1

Praca, energia i prawa zachowania w mechanice klasycznej

########################################################################################
Autor : R. Waligóra
data powstania dokumentu : 2009-05-05 ; ostatnie poprawki z dnia: 2009-06-03
########################################################################################

1.P

ęd i moment pędu. ( momentum ,angular momentum )

Jak już pisałem, pęd punktu materialnego M o masie m (stałej ) w inercjalnym układzie odniesienia U
definiujemy jako wektor :
p = m v (1.1)
Jak widać wektor pędu jest wektorem kolinearnym z wektorem prędkości. Różniczkując względem czasu
równanie (1.1) otrzymamy :

dp/dt = (dm/dt)v + m (dv/dt) = ma , oznaczmy : dp/dt

≡

p

•

, zatem : p

•

= m a

( ogólnie pochodną dowolnej wielkości wektorowej , względem czasu będę oznaczał w pewnych sytuacjach
zwyczajową kropką )
Jak wiadomo II prawo Newtona w układzie inercjalnym U możemy zapisać następująco :

p

•

= F (1.2)

Możemy teraz sformułować prawo zachowania pędu dla punktu materialnego M – jeżeli zewnętrzna siła
działająca na punkt M jest równa zeru ( lub działające siły zewnętrzne równoważą się ), to pęd punktu M
pozostaje stały w czasie tj.

p

•

= 0 => p =const. (1.3)

Rozpisując na składowe ( w układzie ortokartezjańskim ) otrzymamy :
px = const ; py = const. ; pz = const.
Równanie (1.3) jest przykładem prostego różniczkowego prawa zachowania ( albo prawa zachowania w postaci
różniczkowej )
Sumaryczny pęd układu złożonego z n punktów materialnych, nie oddziałujących między sobą jest algebraiczną
sumą pędów składowych :
n n
p =

ΣΣΣΣ

pi =

ΣΣΣΣ

mi vi

i=1 i=1
Siła zewnętrzna działająca na punkt M jest w ogólnym przypadku polem wektorowym zależnym w ogólności od
czasu , prędkości i współrzędnych tj. : F = F (v, r, t ). Siły które są najbardziej „rozpowszechnione” w fizyce to
siły potencjalne tj. wektorowe pole siły potencjalnej – zachowawczej posiada potencjał i najczęściej jest to
potencjał skalarny. Siła potencjalna to siła o ogólnej postaci : F = F (r, t ) – co ważne nie zalezą one od
prędkości, siły te są siłami zachowawczymi co oznacza, że w polu tych sił spełniona jest zasada zachowania
energii mechanicznej. Mogą jednak istnieć siły nie potencjalne ale zachowawcze. Jest tak w przypadku tzw. sił
giroskopowych. Siły te są zależne od prędkości ale w taki sposób , że iloczyn skalarny : Fv = 0. Wyrażenie : Fv
zwane jest „mocą siły”. Dla sił giroskopowych moc siły znika ( jak zobaczymy później znika zatem i praca tej
siły ). Inne siły których moc jest niezerowa powodują zmiany całkowitej energii mechanicznej , są one związane
np. z tarciem czy lepkością ośrodka ( ogólnie są to siły dyssypatywne – rozpraszające ) [8, str. 75].
Jeżeli w układzie n punktów materialnych występują siły wewnętrzne to całkowitą siłę działająca na ten układ
zapiszemy równaniem :
n i

≠

j

Fc =

ΣΣΣΣ

Fi0 +

ΣΣΣΣ

Fij

i=1 i,j=1
oraz zgodnie z III prawem Newtona : Fij = - Fji ( Zatem

ΣΣΣΣ

Fij = 0 )

Zdefiniujmy teraz moment pędu punktu M.
L = r

×

p (1.4)

Moment pędu L, punktu materialnego ( zwany dawniej „krętem” ) M jest iloczynem wektorowym ( jest więc
pseudowektorem ) promienia wodzącego r ( chwilowego) i pędu p, punktu M. Jak wiadomo z rachunku
wektorowego wektor L jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r i v o zwrocie zgodnym ze
zwrotem przyjętego układu współrzędnych ( zazwyczaj prawoskrętnego ). Dla ruchów płaskich ma on stały
kierunek i odwrotnie – jeżeli wektor momentu pędu jest wektorem o stałym kierunku to ruch jest ruchem
płaskim.
Zdefiniujmy następnie pseudowektor momentu siły ( torque ) :
M = r

