Praca, energia i prawa zachowania w mechanice klasycznej.d…

Praca, energia i prawa zachowania w mechanice klasycznej

########################################################################################
Autor : R. Waligóra
data powstania dokumentu : 2009-05-05 ; ostatnie poprawki z dnia: 2009-06-03
########################################################################################

1.P

ęd i moment pędu. ( momentum ,angular momentum )

Jak juŜ pisałem, pęd punktu materialnego M o masie m (stałej ) w inercjalnym układzie odniesienia U
definiujemy jako wektor :
p = m v (1.1)
Jak widać wektor pędu jest wektorem kolinearnym z wektorem prędkości. RóŜniczkując względem czasu
równanie (1.1) otrzymamy :

dp/dt = (dm/dt)v + m (dv/dt) = ma , oznaczmy : dp/dt

≡

•

, zatem : p

•

= m a

( ogólnie pochodną dowolnej wielkości wektorowej , względem czasu będę oznaczał w pewnych sytuacjach
zwyczajową kropką )
Jak wiadomo II prawo Newtona w układzie inercjalnym U moŜemy zapisać następująco :

•

= F (1.2)

MoŜemy teraz sformułować prawo zachowania pędu dla punktu materialnego M – jeŜeli zewnętrzna siła
działająca na punkt M jest równa zeru ( lub działające siły zewnętrzne równowaŜą się ), to pęd punktu M
pozostaje stały w czasie tj.

•

= 0 => p =const. (1.3)

Rozpisując na składowe ( w układzie ortokartezjańskim ) otrzymamy :
px = const  ; py = const.  ; pz = const.
Równanie (1.3) jest przykładem prostego róŜniczkowego prawa zachowania ( albo prawa zachowania w postaci
róŜniczkowej )
Sumaryczny pęd układu złoŜonego z n punktów materialnych, nie oddziałujących między sobą jest algebraiczną
sumą pędów składowych :
       n          n
p =

ΣΣΣΣ

pi =

ΣΣΣΣ

mi vi

      i=1      i=1
Siła zewnętrzna działająca na punkt M jest w ogólnym przypadku polem wektorowym zaleŜnym w ogólności od
czasu , prędkości i współrzędnych tj. : F = F (v, r, t ). Siły które są najbardziej „rozpowszechnione” w fizyce to
siły potencjalne  tj. wektorowe pole siły potencjalnej – zachowawczej posiada potencjał i najczęściej jest to
potencjał skalarny. Siła potencjalna to siła o ogólnej postaci : F = F (r, t ) – co waŜne nie zalezą one od
prędkości, siły te są siłami zachowawczymi co oznacza, Ŝe w polu tych sił spełniona jest zasada zachowania
energii mechanicznej. Mogą jednak istnieć siły nie potencjalne ale zachowawcze. Jest tak w przypadku tzw. sił
giroskopowych. Siły te są zaleŜne od prędkości ale w taki sposób , Ŝe iloczyn skalarny : Fv = 0. WyraŜenie : Fv
zwane jest „mocą siły”. Dla sił giroskopowych moc siły znika ( jak zobaczymy później znika zatem i praca tej
siły ). Inne siły których moc jest niezerowa powodują zmiany całkowitej energii mechanicznej , są one związane
np. z tarciem czy lepkością ośrodka ( ogólnie są to siły dyssypatywne – rozpraszające ) [8, str. 75].
JeŜeli w układzie n punktów materialnych występują siły wewnętrzne to całkowitą siłę działająca na ten układ
zapiszemy równaniem :
         n            i

≠

Fc =

ΣΣΣΣ

Fi0 +

ΣΣΣΣ

Fij

i=1 i,j=1
oraz zgodnie z III prawem Newtona : Fij = - Fji ( Zatem

ΣΣΣΣ

Fij = 0 )

Zdefiniujmy teraz moment pędu punktu M.
L = r

p (1.4)

Moment pędu L, punktu materialnego ( zwany dawniej „krętem” ) M jest iloczynem wektorowym ( jest więc
pseudowektorem ) promienia wodzącego r ( chwilowego) i pędu p, punktu M. Jak wiadomo z rachunku
wektorowego wektor L jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r i v o zwrocie zgodnym ze
zwrotem przyjętego układu współrzędnych ( zazwyczaj prawoskrętnego ). Dla ruchów płaskich ma on stały
kierunek i odwrotnie – jeŜeli wektor momentu pędu jest wektorem o stałym kierunku to ruch jest ruchem
płaskim.
Zdefiniujmy następnie pseudowektor momentu siły ( torque ) :
M = r

F (1.5)

ZróŜniczkujmy względem czasu równanie (1.4) :

dL/dt = d/dt (r

p ) = (dr/dt )

p + r

(dp/dt) = v

p + r

•

= M

( bo v

p = v

vm = 0 )

Zatem : L

•

= M (1.6)

Do równania (1.6) moŜemy dojść równieŜ na innej, równowaŜnej drodze, mianowicie pomnóŜmy wektorowo
przez r równanie (1.2) :

•

= r

F ale r

•

= d/dt ( r

p ) zatem : dL /dt = M

Rys. 1 Wektor momentu pędu

JeŜeli M = 0 to jak widać z równania (1.6) : L

•

= 0 => L = const.

