płynów, jak pasty, zole czy proszki, może być w wielu przypadkach dobrze opisywalna modelem cieczy nieściśliwej (choć oczywiście dyskusyjna jest kwestia odniesienia hasła turbulencja do takich cieczy).

Z doświadczenia wiadomo, że dla małych wartości Re ruch płynu jest laminarny, zaś dla dużych wartości traci stabilność i przechodzi w przepływ turbulentny. Konkretne wartości, dla których zachodzi zmiana charakteru przepływu, bardzo silnie zależą od warunków brzegowych, które obejmują kształt kanału, własności powierzchni z którymi styka się płyn, ewentualne zaburzenia mechaniczne (wstrząsy) itp. Typowa wartość Re, dla której pojawia się turbulencja w pełni rozwinięta, to ok. 2000, zaś początki niestabilności ruchu płynu są możliwe już dla Re równego 200-500 (tak zwane 'transition to turbulence' lub 'transition flow').

Przejście pomiędzy ruchem laminarnym a turbulentnym ma bardzo gwałtowny charakter, co jest powodem, dla którego często wskazuje się na analogie pomiędzy utratą stabilności przepływu a przejściami fazowymi. Porównania te są o tyle sensowne, że próby opisu ruchu turbulentnego za pomocą metod matematycznych wypracowanych w teorii przejść fazowych i teorii pola okazały się bardzo owocne.

Podane granice obszarów są umowne i zależą od cytowanych źródeł. Dla innych przepływów niż w rurach podanie podobnych granic jest również możliwe. Nie istnieją jednak ich uniwersalne wartości, ponieważ zależą od tego co zostanie uznane za "charakterystyczne" w odniesieniu do wielkości v i l^[1] (w przypadku płynów ściśliwych także ρ, a dla płynów nienewtonowskich μ).

Liczba ta nazwę swoją wzięła od Osborne'a Reynoldsa - irlandzkiego inżyniera, który zaproponował jej stosowanie.

Podane granice obszarów są umowne i zależą od cytowanych źródeł. Dla innych przepływów niż w rurach podanie podobnych granic jest również możliwe. Nie istnieją jednak ich uniwersalne wartości, ponieważ zależą od tego co zostanie uznane za "charakterystyczne" w odniesieniu do wielkości v i l^[1] (w przypadku płynów ściśliwych także ρ, a dla płynów nienewtonowskich μ).

Liczba ta nazwę swoją wzięła od Osborne'a Reynoldsa - irlandzkiego inżyniera, który zaproponował jej stosowanie.

Liczba Reynoldsa jest szczególną wielkościa odnoszącą się do ruchu ciał w płynach (cieczach, gazach)

Jest ona określona wzorem:

v – prędkość ciała względem płynu – jednostka w układzie SI – metr na sekundę m/s

l – wymiary liniowe w kierunku prostopadłym do v – jednostka w układzie SI - metr m

η – lepkość cieczy – jednostka w układzie SI – paskalosekunda Pa ∙ s = kg/ms

ρ – gęstość cieczy – jednostka w układzie SI  kg/m³.

Liczba Reynoldsa Re jest wielkością bezwymiarową.

Liczba Reynoldsa pozwala porównywać ze sobą zachowanie się różnych obiektów w różnych cieczach – jeśli mimo różnic, mają one tę sama liczbę Reynoldsa, to ich zachowanie się będzie podobne, a wzory opisujące pod wieloma względami identyczne.

Np. dla liczby Reynoldsa dużo mniejszej od 1 Re << 1, ruch obiektu w cieczy jest laminarny (bezwirowy).

c) Prawo Poiseuille'a

Poiseuille’a prawo, prawo opisujące natężenie Q przepływu laminarnego cieczy o współczynniku lepkości dynamicznej ρ przez kapilarę o długości l i promieniu r, pod wpływem różnicy ciśnień ΔP. Prawo Poiseuille’a wyrażone jest wzorem:

Prawo odkrył francuski fizyk J.L. Poiseuille (1799-1869) w 1841.