×

F (1.5)

2

Zróżniczkujmy względem czasu równanie (1.4) :

dL/dt = d/dt (r

×

p ) = (dr/dt )

×

p + r

×

(dp/dt) = v

×

p + r

×

p

•

= M

( bo v

×

p = v

×

vm = 0 )

Zatem : L

•

= M (1.6)

Do równania (1.6) możemy dojść również na innej, równoważnej drodze, mianowicie pomnóżmy wektorowo
przez r równanie (1.2) :

r

×

p

•

= r

×

F ale r

×

p

•

= d/dt ( r

×

p ) zatem : dL /dt = M

Rys. 1 Wektor momentu pędu

W układzie kartezjańskim składowe wektora momentu pędu są określone zgodnie z wzorem :
L = ( Lx, Ly, Lz ) = | i j k | = ( ypz – zpy ,zpx – xpz , xpy – ypx )
| x y z |
| px py pz |
Podobnie możemy określić wektor momentu siły :
M = ( Mx, My, Mz ) = | i j k | = ( yFz – zFy ,zFx – xFz , xFy – yFx )
| x y z |
| Fx Fy Fz |

Jeżeli M = 0 to jak widać z równania (1.6) : L

•

= 0 => L = const.

Możemy zatem sformułować prawo zachowania momentu pędu dla punktu materialnego M – jeżeli zewnętrzny
moment siła działająca na punkt M jest równy zeru ( lub działające momenty sił zewnętrznych równoważą się ),
to moment pędu punktu M pozostaje stały w czasie. Analogicznie również jak dla pędu mamy :
t1

∆

L = L(t1) - L(t0) =

∫

M

dt

(1.7)

t0

Wielkość :

∫

M dt – nazywamy „popędem momentu siły“

Przykład 1.1 Niech punkt M porusza się po okręgu o stałym promieniu R w którego środku umieścimy początek
układu odniesienia ( współrzędnych ). Wektor prędkości liniowej punktu M jest następujący : v =

ω

×

r = ωr.

Wektor momentu pędu punktu M będzie miał zatem postać : L = mωr2.

Zdefiniujmy jeszcze jedną wielkość – wektor momentu bezwładności względem punktu o promieniu wodzącym
r :

I = mr2 (1.8)
( jak wiemy w ogólnym przypadku jest to wielkość tensorowa )

Wzór L = mωr2 możemy zapisać teraz w postaci ogólnej jako : L = I

ω

Jak wiadomo z rachunku wektorowego moment siły będzie równy zeru : r

×

F = 0 w dwóch przypadkach :

albo F = 0 albo F || r ( wektor siły jest równoległy do wektora wodzącego )

3

Definicja 1.1 Siłę ( pole siły ) która jest zawsze równoległa do wektora promienia wodzącego nazywamy siłą
centralną F = F( r, t) i sin(

∠

r, F ) = 0 tak , że dla F

≠

0 i r

≠

0 F

×

r = 0

Dla siły centralnej M = 0 zatem L = const.

Rozważając układ n-punktów materialnych o masach mi ; i = 1,2,....n wygodnie jest zdefiniować kilka pojęć.
n
Przez : Mc =

ΣΣΣΣ

mi (1.9)

i=1
będziemy oznaczali całkowitą masę tego układu.
Środek masy tego układu wyznacza wektor :
n
R(t ) = (1/ Mc )

ΣΣΣΣ

mi ri ; ri = ri (t) – promienie wodzące poszczególnych punktów materialnych. (1.10)

i=1
II prawo Newtona dla rozważanego układu możemy zapisać następująco :

Fc = McR

•

•

(1.11)

Twierdzenie 1.1 Środek masy układu n-punktów materialnych porusza się tak , jak gdyby całkowita masa układu
Mc była w nim skoncentrowana i na tę masę działała wypadkowa sił zewnętrznych Fc .

2.Pr

ędkość polowa.

