Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska

Wykład 3

Gradient
Gradient jest liniowym operatorem przekształcającym funkcję skalarną u(x,y,z) w pole
wektorowe, którego składowymi są pochodne cząstkowe u względem współrzędnych
kartezjańskich.

T

z

y

x

z

u

y

u

x

u

u

u

u

u

u





















































,

,

grad

u



wskazuje w kierunku największego wzrostu wartości funkcji u, podczas gdy

u





wskazuje

w kierunku najszybszego zmniejszania się jej wartości.

Dywergencja
Drugim bardzo ważnym operatorem wektorowym jest operator dywergencji. Dywergencja
przekształca pole wektorowe

T

v

v

v

)

,

,

(

3

2

1



v

w pole skalarne

v







f

:

z

v

y

v

x

v

























3

2

1

div

v

v

Operator dywergencji opisuje ‘gromadzenie’ (kumulowanie się) jakiejś wielkości (ładunku,
masy, itd.).

Przypadek jednowymiarowy (1D)
Operatory gradientu i dywergencji w przypadku jednowymiarowym wyrażają się poprzez
pochodną.

Operator i równanie Laplace’a
Połączenie operatora dywergencji i gradientu daje w wyniku operator Laplace’a:

2

2

2

2

2

2

2

grad

div

z

u

y

u

x

u

u

u

u

u

u

u

u

zz

yy

xx









































.

Zauważmy, że jest to ta sama sekwencja operatorów, jaka pojawiła się w równaniu przepływu
w warstwie nasyconej w przykładzie z wysypiskiem, dla przypadku gdy współczynnik filtracji

1



K

.

Równanie Laplace’a otrzymuje się przyrównując operator Laplace’a do zera. Jest to rówanie
jednorodne.
Jego niejednorodny odpowiednik nazywa się równaniem Poissona:

0



u

równanie Laplace’a.

f

u





równanie Poissona.

Są to równania różniczkowe cząstkowe, drugiego rzędu, eliptyczne.

Operator dywergencji działający na dowolne pole wektorowe opisuje gromadzenie się jakiejś
wielkości. A zatem równanie:

0

div









q

q

oznacza brak kumulacji. Czyli w ‘nieskończenie małym otoczeniu” każdego punktu nic się nie
gromadzi ani nic nie ubywa.
Ponieważ można powiedzieć, że operator dywergencji mierzy różnicę między tym, co wchodzi
w obszar ‘maleńkiego sąsiedztwa’ danego punktu, i tym, co opuszcza ten obszar, równanie

0

div









q

q

jest matematycznym wyrazem prawa zachowania masy.

2006-10-29

1

Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska

Wykład 3

Na wektor q występujący w tym równaniu mówi się strumień, np. strumień masy, strumień
koncentracji, strumień objętościowy. Strumień jest wektorem, ze wszystkimi tego
konsekwencjami: posiada kierunek, zwrot, itd. Na przykład w omawianym wcześniej równaniu
przepływu (przykład z wysypiskiem), wyrażającym prawo zachowania masy

0

)

,

,

(

)

,

,

(









z

y

x

h

z

y

x

K

wyrażenie

)

,

,

(

)

,

,

(

z

y

x

h

z

y

x

K







q

.

oznacza strumień objętościowy.

Zauważmy na marginesie, że właśnie udało mi się zapisać równanie przepływu w postaci
układu równań:

0

div









q

q

)

,

(

)

,

(

z

x

h

z

x

K







q

Bardzo wiele zjawisk można opisać za pomocą takiego samego równania. Oprócz omawianego
przykładu przepływu w warstwie nasyconej, równanie to opisuje rozkład temperatury (stan
ustalony; współczynnik K oznacza wtedy współczynnik przewodnictwa cieplnego), wychylenie
membrany w wyniku działania na nią siły, rozkład potencjału w wyniku przyłożonego napięcia
(elektrostatyka, K oznacza wtedy współczynnik przewodności, zaś strumień q odpowiada
natężeniu prądu).