Prawo Hagena-Poiseuille'a - prawo fizyczne opisujące zależność między strumieniem objętości cieczy a jej lepkością (która wynika z tarcia wewnętrznego), gradientem ciśnień (który jest bodźcem termodynamicznym powodującym przepływ płynu), a także wielkościami opisującymi wielkość naczynia (długość, promień przekroju poprzecznego).

Przy stacjonarnym (tj. niezmiennym w czasie), laminarnym przepływie nieściśliwego, lepkiego płynu w cylin­drycznym przewodzie (tj. w rurze o stałym, kołowym przekroju), strumień objętości przepływu (objętość przepły­wającego płynu na jednostkę czasu) propor­cjonalny jest do gradientu ciśnienia wzdłuż przewodu, a zatem i do różnicy ciśnień na końcach przewodu:

gdzie poszczególne symbole oznaczają:

Φ_V – strumień objętości przepływu,

V, dV/dt – objętość, pochodna objętości względem czasu,

z – współrzędna walcowa, długość liczona wzdłuż osi przewodu,

v_s – średnia prędkość płynu w kierunku z,

r – promień wewnętrzny przewodu,

η – współczynnik lepkości dynamicznej płynu,

p – ciśnienie uśrednione w przekroju przewodu,

-dp/dz – gradient ciśnienia wzdłuż osi z,

Δp – różnica ciśnień na końcach przewodu,

l – długość przewodu.

Prawo to odkryli niezależnie od siebie G.H.L. Hagen w roku 1839 i J.L. Poiseuille w latach 1840-1841.

POISEUILLE'A PRAWO , prawo Hagena-Poiseuille'a

prawo przepływu laminarnego cieczy przez poziomą rurkę: , gdzie Q - natężenie przepływu, l - długość rurki, r - promień rurki, Δp - różnice ciśnień na końcach rurki, ρ - współczynnik lepkości dynamicznej; prawo to odkryli niezależnie G.H.L. Hagen (1839) oraz J.L. Poiseuille (1840-41).

Bernoulliego równanie, w fizyce równanie opisujące przepływ niezaburzony (laminarny) cieczy doskonałej wewnątrz rury o zmiennym przekroju i położeniu:

ρgh + 0,5 ρv² + p = const.,

gdzie: ρ - gęstość cieczy, g - przyspieszenie ziemskie, h - wysokość środka przekroju nad poziomem odniesienia, v - prędkość dla danego przekroju, p - ciśnienie w miejscu danego przekroju.

Z równań Bernoulliego, dla prędkości cieczy v = 0 można otrzymać wzór na ciśnienie hydrostatyczne.

4. Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu. Obowiązuje ono w podstawowej wersji dla płynu doskonałego, w wersji rozszerzonej dla płynu barotropowego. Wynika z zasady zachowania energii.

Szczególna postać równania

Założenia:

• ciecz jest nieściśliwa

• ciecz nie jest lepka

• przepływ stacjonarny i bezwirowy

gdzie:

• e_m - energia jednostki masy płynu

• ρ - gęstość cieczy

• v - prędkość cieczy w rozpatrywanym miejscu

• h - wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna

• g - przyspieszenie grawitacyjne

• p - ciśnienie cieczy w rozpatrywanym miejscu

Poszczególne człony to: energia kinetyczna, energia potencjalna przyciągania ziemskiego, energia ciśnienia.

Energia jest stała tylko wówczas, kiedy element porusza się wzdłuż linii prądu. Istnienie lepkości lub przepływu wirowego rozprasza energię, ściśliwość zmienia zależność prędkości przepływu od ciśnienia. Niestacjonarność przepływu wiąże się z dodatkowym ciśnieniem rozpędzającym lub hamującym ciecz.

Ogólna postać równania

Równanie Bernoulliego może być z pewną dokładnością stosowane także dla płynów ściśliwych ale tylko typu barotropowego. Opracowano również wersję równania dla płynów uwzględniającą zmianę energii wewnętrznej płynu w wyniku różnych czynników. Równanie to w ogólności ma postać:

Gdzie:

• Φ - energia potencjalna jednostki masy, której w warunkach ziemskich odpowiada Φ = gh

• w - entalpia przypadająca na jednostkę masy (entalpia właściwa) (ε - energia wewnętrzna płynu).