MoŜemy zatem sformułować prawo zachowania momentu pędu dla punktu materialnego M – jeŜeli zewnętrzny
moment siła działająca na punkt M jest równy zeru ( lub działające momenty sił zewnętrznych równowaŜą się ),
to moment pędu punktu M pozostaje stały w czasie. Analogicznie równieŜ jak dla pędu mamy :
t1

∆

L = L(t1) - L(t0) =

∫

(1.7)

Wielkość :

∫

M dt – nazywamy „popędem momentu siły“

Przykład 1.1 Niech punkt M porusza się po okręgu o stałym promieniu R w którego środku umieścimy początek
układu odniesienia ( współrzędnych ). Wektor prędkości liniowej punktu M jest następujący : v =

r = ωr.

Wektor momentu pędu punktu M będzie miał zatem postać : L = mωr2.

Zdefiniujmy jeszcze jedną wielkość – wektor momentu bezwładności względem punktu o promieniu wodzącym
r :

I = mr2 (1.8)
( jak wiemy w ogólnym przypadku jest to wielkość tensorowa )

Wzór L = mωr2 moŜemy zapisać teraz w postaci ogólnej jako : L = I

Jak wiadomo z rachunku wektorowego moment siły będzie równy zeru : r

F = 0 w dwóch przypadkach :

albo F = 0 albo F || r ( wektor siły jest równoległy do wektora wodzącego )

Definicja 1.1 Siłę ( pole siły ) która jest zawsze równoległa do wektora promienia wodzącego nazywamy siłą
centralną F = F( r, t) i sin(

∠

r, F ) = 0 tak , Ŝe dla F

≠

0 i r

≠

0 F

r = 0

Dla siły centralnej M = 0 zatem L = const.

RozwaŜając układ n-punktów materialnych o masach mi  ; i = 1,2,....n wygodnie jest zdefiniować kilka pojęć.
                        n
Przez :   Mc =

ΣΣΣΣ

mi (1.9)

i=1
będziemy oznaczali całkowitą masę tego układu.
Środek masy tego układu wyznacza wektor :
n
R(t ) = (1/ Mc )

ΣΣΣΣ

mi ri ; ri = ri (t) – promienie wodzące poszczególnych punktów materialnych. (1.10)

i=1
II prawo Newtona dla rozwaŜanego układu moŜemy zapisać następująco :

Fc = McR

•

(1.11)

Twierdzenie 1.1 Środek masy układu n-punktów materialnych porusza się tak , jak gdyby całkowita masa układu
Mc była w nim skoncentrowana i na tę masę działała wypadkowa sił zewnętrznych Fc .

2.Pr

ędkość polowa.

JeŜeli ruch jest ruchem płaskim , moŜemy zdefiniować pewną poŜyteczną wielkość.
Definicja 2.1 Prędkość polowa cząstki materialnej M jest pseudowektorem postaci :
vp = ½ ( r

v ) (2.1)

Nazwa “prędkość polowa” związana jest z tym faktem, Ŝe wartość bezwzględna tego wektora pomnoŜona przez
dt równa jest : ½ ( r

ds ) bo ds = vdt , jest to pole trójkąta zakreślonego przez promień wodzący r w czasie dt.

Całka :
t

∫

| r

v | dt

t0
jest więc polem zawartym między wektorami r(t) i r (t0 ) oraz łukiem toru w przedziale ( t, t0 ). Dla ruchu

Rys. 2 Wektor prędkości polowej.

płaskiego L = const. i dla m =const. : L = r

p = m ( r

v ) = const

Zatem : ½ L m = vp

= const.

Twierdzenie 2.1 W ruchu pod działaniem siły centralnej ( a zatem ruchu płaskiego ) prędkość polowa jest stała.
Twierdzenie 2.2 Dla ruchu płaskiego S jest liniową funkcją czasu. S = S(t) - pole zakreślane przez wektor
wodzący.

3.Praca, moc i energia mechaniczna.

Definicja 3.1 Energią kinetyczną punktu materialnego M o masie m, nazywamy wielkość określoną wzorem :
T = ½ m v v (3.1)
JeŜeli rozwaŜamy układ n-punktów materialnych to energia kinetyczna będzie dana wzorem :

T =

ΣΣΣΣ

½ mi ri

•

(3.2)

i=1
W ogólnym przypadku energia kinetyczna jest formą biliniową postaci :

T = ½ gij (dq

i/dt)(dqj/dt) ; qi – współrzędne uogólnione.