Procesy – prawa zachowania
Wiele RRCz opisujących rzeczywiste procesy może zostać wyprowadzonych na podstawie
zasad zachowania.
Rozważamy przypadek 1D.
Załóżmy, że u(x,t) oznacza koncentrację lub gęstość pewnej substancji (np. zanieczyszczenie)
Ilość substancji u znajdującą się w odcinku

2

1

x

x

x





w chwili t można opisać za pomocą całki



2

1

)

,

(

x

x

dx

t

x

u

.

Całka ta reprezentuje całkowitą masę substancji znajdującą się w odcinku

]

,

[

2

1

x

x

w chwili t.

Jeśli założy się, że w obrębie odcinka masa nie jest tworzona ani nie znika (brak źródeł oraz
wypływów), to zmiana masy substancji może nastąpić tylko w wyniku strumienia
przepływającego przez punkty krańcowe odcinka. Strumień może być zadany poprzez pewną
funkcję f. W najprostszym przypadku strumień f zależy tylko od wartości funkcji u.
Prawo zachowania wyraża się wtedy:

0

))

,

(

(

)

,

(













t

x

u

f

x

t

x

u

t

Adwekcja
Jeśli substancja jest przenoszona wzdłuż odcinka w wyniku przepływu o prędkości a, to wtedy
strumień f wyraża się jako

au

u

f



)

(

bo tyle substancji przechodzi przez punkt w jednostce czasu.

Przy założeniu, że jest to jedyne zachodzące zjawisko, otrzymuje się prawo zachowania w
postaci równania adwekcji:

0





x

t

au

u

2006-10-29

2

Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska

Wykład 3

Jest to równanie hiperboliczne (bo jest równaniem pierwszego rzędu). Jego rozwiązanie dla
danego warunku początkowego

)

0

,

(

)

(

0

x

u

x

u



wyraża przemieszczanie się początkowego

profilu z prędkością a:

)

(

)

,

(

0

at

x

u

t

x

u





Dyfuzja
Ruch substancji (w skali makroskopowej) może być wynikiem molekularnej dyfuzji, która
powoduje przemieszczanie się cząstek substancji z obszarów o większym stężeniu (gęstości) do
obszarów o stężeniu mniejszym. Można pokazać, że strumień jest proporcjonalny do gradientu

u





(w przypadku jednowymiarowym do pochodnej

x

u

 ). A zatem mamy:

x

x

u

u

f







)

(

, lub bardziej ogólnie:

u

u

f











)

(

.

Ta zależność jest znana jako prawo Ficka.
Ale:

 gdy u oznacza temperaturę, jest to prawo Fouriera przewodnictwa ciepła,
 gdy u oznacza wysokość hydrauliczną – prawo Darcy,
 gdy u oznacza potencjał – prawo Ohma.
Po podstawieniu tak zdefiniowanego strumienia do prawa zachowania otrzymuje się równanie
dyfuzji:

xx

t

u

u





(dla stałej wartości ).

W ogólnym przypadku (więcej wymiarów i dla

)

(x



 

) równanie dyfuzji ma postać:

)

)

,

,

(

(

u

z

y

x

u

t















Adwekcja i dyfuzja
Jeżeli równocześnie występuje adwekcja i dyfuzja, strumień wyraża się zależnością:

x

x

u

au

u

u

f







)

,

(

a równanie adwekcji-dyfuzji wyraża się następująco:

xx

t

u

au

u







Równania dyfuzji oraz adwekcji-dyfuzji należą do klasy równań parabolicznych. Równanie
adwekcji-dyfuzji jest wykorzystywane do modelowania transportu zanieczyszczeń.

Składniki źródłowe
W niektórych sytuacjach koncentracja (ogólnie, wielkość reprezentowana przez u) ulega
zmianie z powodu występowania źródeł lub upustów substancji. Jeśli działanie takiego
źródła/upustu są wyrażone za pomocą funkcji

)

,

( t

x



to otrzymuje się następujące równanie:











xx

t

u

au

u

Reakcja-dyfuzja
Jednym z powodów pojawiania się składników źródłowych są reakcje chemiczne. Równania
reakcji-dyfuzji mają postać:

)

(u

u

u

xx

t









.

W równaniu może pojawić się również składnik adwekcyjny jeśli reakcja zachodzi w
‘przepływie’.

2006-10-29

3