Uwzględniając właściwości gazów można przekształcić to równanie tak, by było spełnione także dla gazów. Choć pierwotne równanie Bernoulliego nie jest spełnione dla gazów, to ogólne wnioski płynące z niego mogą być stosowane również dla nich.

Praktyczne wykorzystanie równania Bernoulliego

Z równania Bernoulliego dla sytuacji przedstawionej na rysunku zachodzi prawidłowość:

Jeżeli zaniedbać zmianę wysokości odcinków rury, to wzór upraszcza się do:

W rurze o mniejszym przekroju ciecz płynie szybciej (v₁ > v₂), w związku z tym panuje w niej mniejsze ciśnienie niż w rurze o większym przekroju.

Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku, gdzie przekrój jest mniejszy.

Podana wyżej własność cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoulliego i nie potrafiono jej wytłumaczyć, stwierdzenie to i obecnie kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoks hydrodynamiczny.

A także: Ciecz opływając ciało zanurzone w cieczy wywołuje mniejsze ciśnienie od strony gdzie droga przepływu jest dłuższa.

Zastosowanie równania Bernoulliego

Równaniem Bernoulliego opisuje wiele na co dzień obserwowanych zjawisk, zależności, a także zasad działania licznych urządzeń technicznych:

• paradoks hydrodynamiczny

• zjawisko zrywania dachów, gdy wieje silny wiatr

• zasada działania sondy Pitota

• zasada działania Rurki Prandtla

• zasada działania zwężki Venturiego

• zasada działania palnika Bunsena

• pośrednio zasady powstawania siły nośnej w skrzydle samolotu

• pośrednio w powstawaniu efektu Magnusa

• przyczyna osiadania statków w ruchu na płytkim akwenie.

Prawo Bernoulliego jest podstawowym prawem hydrodynamiki, sformułowanym w 1738 roku przez szwajcarskiego matematyka - Daniela Bernoulliego. Dotyczy ono prawidłowości rządzącej przepływem stacjonarnym wyidealizowanej cieczy (nielepkiej, nieściśliwej). Przepływ stacjonarny to taki, podczas którego w każdym miejscu w cieczy prędkość ruchu pozostaje stała.
Treść prawa Bernoulliego jest następująca: w czasie przepływu cieczy, suma ciśnienia statycznego i dynamicznego jest stała wzdłuż każdej linii przepływu.

Prawo Bernoulliego ma matematyczną postać równania:

• p + ρgh + ½ρv² = const

• gdzie: p - ciśnienie cieczy, ρ - gęstość cieczy, v - prędkość przepływu cieczy, g - przyspieszenie ziemskie, h - wysokość rurki z cieczą nad powierzchnią ziemi.
  
  Pierwsze dwa człony możemy ująć ogólną nazwą: ciśnienie statyczne P_s = p + ρgh, natomiast trzeci człon to ciśnienie dynamiczne P_d = ½ρv².
  P_s jest to ciśnienie wywierane prostopadle do kierunku przepływu, a P_d - równolegle.
  Skoro ich suma stanowi konstans, to należy przypuszczać, że w obszarach większej prędkości przepływu, ciśnienie statyczne będzie mniejsze.
  
  Przejdźmy teraz do praktycznych przykładów. Mamy balię wypełnioną wodą, z otworem u dołu, przez który ta woda wypływa. Z jaką prędkością v_wyp będzie ów wypływ przebiegał?
  Załóżmy, że przy powierzchni (punkt 1) woda nie porusza się w ogóle. A więc ma tylko ciśnienie statyczne równe: p + ρgh₁. Tuż u wylotu (w punkcie 2) ciecz ma ciśnienie statyczne równe: p + ρgh₂ i ciśnienie dynamiczne: ½ρv_wyp².

• 

• Możemy, zgodnie z prawem Bernoulliego, utworzyć równanie:

• p + ρgh₁ = p + ρgh₂ + ½ρv_wyp²
  
  zatem: ρgh₁ - ρgh₂ = ½ρv_wyp²
  gh₁ - gh₂ = ½v_wyp²
  
  

• Widzimy, że prędkość wypływu rośnie dla większych wysokości słupa cieczy w balii. Wzór ten jest identyczny z tym, który zastosowalibyśmy dla spadku cieczy z wysokości (h₁ - h₂).
  