PoniewaŜ energia kinetyczna jest skalarem wzór (3.1) powinniśmy zapisywać uŜywając iloczynu skalarnego :

T = ½ m v

v lub T = (1/2m) p

Warto równieŜ zauwaŜyć, Ŝe :

∂

p = v oraz

∂

v = p

Zapiszmy II prawo Newtona : dp/dt = F, następnie pomnóŜmy skalarnie obie strony tego równania przez
infinitezymalny wektor dr :
( dp/dt ) dr = F dr (3.2a)
Wprowadza się równieŜ pojęcie energii kinetycznej środka masy układu n-punktów materialnych :

Tśrodkamasy = ½ Mc R

•

Zachodzi równieŜ następujące twierdzenie ( Koeniga ). Całkowita energia kinetyczna układu n-punktów
materialnych równa jest sumie energii kinetycznej środka masy tego układu oraz całkowitej energii kinetycznej
punktów poszczególnych punktów układu względem środka masy :
n

Tcałkowita = ½ Mc R

•

2 + ½

ΣΣΣΣ

mi ri

•

i=1
β

Obliczmy wielkość : F dr = dW => W =

∫

F dr ; W – nazywamy pracą siły (pola siły ) na drodze α

→

α
( jest to całka krzywoliniowa nieskierowana zatem praca jest wielkością skalarną )
β

W szczególności gdy F = const to W = Fs

∫

dr ; Fs- składowa styczna do elementu drogi dr.

Jednostką pracy jest dŜul [ J = kgm2/s2 ].
WskaŜmy, teraz jaki jest związek miedzy pracą W a energią kinetyczną T.
F dr = F (dr /dt) dt  = F v dt      ( m = const. )
        β                  β

W =

∫

F v dt = m

∫

d/dt [ (dr /dt)2 ] dt = ½ mv2(t) – ½ mv2(t0) = T(β) – T(α) (3.3)

α α

Zatem :
dW = dT
Przyrost energii kinetycznej punktu M w przedziale czasu < t0, t > jest równy pracy W jaką wykonała siła ( pole
siły) na drodze L przebytej przez punkt M w tym przedziale czasu.

Moc, czyli szybkość wykonywania pracy w czasie, jest wielkością fizyczną definiowaną wzorem :
P = dW/dt = F dr/dt = F v (3.4)
( jest to moc chwilowa )
Oczywiście :
t

W =

∫

P(t) dt [ wat = J/s ]

P = dT/dt = ½ d/dt ( mv2 )

4. Siły zachowawcze, energia potencjalna.

Rozpatrzmy teraz specjalne pole siły stacjonarnej – pole siły stacjonarnej o potencjale skalarnym ( zwane
równieŜ polem siły zachowawczej ). Jak wiadomo z rachunku wektorowego pole wektorowe F(r ) jest polem
potencjalnym jeŜeli rot F = 0, wtedy siła posiada potencjał skalarny U(r ) zwany „energią potencjalną”.
NaleŜy podkreślić, Ŝe potencjał a energia potencjalna to dwa róŜne pojęcia – energia potencjalna to potencjał
stacjonarny. ( zobacz uwaga 4.1 ) Dla siły potencjalnej :

∫

F dr =

∫

F dr =>

∮

F dr = 0

L1 L2 C

Praca W, siły potencjalnej jak wiadomo nie jest zaleŜna od drogi a jedynie od róŜnicy potencjałów :
β

W =

∫

F dr = U(β) – U(α) (4.1)

       α
Twierdzenie 4.1 Praca wykonana przez siłę zachowawczą na drodze między dwoma punktami A , B nie zaleŜy
od kształtu tej drogi , a jedynie od róŜnicy potencjałów między tymi punktami. W szczególności jeŜeli
U(A) = U(B) to praca jest równa zeru.
Wniosek – jeŜeli punkty A i B leŜą na tej samej powierzchni ekwiskalarnej to praca wykonana na drodze A

→

jak równieŜ B

→

A jest równa zeru. Z tego wynika równieŜ , Ŝe praca wykonana na drodze zamkniętej jest

równa zeru.
Znając potencjał U( r) moŜemy wyznaczyć F(r) :
F(r) = - grad U( r) lub równowaŜnie : F( r) = -

∇

U( r) (4.2)

Rozpisując na składowe :
Fx = -

∂

x ; Fy = -

∂

y ; Fz = -

∂

Równanie ruchu w polu potencjalnym będzie miało postać :

•

= -

∇

U( r) (4.3)

Uwaga 4.1 Zazwyczaj przyjmujemy jako pole siły potencjalnej , pole stacjonarne : F = F(r) jednak pole siły
potencjalnej moŜe by równieŜ zaleŜne od czasu tj. F = F(r, t) jednak wtedy potencjał skalarny nie nazywany jest
juŜ energią potencjalną. Dla energii potencjalnej wyraŜenie F dr = - dU – jest róŜniczka zupełną.

Potencjał U( r) nie jest określony jednoznacznie , wzór (4.2) definiuje potencjał z dokładnością do stałej
addytywnej tzn. dwa potencjały róŜniące się tylko o stałą dają tą samą wartość siły.