Jeżeli ruch jest ruchem płaskim , możemy zdefiniować pewną pożyteczną wielkość.
Definicja 2.1 Prędkość polowa cząstki materialnej M jest pseudowektorem postaci :
vp = ½ ( r

×

v ) (2.1)

Nazwa “prędkość polowa” związana jest z tym faktem, że wartość bezwzględna tego wektora pomnożona przez
dt równa jest : ½ ( r

×

ds ) bo ds = vdt , jest to pole trójkąta zakreślonego przez promień wodzący r w czasie dt.

Całka :
t

½

∫

| r

×

v | dt

t0
jest więc polem zawartym między wektorami r(t) i r (t0 ) oraz łukiem toru w przedziale ( t, t0 ). Dla ruchu

Rys. 2 Wektor prędkości polowej.

płaskiego L = const. i dla m =const. : L = r

×

p = m ( r

×

v ) = const

Zatem : ½ L m = vp

= const.

Twierdzenie 2.1 W ruchu pod działaniem siły centralnej ( a zatem ruchu płaskiego ) prędkość polowa jest stała.
Twierdzenie 2.2 Dla ruchu płaskiego S jest liniową funkcją czasu. S = S(t) - pole zakreślane przez wektor
wodzący.

3.Praca, moc i energia mechaniczna.

Definicja 3.1 Energią kinetyczną punktu materialnego M o masie m, nazywamy wielkość określoną wzorem :
T = ½ m v v (3.1)
Jeżeli rozważamy układ n-punktów materialnych to energia kinetyczna będzie dana wzorem :

4

n

T =

ΣΣΣΣ

½ mi ri

•

ri

•

(3.2)

i=1
W ogólnym przypadku energia kinetyczna jest formą biliniową postaci :

T = ½ gij (dq

i/dt)(dqj/dt) ; qi – współrzędne uogólnione.

Ponieważ energia kinetyczna jest skalarem wzór (3.1) powinniśmy zapisywać używając iloczynu skalarnego :

T = ½ m v

·

v lub T = (1/2m) p

·

p

Warto również zauważyć, że :

∂

T/

∂

p = v oraz

∂

T/

∂

v = p

Zapiszmy II prawo Newtona : dp/dt = F, następnie pomnóżmy skalarnie obie strony tego równania przez
infinitezymalny wektor dr :
( dp/dt ) dr = F dr (3.2a)
Wprowadza się również pojęcie energii kinetycznej środka masy układu n-punktów materialnych :

Tśrodkamasy = ½ Mc R

•

2

Zachodzi również następujące twierdzenie ( Koeniga ). Całkowita energia kinetyczna układu n-punktów
materialnych równa jest sumie energii kinetycznej środka masy tego układu oraz całkowitej energii kinetycznej
punktów poszczególnych punktów układu względem środka masy :
n

Tcałkowita = ½ Mc R

•

2 + ½

ΣΣΣΣ

mi ri

•

ri

•

i=1
β

Obliczmy wielkość : F dr = dW => W =

∫

F dr ; W – nazywamy pracą siły (pola siły ) na drodze α

→

β

α
( jest to całka krzywoliniowa nieskierowana zatem praca jest wielkością skalarną )
β

W szczególności gdy F = const to W = Fs

∫

dr ; Fs- składowa styczna do elementu drogi dr.

α

Jednostką pracy jest dżul [ J = kgm2/s2 ].
Wskażmy, teraz jaki jest związek miedzy pracą W a energią kinetyczną T.
F dr = F (dr /dt) dt = F v dt ( m = const. )
β β

W =

∫

F v dt = m

∫

d/dt [ (dr /dt)2 ] dt = ½ mv2(t) – ½ mv2(t0) = T(β) – T(α) (3.3)

α α

Zatem :
dW = dT
Przyrost energii kinetycznej punktu M w przedziale czasu < t0, t > jest równy pracy W jaką wykonała siła ( pole
siły) na drodze L przebytej przez punkt M w tym przedziale czasu.

