IŚGiE
M7	Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego Katera.
Data wykonania	Data oddania sprawozdania

Wstęp teoretyczny:

Ruch harmoniczny to ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu, w którym przemieszczenie ciała zmienia się w funkcji czasu w sposób sinusoidalny. Przykładem takiego ruchu jest ruch wahadła fizycznego.

Wahadło matematyczne składa się z masy m zawieszonej na nitce, sznurku. Okres drgań takiego wahadła nie zależy od masy m ani od początkowego wychylenia. Zależy on od długości wahadła. Aby dane wahadło można było nazwać wahadłem matematycznym muszą być spełnione następujące warunki: 
-wychylenie wahadła α musi być małe (zakłada się, że sin(α) ≈ α)
-rozmiar ciała zawieszonego na nici musi być niewielki
-masa nici (sznurka) musi być mała
-nić nie może być rozciągliwa 

Wahadło matematyczne

Wzór na okres drgań wahadła matematycznego:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Przekształcając odpowiednio ten wzór, możemy wyznaczyć wzór na przyspieszenie ziemskie w zależności od okresu i długości wahadła matematycznego: 

$$g = \frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$$

Wahadło fizyczne to sztywna bryła wykonująca drgania wokół osi (zwykle poziomej) nieprzechodzącej przez środek ciężkości bryły.

Okres drgań wahadła fizycznego opisuje teoretycznie zależność:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\text{mga}}}$$

gdzie:

a – odległość między osią zawieszenia i środkiem ciężkości,

I – moment bezwładności wahadła,

m – masa wahadła,

T – okres drgań wahadła.

Chcąc na bazie powyższego wzoru wyznaczyć przyspieszenie ziemskie g należy oprócz okresu drgań T i masy wahadła (które można zmierzyć bezpośrednio) znać również wielkość I oraz a (których pomiar jest kłopotliwy). Aby tych trudności uniknąć, w ćwiczeniu stosujemy wahadło rewersyjne.

Wahadło rewersyjne to przyrząd będący rodzajem wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używany do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego. Wahadło zostało wynalezione przez Henry’ego Katera.

Składa się ono z metalowego pręta, dwóch ostrzy O₁ i O₂ na których można je zawieszać oraz z dwóch metalowych brył w kształcie soczewki z których jedna może być przesuwana po pręcie, pozwala to na zmianę okresu drgań wahadła.

$$g = \frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$$

gdzie T - okres drgań wahadła dla obu osi zawieszenia

Pomiary i obliczenia:

lp	liczba wahnięć	Odległość [cm]	t 1[s]	T 1 [s]	t 2[s]	T 2 [s]	Tśr [s]
1	5	100	10,72	2,144	11,00	2,200	2,172
2	5	95	10,34	2,068	10,82	2,164	2,116
3	5	90	10,41	2,082	10,69	2,138	2,110
4	5	85	10,38	2,076	10,47	2,094	2,085
5	5	80	10,34	2,068	10,22	2,044	2,056
6	5	75	10,25	2,050	10,28	2,056	2,053
7	5	70	10,25	2,050	10,12	2,024	2,037
8	5	65	10,22	2,044	10,06	2,012	2,028
9	5	60	10,25	2,050	9,97	1,994	2,022
10	5	55	10,12	2,024	9,75	1,950	1,987
11	5	50	10,22	2,044	9,72	1,944	1,994
12	5	45	10,28	2,056	9,72	1,944	2,000
13	5	40	10,18	2,036	9,69	1,938	1,987
14	5	35	10,29	2,058	9,78	1,956	2,007
15	5	30	10,31	2,062	9,71	1,942	2,002
16	5	25	10,43	2,086	10,00	2,000	2,043
17	5	20	10,40	2,080	10,06	2,012	2,046
18	5	15	10,48	2,096	10,53	2,106	2,101
19	5	10	10,56	2,112	10,75	2,150	2,131
20	5	5	10,59	2,118	11,75	2,350	2,234
21	5	0	10,65	2,130	11,73	2,346	2,238

Pomierzone zostały:

- odległość masy m2 od osi obrotu - 13cm

- odległości masy m1 od m2 dla każdego przesunięcia masy m1 o 5cm

- czas 5 wahnięć przy różnych odległościach mas m1 od m2

Obliczone zostały:

- okresy drgań T1 i T2:

$$T = \frac{t}{5}$$

oraz ich średnie

$$T_{sr} = \frac{T1 + T2}{2}$$

- przyspieszenie ziemskie wg wzoru:

$$g = \frac{4\pi^{2}l_{0}}{{T_{sr}}^{2}}$$

$$g = 9,89\frac{m}{s^{2}}$$

Wyznaczanie błędu pomiaru przyspieszenia ziemskiego metodą różniczki zupełnej:

Δl=0,001m

ΔT=0,01s

$$\left| g \right| = \left| \frac{4\pi^{2}}{{T_{sr}}^{2}} \right|*\left| l \right| + \left| \frac{- 8\pi^{2}l_{0}}{{T_{sr}}^{3}} \right|*\left| T_{sr} \right|$$

$$\left| g \right| = \left| \frac{4*{3,14}^{2}}{\left( 2,094s \right)^{2}\ } \right|*\left| 0,001m \right| + \left| \frac{- 8*{3,14}^{2}*1,1m}{\left( 2,094s \right)^{3}} \right|*\left| 0,01s \right| = \ 0,009 + 0,094 = 0,103\ \frac{m}{s^{2}}$$

Podsumowanie

Celem doświadczenie było wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła Katera. Mierzono czas 5 wahnięć. Po każdym pomiarze przybliżano masę m1 do m2 o 5cm. Gdy masy znalazły się tuż obok siebie, wahadło zostało odwrócone i zawieszone na drugim ostrzu. W ten sposób wykonano drugą serię pomiarów. Następnie wykonano wykres T1, T2=f(l). Odczytano punkt w którym wykres T1 i T2 się przecięły i dla tego punktu obliczono przyspieszenie ziemskie.

Obliczone przyspieszenie ziemskie wyniosło g=(9,89±0,103) m/s²

Dla porównania grawitacyjne przyspieszenie ziemskie na poziomie morza na szerokości geograficznej około 45,5° wynosi g= 9,80665$\frac{m}{s^{2}}$

Wyliczona wartość przyśpieszenia mieści się w granicach błędów.