F(r) = - grad U( r) = - grad [ U(r) + const. ] => U(r) = -

∫

F dr + const.

Z fizycznego punktu widzenia wszystkie potencjały typu  U(r) + const. są równowaŜne. MoŜemy wybrać
dowolny z nich, taka dowolność wyboru stałego poziomu odniesienia potencjału, nosi nazwę „cechowania
potencjału” Mówimy, Ŝe równanie wyraŜające II zasadę dynamiki jest niezmiennicze względem cechowania
potencjału.

Definicja 4.1 Całkowitą energią punktu materialnego M w polu potencjalnym nazywamy wielkość :
E = T + U
Jeśli punkt M porusza się w polu siły potencjalnej to : E = const.
Porównując wzory (3.3.) i (4.1) otrzymujemy :
- [ U(β) – U(α) ] = T(β) – T(α) = U(α) + T(α)  = T(β) + U(β)   => E(α) = E (β) => U + T = const.
Jest to sformułowanie zasady zachowania energii mechanicznej punktu M poruszającego się w polu siły
zachowawczej ( stad właśnie taka nazwa tych sił )
Równanie (4.3) moŜemy przepisać następująco :
d/dt [ (

∂

v) ] = - grad U => d/dt [ (

∂

v) ] + grad U = 0

Zasadę zachowania energii moŜemy zastosować równieŜ dla przypadku punktu materialnego poruszającego się
W polu sił innych niŜ zachowawcze np. dysypatywnych. Wtedy zmiana całkowitej energii mechanicznej będzie
równa pracy sił niezachowawczych, a zasadę zachowania energii moŜemy przepisać następująco :
E + Edyssyp. = 0       ; Edyssyp. – energia pola siły niedysypatwnej
Ogólnie dla układu w którym działają rózne rodzaje sił ( nie tylko pochodzenia mechanicznego ) :
E + Edyssyp. + Eelektryczna. + Echemiczna  + inne rodzaje energii = 0

Równanie ruchu punktu materialnego M w IUO na którego działa pole siły, ma postać równania wektorowego :
dp/dt = F(r, t)  bardzo istotne jest jaką postać ma funkcja F(r, t)  tj. istotne jest z jakim polem siły mamy do
czynienia. Najprostszym jest oczywiście pole stacjonarne, centralne : F = F(r) r^  ;  r^  = r / | r | - stały wersor
W takim przypadku moŜemy scałkować bezpośrednio równanie :   dp/dt = F(r )   => p = F(r) t + C
Kolejnym przykładem moŜe być pole siły zachowawczej, bezźródłowej tj. div F = 0 oraz rot F = 0
Siła taka moŜe mieć potencjał skalarny – jest on rozwiązaniem równania Laplace’a : div grad U = 0.
Przykładem takiej siły jest siła grawitacyjna w obszarze bezmasowym , jak równieŜ pole elektrostatyczne
nieskończonej płyty metalowej. Dla siły grawitacyjnej moŜemy zapisać : F(r ) = mg

≈

const. tzn. pole siły

grawitacyjnej (w niewielkim obszarze ) jest polem stałym i stacjonarnym.

Przykład 4.1 Obliczyć pracę w polu F = F(r , t ) =const.
Równość F =const.   oznacza , Ŝe F = ( Fx = const, Fx = const, Fx =const )
Pole takie jak wiadomo jest polem bezźródłowym i bezwirowym a zatem posiada potencjał skalarny
F = grad U(r ) = const.  =>

∂

x = Fx => Fxx ;

∂

y = Fy => Fyx ;

∂

z = Fz => Fzx

U(r ) = Fr

Korzystając z wzoru (4.1) otrzymujemy :
r1

W = F

∫

dr = U( r1) – U(r0) = F ( r1 – r0 )

r0
W fizyce rozwaŜa się róŜne rodzaje potencjałów przykładowo :
U(r ) = α r - potencjał liniowy np. potencjał nieskończonej naładowanej płyty metalowej

U(r ) = α r2 - np. potencjał siły spręŜystej np. potencjał oscylatora harmonicznego U(r ) = r2

Ogólnie potencjał postaci : U(r ) = α rn
U(r ) = α / r - potencjał newtonowski np. potencjał masy punktowej

Ogólnie potencjał postaci : U(r ) = α / rn

U(r ) = α exp – r /β - potencjał wykładniczy np. potencjał Yukawy U(r ) = α β exp – r /β

Potencjał Lennarda – Jonesa :   U(r ) = (α / r)12 - (α / r)6

Wektorowe pole siły moŜe nie mieć potencjału skalarnego ale potencjał wektorowy. Z rachunkowego punktu
widzenia nie ma jednak zbytniego sensu rozwaŜanie takiego potencjału, bowiem jest to przejście od jednego
pola wektorowego do drugiego pola wektorowego, przejście takie nie upraszcza rachunków ( chyba, Ŝe potencjał
wektorowy ma pewne szczególne cechy np. symetrię, której nie posiada wektorowe pole siły ). NaleŜy pamiętać,
Ŝe rozwaŜanie pola wektorowego o potencjale skalarnym ma ta dogodną własność, Ŝe sprowadza rozwaŜania od
pola wektorowego do pola skalarnego, które jest zazwyczaj łatwiejsze do analizy. Niejako pośrednim polem
między polami o potencjałach skalarnym i wektorowym jest pole quasipotencjalne.