Moc, czyli szybkość wykonywania pracy w czasie, jest wielkością fizyczną definiowaną wzorem :
P = dW/dt = F dr/dt = F v (3.4)
( jest to moc chwilowa )
Oczywiście :
t

W =

∫

P(t) dt [ wat = J/s ]

t0

P = dT/dt = ½ d/dt ( mv2 )

4. Siły zachowawcze, energia potencjalna.

Rozpatrzmy teraz specjalne pole siły stacjonarnej – pole siły stacjonarnej o potencjale skalarnym ( zwane
również polem siły zachowawczej ). Jak wiadomo z rachunku wektorowego pole wektorowe F(r ) jest polem
potencjalnym jeżeli rot F = 0, wtedy siła posiada potencjał skalarny U(r ) zwany „energią potencjalną”.
Należy podkreślić, że potencjał a energia potencjalna to dwa różne pojęcia – energia potencjalna to potencjał
stacjonarny. ( zobacz uwaga 4.1 ) Dla siły potencjalnej :

∫

F dr =

∫

F dr =>

∮

F dr = 0

L1 L2 C

5

Praca W, siły potencjalnej jak wiadomo nie jest zależna od drogi a jedynie od różnicy potencjałów :
β

W =

∫

F dr = U(β) – U(α) (4.1)

α
Twierdzenie 4.1 Praca wykonana przez siłę zachowawczą na drodze między dwoma punktami A , B nie zależy
od kształtu tej drogi , a jedynie od różnicy potencjałów między tymi punktami. W szczególności jeżeli
U(A) = U(B) to praca jest równa zeru.
Wniosek – jeżeli punkty A i B leżą na tej samej powierzchni ekwiskalarnej to praca wykonana na drodze A

→

B

jak również B

→

A jest równa zeru. Z tego wynika również , że praca wykonana na drodze zamkniętej jest

równa zeru.
Znając potencjał U( r) możemy wyznaczyć F(r) :
F(r) = - grad U( r) lub równoważnie : F( r) = -

∇

U( r) (4.2)

Rozpisując na składowe :
Fx = -

∂

U/

∂

x ; Fy = -

∂

U/

∂

y ; Fz = -

∂

U/

∂

z

Równanie ruchu w polu potencjalnym będzie miało postać :

p

•

= -

∇

U( r) (4.3)

Uwaga 4.1 Zazwyczaj przyjmujemy jako pole siły potencjalnej , pole stacjonarne : F = F(r) jednak pole siły
potencjalnej może by również zależne od czasu tj. F = F(r, t) jednak wtedy potencjał skalarny nie nazywany jest
już energią potencjalną. Dla energii potencjalnej wyrażenie F dr = - dU – jest różniczka zupełną.

Potencjał U( r) nie jest określony jednoznacznie , wzór (4.2) definiuje potencjał z dokładnością do stałej
addytywnej tzn. dwa potencjały różniące się tylko o stałą dają tą samą wartość siły.

F(r) = - grad U( r) = - grad [ U(r) + const. ] => U(r) = -

∫

F dr + const.

Z fizycznego punktu widzenia wszystkie potencjały typu U(r) + const. są równoważne. Możemy wybrać
dowolny z nich, taka dowolność wyboru stałego poziomu odniesienia potencjału, nosi nazwę „cechowania
potencjału” Mówimy, że równanie wyrażające II zasadę dynamiki jest niezmiennicze względem cechowania
potencjału.

Definicja 4.1 Całkowitą energią punktu materialnego M w polu potencjalnym nazywamy wielkość :
E = T + U
Jeśli punkt M porusza się w polu siły potencjalnej to : E = const.
Porównując wzory (3.3.) i (4.1) otrzymujemy :
- [ U(β) – U(α) ] = T(β) – T(α) = U(α) + T(α) = T(β) + U(β) => E(α) = E (β) => U + T = const.
Jest to sformułowanie zasady zachowania energii mechanicznej punktu M poruszającego się w polu siły
zachowawczej ( stad właśnie taka nazwa tych sił )
Równanie (4.3) możemy przepisać następująco :
d/dt [ (

∂

T/

∂

v) ] = - grad U => d/dt [ (

∂

T/

∂

v) ] + grad U = 0

Zasadę zachowania energii możemy zastosować również dla przypadku punktu materialnego poruszającego się
W polu sił innych niż zachowawcze np. dysypatywnych. Wtedy zmiana całkowitej energii mechanicznej będzie
równa pracy sił niezachowawczych, a zasadę zachowania energii możemy przepisać następująco :
E + Edyssyp. = 0 ; Edyssyp. – energia pola siły niedysypatwnej
Ogólnie dla układu w którym działają rózne rodzaje sił ( nie tylko pochodzenia mechanicznego ) :
E + Edyssyp. + Eelektryczna. + Echemiczna + inne rodzaje energii = 0