  Zjawisko spadku ciśnienia statycznego kosztem wzrostu ciśnienia dynamicznego (i odwrotnie) można łatwo zaobserwować przy pomocy rurki, której przekrój nie jest na całej długości jednakowy (ma ona przewężenia), a do pomiaru ciśnienia statycznego służą rurki, ustawione prostopadle do kierunku przepływu cieczy.

• 

• Podczas przypływu w rurce, ciecz ma w miejscu przewężenia większą prędkość. Jest tak dlatego, że w jednostce czasu przez każdą powierzchnię przekroju rurki musi przejść ta sama ilość cieczy. Przy mniejszym przekroju musi odbywać się to na większej długości. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy ciecz porusza się szybciej.
  Ten efekt jest wyraźnie widoczny w strzykawkach. Posuwamy tłok wolno, a ciecz wypływa z przewężenia strzykawki ze znacznie większą prędkością.
  Wracając do naszej rurki: zauważymy, że poziom cieczy w rurce prostopadłej do przewężenia (będący miernikiem ciśnienia statycznego), jest wyraźnie niższy niż na odcinku o normalnym przekroju.
  A więc tam gdzie rośnie ciśnienie dynamiczne (ze wzrostem prędkości), tam spada składowa statyczna.
  
  Jeszcze jeden przykład z życia wzięty. Jeśli przytkniemy 2 kartki papieru do obydwóch policzków i dmuchniemy pomiędzy nie, to paradoksalnie zaczną one do siebie przylegać. Wytłumaczenie tego zjawiska jest proste. Strumień wydmuchiwanego powietrza ma ciśnienie dynamiczne, a więc ciśnienie statyczne (działające w bok - na kartki) będzie mniejsze od tego, które działa na kartki z zewnątrz (od statycznego powietrza). Zatem ciśnienie zewnętrzne przeważy i dlatego kartki przylgną do siebie.

IV. TABELE POMIARÓW

L.p.	∆h	t1	t2	t3	tśr		l
	[m]	[s]	[s]	[s]	[s]		[m]
1	0,32	180	162	161	167,6	0,029 10^-4	1
2	0,25	195	176	167	179,3	0,027 10^-4	1
3	0,20	209	177	174	186,6	0,026 10^-4	1
4	0,18	218	183	178	193,0	0,025 10^-4	1
5	0,16	254	189	197	213,3	0,023 10^-4	1
6	0,12	255	203	214	224,0	0,022 10^-4	1
7	0,10	266	206	220	230,6	0,021 10^-4	1
8	0,06	267	241	266	258,0	0,019 10^-4	1

	xi (∆h [m])	yi	xi yi [m^4/s]	xi^2 [m^2]	yi^2 [m^6/s^2]
	0,32	0.0284 10^-4	0.0068 10^-4	0.0576	0.00332 10^-8
	0,25	0.0265 10^-4	0.0050 10^-4	0.0361	0.00130 10^-8
	0,20	0.0238 10^-4	0.0040 10^-4	0.0289	0.00084 10^-8
	0,18	0.0233 10^-4	0.0035 10^-4	0.0225	0.00051 10^-8
	0,16	0.0198 10^-4	0.0026 10^-4	0.0169	0.00029 10^-8
	0,12	0.0192 10^-4	0.0020 10^-4	0.0163	0.00024 10^-8
	0,10	0.0188 10^-4	0.0017 10^-4	0.0156	0.00019 10^-8
	0,06	0.0174 10^-4	0.0013 10^-4	0.0149	0.00014 10^-8
	1,39	0,1772 10^-4	0,0269 10^-4	0,2088	0,0068310^-8

n=8

IV. OBLICZENIA

Obliczam wartość średnią t_śr

Obliczam wartość

wartość V jest równa:

Obliczam współczynnik nachylenia metodą regresji liniowej:

n= 8

Obliczam odchylenie standardowe

Znając współczynnik nachylenia „a” obliczam promień wewnętrzny rurki

Wartości podane

Obliczam niepewność promienia wewnętrznego

Obliczam liczbę Reynoldsa

IV. Wykres zależności zastosowany metodą regresji liniowej