5. Twierdzenie o wirale.

Twierdzenie o wirale mówi o ruchu punktów materialnych , oddziałujących na siebie siłami centralnymi.
Twierdzenie to ma charakter  statystyczny, gdyŜ posługuje się wielkościami uśrednionymi w czasie.
Twierdzenie to wprowadził w 1870 Rudolf Clausius.
Rozpatrzmy układ n-punktów materialnych , energia kinetyczna tego układu jest równa :
           n                        n
T = ½

ΣΣΣΣ

mi vi vi = ½

ΣΣΣΣ

pi vi

i=1 i=1
n n n
T = ½

ΣΣΣΣ

pi (dri /dt ) = ½ d/dt

ΣΣΣΣ

pi ri - ½

ΣΣΣΣ

(dpi/dt) ri

i=1 i=1 i=1
Mamy dalej :
n n
T = ½ d/dt

ΣΣΣΣ

pi ri - ½

ΣΣΣΣ

Fi ri (5.1)

i=1 i=1
Wielkość : ½ Fi ri nazywa się „wirałem” układu n-punktów materialnych. ( Spotkać moŜna równieŜ określenie ,
ze wirałem nazywamy wyraŜenie : ½ <Fi ri> tj. wartość średnią wielkości Fi ri )
Obliczmy wartość średnią w czasie obu części równania (5.1). Jak wiadomo wartość średnia pewnej wielkości
K jest równa :

< K > = lim (1/

)

∫

K dt

τ→∝

Zakładamy, Ŝe ruch układu materialnego odbywa się w ograniczonej przestrzeni i z ograniczonymi
                                                       n
prędkościami. Z tego wynika, Ŝe

ΣΣΣΣ

pi ri jest wielkością ograniczoną , odpowiednio zatem :

i=1
n

n n

< d/dt

ΣΣΣΣ

pi ri > = lim (1/

)

∫

d/dt

ΣΣΣΣ

pi ri dt = lim ( 1/

)

ΣΣΣΣ

pi ri | = 0

i=1

τ→∝

0 0

Wynik powyŜszy jest wynikiem ograniczoności wielkości : vi oraz ri , ich iloczyn średniowany po dostatecznie
długim czasie będzie dowolnie mały – w granicy równy zeru.
Zatem :
 n
< T > = - ½ <

ΣΣΣΣ

Fi ri >

i=1

Średnia wartość energii kinetycznej układu n-punktów materialnych jest równa średniej wartości wirału.
JeŜeli działające siły są potencjalne to : Fi = -

∂

ri a zatem :

n
< T > = ½ <

ΣΣΣΣ

(

∂

ri ) ri >

i=1
Dla pojedynczej cząstki : < T > = ½ < (

∂

r ) r >

JeŜeli potencjał jest potencjałem o postaci : U(r) = β rn+1 to

∂

r = (n+1) βrn

więc iloczyn (

∂

r ) r = (n+1)β rn+1 = (n+1) U(r )

Stąd :
< T > = ½ (n + 1)

dla n = -2 ( w szczególności jest to potencjał newtonowski ) mamy : U = βr -1
< T > = - ½ 
Twierdzenie 5.1 JeŜeli cząstki materialne oddziałują na siebie tylko siłami o potencjale newtonowskim to :
Średnia energia kinetyczna układu n-cząstek = - ½ średnia energia potencjalna układu n-cząstek

Dla potencjału U(r ) = α r2 (n =1), otrzymamy : < T > = .
Równość < T> = jest spełniona m.in. dla siły spręŜystej , zatem jest słuszna np. dla swobodnego oscylatora
harmonicznego. Istotnie – dla oscylatora harmonicznego mamy ( przyjmuje, Ŝe czytelnik zna podstawy teorii
oscylatora harmonicznego ) :

T = ½ m ω2A2cos2( ωt + φ) ; U = ½ FA2sin2( ωt + φ)

m – masa oscylatora , ω – częstość kołowa ω2 = F/m , A – amplitida , φ – faza początkowa, F – siła liniowa.
Policzmy średnie energii kinetycznej T i potencjalnej U w czasie jednego okresu

= 2π sqrt ( m/F)

< T > = (1/

)

∫

T dt = ( ω/2π)

∫

½ m ω2A2cos2( ωt + φ) dt = ¼ mω2A2 = ¼ FA2

0 0

= (1/

)

∫

U dt = ( ω/2π)