Równanie ruchu punktu materialnego M w IUO na którego działa pole siły, ma postać równania wektorowego :
dp/dt = F(r, t) bardzo istotne jest jaką postać ma funkcja F(r, t) tj. istotne jest z jakim polem siły mamy do
czynienia. Najprostszym jest oczywiście pole stacjonarne, centralne : F = F(r) r^ ; r^ = r / | r | - stały wersor
W takim przypadku możemy scałkować bezpośrednio równanie : dp/dt = F(r ) => p = F(r) t + C
Kolejnym przykładem może być pole siły zachowawczej, bezźródłowej tj. div F = 0 oraz rot F = 0
Siła taka może mieć potencjał skalarny – jest on rozwiązaniem równania Laplace’a : div grad U = 0.
Przykładem takiej siły jest siła grawitacyjna w obszarze bezmasowym , jak również pole elektrostatyczne
nieskończonej płyty metalowej. Dla siły grawitacyjnej możemy zapisać : F(r ) = mg

≈

const. tzn. pole siły

grawitacyjnej (w niewielkim obszarze ) jest polem stałym i stacjonarnym.

Przykład 4.1 Obliczyć pracę w polu F = F(r , t ) =const.
Równość F =const. oznacza , że F = ( Fx = const, Fx = const, Fx =const )
Pole takie jak wiadomo jest polem bezźródłowym i bezwirowym a zatem posiada potencjał skalarny
F = grad U(r ) = const. =>

∂

U/

∂

x = Fx => Fxx ;

∂

U/

∂

y = Fy => Fyx ;

∂

U/

∂

z = Fz => Fzx

U(r ) = Fr

6

Korzystając z wzoru (4.1) otrzymujemy :
r1

W = F

∫

dr = U( r1) – U(r0) = F ( r1 – r0 )

r0
W fizyce rozważa się różne rodzaje potencjałów przykładowo :
U(r ) = α r - potencjał liniowy np. potencjał nieskończonej naładowanej płyty metalowej

U(r ) = α r2 - np. potencjał siły sprężystej np. potencjał oscylatora harmonicznego U(r ) = r2

Ogólnie potencjał postaci : U(r ) = α rn
U(r ) = α / r - potencjał newtonowski np. potencjał masy punktowej

Ogólnie potencjał postaci : U(r ) = α / rn

U(r ) = α exp – r /β - potencjał wykładniczy np. potencjał Yukawy U(r ) = α β exp – r /β

Potencjał Lennarda – Jonesa : U(r ) = (α / r)12 - (α / r)6

Wektorowe pole siły może nie mieć potencjału skalarnego ale potencjał wektorowy. Z rachunkowego punktu
widzenia nie ma jednak zbytniego sensu rozważanie takiego potencjału, bowiem jest to przejście od jednego
pola wektorowego do drugiego pola wektorowego, przejście takie nie upraszcza rachunków ( chyba, że potencjał
wektorowy ma pewne szczególne cechy np. symetrię, której nie posiada wektorowe pole siły ). Należy pamiętać,
że rozważanie pola wektorowego o potencjale skalarnym ma ta dogodną własność, że sprowadza rozważania od
pola wektorowego do pola skalarnego, które jest zazwyczaj łatwiejsze do analizy. Niejako pośrednim polem
między polami o potencjałach skalarnym i wektorowym jest pole quasipotencjalne.

5. Twierdzenie o wirale.

Twierdzenie o wirale mówi o ruchu punktów materialnych , oddziałujących na siebie siłami centralnymi.
Twierdzenie to ma charakter statystyczny, gdyż posługuje się wielkościami uśrednionymi w czasie.
Twierdzenie to wprowadził w 1870 Rudolf Clausius.
Rozpatrzmy układ n-punktów materialnych , energia kinetyczna tego układu jest równa :
n n
T = ½