∫

½ FA2cos2( ωt + φ) dt = ¼ mω2A2 = ¼ FA2

0 0
Jak widać < T > = 

Twierdzenie o wirale jest bardzo uŜyteczne w wielu działach fizyki np. w mechanice statystycznej.
( Zobacz np. „Mechanika statystyczna” – Kerson Huang PWN 1987, str. 144 )

6. Całki pierwsze.

Definicja 6.1 Całką pierwszą równań ruchu jest kaŜde równanie które mówi , Ŝe pewna funkcja skalarna
Jest stała podczas ruchu tzn. istnieje pewna funkcja : f = f(r, v, t) = const.
Rozwiązanie równania postaci :
p = const.
stanowi układ trzech całek pierwszych zwanych całkami pędu.
Rozwiązanie równania postaci :
L = const.
Stanowi układ trzech całek pierwszych zwanych całkami momentu pędu
Rozwiązanie równania E = const  stanowi jedną całkę pierwszą układu zachowawczego , jest to całka energii.

7. Ruch punktu materialnego w polu siły zachowawczej.

RozwaŜmy w pierwszej kolejności ruch jednowymiarowy ( powiedzmy zgodny z osią Ox, układu
kartezjańskiego).
Zasada zachowania energii będzie miała postać :

½ m( dx/dt)2 + U(x) = E = const.

dx/dt = sqrt [ (2/m) ( E – U(x) ) ] => x(t) = sqrt( 2/m)

∫

sqrt [ E – U(x) ] dt

PoniewaŜ T jest formą dodatnio określoną tj. T

≥

0 to T = E – U

≥

0 zatem E

≥

Ruch musi zachodzić w obszarze w którym E

≥

U. Zatem ruch moŜemy analizować równieŜ „jakościowo”

znając graficzną postać krzywej energii potencjalnej. ( Dokładniej zobacz [1, str. 438 ] )

RozwaŜmy teraz ruch płaski ( ruch zachodzący na płaszczyźnie ). Jak wiadomo dla ruchu płaskiego L = const.
Siłę która zapewnia zachowanie momentu pędu jak juŜ powiedziano nazywamy siła centralną. W centrum siły
umieśćmy początek układu biegunowego Or

. Zatem r = r (r ,

) oraz U =U(r)

½ mv2 + U(r) = E = const.

RozłóŜmy wektor prędkości na składowe radialną i transwersalną : v = vr + v

; vr = dr/dt , v

= r (d

/dt)

½ m [ (dr/dt )2 + r2 (d

/dt)2 ] + U(r) = E

Z równania L = const otrzymujemy L = | r

p | = m r v

⊥

= const. tj. mr v

= L => v

= L/mr. Zatem :

r (d

/dt) = L/mr

½ m [ (dr/dt )2 + L2/(mr)2 ] + U(r) = E => ½ m (dr/dt )2 + ½ L2/mr2 + U(r) = E

Oznaczmy : Uef = ½ L

2/mr2 + U(r) - potencjał efektywny ( energia potencjalna efektywna )

½ m (dr/dt )2 + Uef = E => dr/dt = sqrt [ (2/m)( E - Uef )]
ZaleŜność

(t) otrzymujemy ze związku :

/dt = L/mr2 =>

∫

L/mr2 dt

Rys. 3 Krzywa energii potencjalnej U(r) oraz punkty charakterystyczne ruchu punktu materialnego w polu siły o
 Potencjale U(r)

Przykładowa zaleŜność energii potencjalnej pokazuje rysunek 3. Linie E1, E2, E3 reprezentują linię stałej energii
całkowitej E, punktu M. JeŜeli punkt M posiada energię całkowitą większą niŜ U3 dostępny jest dla niego cały
obszar zmienności r. JeŜeli E < U1 np. E1 cząstka napotka, punkt w którym dozna odbicia od bariery potencjału,
ulatując w kierunku przeciwnym do kierunku w którym dotychczas się poruszała.
( jej ruch będzie ruchem nieograniczonym )
JeŜeli cząstka posiada energię E2 to moŜe zdarzyć się, Ŝe zostanie uwięziona w tzw. studni potencjału, wtedy
( przy określonych warunkach ) będzie poruszała się ruchem okresowym. ( zatem ruch będzie ruchem
ograniczonym ).
JeŜeli cząstka posiada energię E3 to jej ruch moŜe by nieograniczony ale obszar zmienności r, w którym moŜe
on zachodzić jest znacznie uszczuplony.
NaleŜy zauwaŜy, Ŝe w punktach w których

∂

r = 0 na cząstkę M nie działają Ŝadne siły, zatem jej ruch będzie

ruchem swobodnym.

Przykład 7.1 Sprawdzić czy pole siły : F = (2xz2 – 2y)i + ( -2x – 6yz)j + (2x2z –3y2 )k jest polem potencjalnym
                      ,jeśli jest to obliczyć jego potencjał.

Pole F jest potencjalne jeśli znika jego rotacja tj. F = -grad U

rot F = 0 , obliczmy zatem :

rot F = [ (

∂

y) – (

∂

z)]i + [ (

∂

z) – (

∂

x)]j + [ (

∂

x) – (

∂

y)]k = 0

gdzie: P = 2xz2 – 2y ; Q = -2x – 6yz ; R = 2x2z –3y2 zatem m.in. :

∂

y =- 6y ;

∂

z = - 6y itp.

Zgodnie z tym pole siły F posiada potencjał skalarny U(r).

∂

x = P => U = 2yx - x2z2 + f1(y, z)

∂

y = Q => U = 2xy + 3y2z + f2(x, z)

∂

z = R => U = 3y2z + x2z2 + f3(x, y)

Z równań tych widać, Ŝe : f1(y, z) = 3y

2z ; f

2(x, z) = -x

2z2 ; f

3(x, y) = 2xy. Zatem :

U(x, y, z) = 2xy + 3y2z -x2z2 + C

Przykład 7.2 Znaleźć analityczną postać pola wektorowego (płaskiego) którego linie całkowe są okręgami o
promieniu jednostkowym.

Równanie parametryczne okręgu : x = sin(t) ; y = cos(t) ; t

∈

< 0, 2π >

Szukane pole to pole płaskie postaci : F = Pi + Qj . Zgodnie z odpowiednimi wzorami dla pola płaskiego
P = dx/dt = cos(t) ; Q = dy/dt = - sin(t) Zatem F = cos(t) i - sin(t)j => F = y i – x j

Sprawdzenie : Linie całkowe mają równanie : dx/y = - dy/x => ydy = -xdx => x2+ y2 = const ( równanie
okręgu o środku w początku układu współrzędnych i stałym promieniu )
Policzmy jeszcze: rot F =

∂

x -

∂

y = - 2

8. Interpretacja praw dynamiki w kontek

ście pól siły

Prawa dynamiki związane są organicznie z pojęciami układu odniesienia  i siły. Wektor siły jest w istocie polem
wektorowym. Pole wektorowe z matematycznego punktu widzenia jest przestrzenią liniową ( zbiór pól
wektorowych określony na przestrzeni stycznej, rozmaitości gładkiej wyposaŜony w określone działania tworzy
przestrzeń liniową ). Fizycznie oznacza to, Ŝe działające na punkt materialny siły spełniają zasadę superpozycji
( jest to oczywiście słuszne w przypadku sił postaci : F = F(r, v, t) - a nie jest słuszne dla sił zaleŜnych od
przyspieszenia , w tym przypadku oczywiście traci „sens” II prawo dynamiki ).
Przypominam, Ŝe I prawo Newtona głosi, Ŝe istnieje przynajmniej jeden IUO ( Inercjalny Układ Odniesienia ).
IUO to układ w którym cząstka swobodna, porusza się ruchem swobodnym względem tego układu.
( cząstka swobodna to cząstka na którą nie działają  Ŝadne siły lub wypadkowa sił działających na nią jest równa
zeru, ruch swobodny to ruch jednostajny -prostoliniowy ). Zazwyczaj mówiąc o IUO mamy na myśli układy
izolowane tj. takie które nie oddziałują wzajemnie.
Prawo to ma charakter postulatu, postulat ten w przyrodzie spełniany jest tylko w przybliŜeniu. PrzybliŜenie to
jest wynikiem empirycznego faktu wskazującego, Ŝe wszystkie znane siły są siłami których natęŜenie ubywa
( wolniej lub szybciej ) wraz ze wzrostem odległości od centrum siły. Mówi się równieŜ, Ŝe „nieinercjalność”
stosowanych układów moŜe być w wielu sytuacjach zaniedbana.
Ruch swobodny w przestrzeni Euklidesa podkreśla bardziej jej strukturę afiniczną niŜ metryczną tj. pojęcie
prostej naleŜy wiązać w tym przypadku z geodezyjną jak linią wzdłuŜ której zadać moŜna pole wektorowe ( pole
wektora prędkości )
Prawa dynamiki zazwyczaj formułowane są w IUO stąd ich waŜność dla zagadnień fizyki.

I prawo dynamiki moŜemy sformułować następująco ( będą to równieŜ postulaty ):

a) Istnieje taki obszar D

∈

E3 w którym pole siły jest równe zeru ( lub natęŜenie pola siły jest pomijalnie małe –

natęŜenie pola siły F jest równe: g = F/m ; m- jednostkowy ładunek związany z danym rodzajem pola siły ).
b) Z kaŜdym punktem k

∈

D moŜemy związać układ odniesienia.

c) W dowolnym punkcie s

∈

D moŜemy umieścić masę ( w szczególności ładunek jednostkowy, próbny ) m.

d) Równanie ruchu punktu s względem punktu k ma postać : dp/dt = 0.
    W szczególności - równanie punktu k względem punktu s ma równieŜ postać : dp/dt = 0.