ΣΣΣΣ

mi vi vi = ½

ΣΣΣΣ

pi vi

i=1 i=1
n n n
T = ½

ΣΣΣΣ

pi (dri /dt ) = ½ d/dt

ΣΣΣΣ

pi ri - ½

ΣΣΣΣ

(dpi/dt) ri

i=1 i=1 i=1
Mamy dalej :
n n
T = ½ d/dt

ΣΣΣΣ

pi ri - ½

ΣΣΣΣ

Fi ri (5.1)

i=1 i=1
Wielkość : ½ Fi ri nazywa się „wirałem” układu n-punktów materialnych. ( Spotkać można również określenie ,
ze wirałem nazywamy wyrażenie : ½ <Fi ri> tj. wartość średnią wielkości Fi ri )
Obliczmy wartość średnią w czasie obu części równania (5.1). Jak wiadomo wartość średnia pewnej wielkości
K jest równa :

τ

< K > = lim (1/

τ

)

∫

K dt

τ→∝

0

Zakładamy, że ruch układu materialnego odbywa się w ograniczonej przestrzeni i z ograniczonymi
n
prędkościami. Z tego wynika, że

ΣΣΣΣ

pi ri jest wielkością ograniczoną , odpowiednio zatem :

i=1
n

τ

n n

τ

< d/dt

ΣΣΣΣ

pi ri > = lim (1/

τ

)

∫

d/dt

ΣΣΣΣ

pi ri dt = lim ( 1/

τ

)

ΣΣΣΣ

pi ri | = 0

i=1

τ→∝

0

τ→∝

0 0

Wynik powyższy jest wynikiem ograniczoności wielkości : vi oraz ri , ich iloczyn średniowany po dostatecznie
długim czasie będzie dowolnie mały – w granicy równy zeru.
Zatem :
n
< T > = - ½ <

ΣΣΣΣ

Fi ri >

i=1

7

Średnia wartość energii kinetycznej układu n-punktów materialnych jest równa średniej wartości wirału.
Jeżeli działające siły są potencjalne to : Fi = -

∂

U/

∂

ri a zatem :

n
< T > = ½ <

ΣΣΣΣ

(

∂

U/

∂

ri ) ri >

i=1
Dla pojedynczej cząstki : < T > = ½ < (

∂

U/

∂

r ) r >

Jeżeli potencjał jest potencjałem o postaci : U(r) = β rn+1 to

∂

U/

∂

r = (n+1) βrn

więc iloczyn (

∂

U/

∂

r ) r = (n+1)β rn+1 = (n+1) U(r )

Stąd :
< T > = ½ (n + 1) < U (r ) >

dla n = -2 ( w szczególności jest to potencjał newtonowski ) mamy : U = βr -1
< T > = - ½ < U (r ) >
Twierdzenie 5.1 Jeżeli cząstki materialne oddziałują na siebie tylko siłami o potencjale newtonowskim to :
Średnia energia kinetyczna układu n-cząstek = - ½ średnia energia potencjalna układu n-cząstek

Dla potencjału U(r ) = α r2 (n =1), otrzymamy : < T > = < U >.
Równość < T> = <U> jest spełniona m.in. dla siły sprężystej , zatem jest słuszna np. dla swobodnego oscylatora
harmonicznego. Istotnie – dla oscylatora harmonicznego mamy ( przyjmuje, że czytelnik zna podstawy teorii
oscylatora harmonicznego ) :

T = ½ m ω2A2cos2( ωt + φ) ; U = ½ FA2sin2( ωt + φ)

m – masa oscylatora , ω – częstość kołowa ω2 = F/m , A – amplitida , φ – faza początkowa, F – siła liniowa.
Policzmy średnie energii kinetycznej T i potencjalnej U w czasie jednego okresu

τ

= 2π sqrt ( m/F)

τ

τ

< T > = (1/

τ

)

∫

T dt = ( ω/2π)

∫

½ m ω2A2cos2( ωt + φ) dt = ¼ mω2A2 = ¼ FA2

0 0

τ

τ

< U > = (1/

τ

)

∫

U dt = ( ω/2π)

∫

½ FA2cos2( ωt + φ) dt = ¼ mω2A2 = ¼ FA2

0 0
Jak widać < T > = <U>

Twierdzenie o wirale jest bardzo użyteczne w wielu działach fizyki np. w mechanice statystycznej.
( Zobacz np. „Mechanika statystyczna” – Kerson Huang PWN 1987, str. 144 )

6. Całki pierwsze.

Definicja 6.1 Całką pierwszą równań ruchu jest każde równanie które mówi , że pewna funkcja skalarna
Jest stała podczas ruchu tzn. istnieje pewna funkcja : f = f(r, v, t) = const.
Rozwiązanie równania postaci :
p = const.
stanowi układ trzech całek pierwszych zwanych całkami pędu.
Rozwiązanie równania postaci :
L = const.
Stanowi układ trzech całek pierwszych zwanych całkami momentu pędu
Rozwiązanie równania E = const stanowi jedną całkę pierwszą układu zachowawczego , jest to całka energii.