Oznacza to, Ŝe w obszarze D nie istnieje wyróŜniony układ odniesienia. Jedynym ruchem w obszarze D jest
zatem ruch swobodny. Układy odniesienia zdefiniowane w obszarze D nazywamy IUO
Transformacje układów współrzędnych w obszarze D to oczywiście transformacje liniowe postaci :
t’ =

t + t0 ;

X’ = AX + B ;   A – macierz ortogonalna , B – macierz wektora translacji.
Transformacje kinematyczne to transformacje Galileusza ( w szczególności o postaci ) :
x’(t) = x(t) – vt
NaleŜy mieć na uwadze, Ŝe pojęcie pola siły i ładunku są pojęciami związanymi między sobą – ładunek próbny
musi sprzęgać się do danego pola siły.

II prawo dynamiki :
( II prawo dynamiki nie jest juŜ postulatem ale faktem empirycznym )

a) Istnieje taki obszar G

∈

E3 ( i być tak moŜe , Ŝe D

⊂

G jak równieŜ G

⊂

D ) w którym moŜemy określić

wektorowe pole siły :
F = F(x, y, z, t) = F(r, t) ( o niezaniedbywalnej wartości )
b) W kaŜdym punkcie p

∈

G moŜemy umieścić masę jednostkową.

c) Równanie ruchu punktu p

∈

G względem dowolnego IUO ma postać :

dp/dt = F
d) Z kaŜdym punktem p

∈

G moŜemy związać układ odniesienia. Układ odniesienia związany z punktem p

∈

     nazywamy NIUO. ( nieinercjalny układ odniesienia ). Układ moŜe być inercjalny kiedy rozpatrujemy pewne
     zagadnienie ale moŜe by nieinercjalny, kiedy przejdziemy do analizy innego zagadnienia albo zwiększymy
     dokładność pomiarów.

Mówimy równieŜ, Ŝe układ jest nieinercjalny jeśli : dp/dt

≠

F lub dp/dt = F + Fbezwł. tj. do pola siły trzeba

dodać pewne dodatkowe pole sił zwane (pseudo)siłami bezwładności. To oznacza, Ŝe układ jest inercjalnym jeśli
równanie ruchu ma względem niego postać : dp/dt = F .
Na rysunku 4 przedstawiono pewne przypadki obszarów pól sił i równań ruchu. Rys 4a – obszar D, w którym nie
działają Ŝadne siły. Wszystkie układy odniesienia określone w obszarze D są inercjalne. Rys 4b – z kaŜdym
punktem obszaru D moŜemy związać IUO transformacje między tymi układami mają postać transformacji
Galileusza. Rys 4c – równanie ruchu punktu na który dział siła, względem IUO ma postać dv/dt = F.
Rys 4d,e  – obszar D moŜe zawierać zawiera lub moŜe być zawarty w obszarze G. Rys 4f – układ moŜe być
inercjalny równieŜ w obszarze niezerowej siły ( tak moŜe być np. w przypadku kiedy rozwaŜamy ruch ładunku
elektrycznego w pole sił elektrycznych  względem nienaładowanego elektrycznie układu odniesienia )
Rys 4g – dwa NIUO w których działają róŜne pola sił do równań ruchu naleŜy dodać pole sił bezwładności
( zaleŜnych od czasu i prędkości )

Pewne uwagi.
a) Dla sił posiadających potencjał najlepszym układem odniesienia jest układ związany z centrum takiej siły,
naleŜy jednak pamiętać, Ŝe pole takich sił moŜe posiadać osobliwość ( osobliwości ) tzn. punkty w których jego
wartość staje się nieokreślona.
b) W mechanice klasycznej nie bierze się pod uwagę pędu (energii) przenoszonej przez samo pole siły – jest to
teoria nierelatywistyczna, przyjmująca moŜliwość działania natychmiastowego.
c) Pisze się zazwyczaj, Ŝe I prawo Newtona w swym klasycznym sformułowaniu postuluje istnienie absolutnego
układu odniesienia - AUO ( układ bezwzględnego spoczynku ). IUO to układ poruszający się względem AUO
ruchem swobodnym. Układy te w istocie naleŜy rozróŜniać. IUO to układ lokalny związany z ruchem
swobodnym , AUO to pojęcie związane z globalnymi własnościami przestrzeni, związane jest on równieŜ z
pojęciem „absolutnego przyspieszenia” tj. z ogólnym zagadnieniem Macha.
Osobiście uwaŜam, Ŝe pojęcie AUO jest zbędne chociaŜby ze względu na jego „pozafizyczny” tj. zbyt
idealistyczny charakter. AUO zastępuje układem na który nie działają Ŝadne siły – układem izolowanym czyli
lokalnym IUO.
d) Ruch ładunku o zerowym pędzie początkowym w obszarze G odbywa się zgodnie z liniami sił pola.
   ( dla pola o potencjale Newtowskim jest to ruch po prostej koniec której pokrywa się z centrum siły.
     W przypadku niezerowego pędu początkowego ruch jak wiadomo jest ruchem po stoŜkowej )