7. Ruch punktu materialnego w polu siły zachowawczej.

Rozważmy w pierwszej kolejności ruch jednowymiarowy ( powiedzmy zgodny z osią Ox, układu
kartezjańskiego).
Zasada zachowania energii będzie miała postać :

½ m( dx/dt)2 + U(x) = E = const.

dx/dt = sqrt [ (2/m) ( E – U(x) ) ] => x(t) = sqrt( 2/m)

∫

sqrt [ E – U(x) ] dt

Ponieważ T jest formą dodatnio określoną tj. T

≥

0 to T = E – U

≥

0 zatem E

≥

U

Ruch musi zachodzić w obszarze w którym E

≥

U. Zatem ruch możemy analizować również „jakościowo”

znając graficzną postać krzywej energii potencjalnej. ( Dokładniej zobacz [1, str. 438 ] )

Rozważmy teraz ruch płaski ( ruch zachodzący na płaszczyźnie ). Jak wiadomo dla ruchu płaskiego L = const.
Siłę która zapewnia zachowanie momentu pędu jak już powiedziano nazywamy siła centralną. W centrum siły
umieśćmy początek układu biegunowego Or

θ

. Zatem r = r (r ,

θ

) oraz U =U(r)

½ mv2 + U(r) = E = const.

8

Rozłóżmy wektor prędkości na składowe radialną i transwersalną : v = vr + v

θ

; vr = dr/dt , v

θ

= r (d

θ

/dt)

½ m [ (dr/dt )2 + r2 (d

θ

/dt)2 ] + U(r) = E

Z równania L = const otrzymujemy L = | r

×

p | = m r v

⊥

= const. tj. mr v

θ

= L => v

θ

= L/mr. Zatem :

r (d

θ

/dt) = L/mr

½ m [ (dr/dt )2 + L2/(mr)2 ] + U(r) = E => ½ m (dr/dt )2 + ½ L2/mr2 + U(r) = E

Oznaczmy : Uef = ½ L

2/mr2 + U(r) - potencjał efektywny ( energia potencjalna efektywna )

½ m (dr/dt )2 + Uef = E => dr/dt = sqrt [ (2/m)( E - Uef )]
Zależność

θ

=

θ

(t) otrzymujemy ze związku :

τ

d

θ

/dt = L/mr2 =>

θ

=

∫

L/mr2 dt

0

Rys. 3 Krzywa energii potencjalnej U(r) oraz punkty charakterystyczne ruchu punktu materialnego w polu siły o
Potencjale U(r)

Przykładowa zależność energii potencjalnej pokazuje rysunek 3. Linie E1, E2, E3 reprezentują linię stałej energii
całkowitej E, punktu M. Jeżeli punkt M posiada energię całkowitą większą niż U3 dostępny jest dla niego cały
obszar zmienności r. Jeżeli E < U1 np. E1 cząstka napotka, punkt w którym dozna odbicia od bariery potencjału,
ulatując w kierunku przeciwnym do kierunku w którym dotychczas się poruszała.
( jej ruch będzie ruchem nieograniczonym )
Jeżeli cząstka posiada energię E2 to może zdarzyć się, że zostanie uwięziona w tzw. studni potencjału, wtedy
( przy określonych warunkach ) będzie poruszała się ruchem okresowym. ( zatem ruch będzie ruchem
ograniczonym ).
Jeżeli cząstka posiada energię E3 to jej ruch może by nieograniczony ale obszar zmienności r, w którym może
on zachodzić jest znacznie uszczuplony.
Należy zauważy, że w punktach w których

∂

U/

∂

r = 0 na cząstkę M nie działają żadne siły, zatem jej ruch będzie

ruchem swobodnym.

Przykład 7.1 Sprawdzić czy pole siły : F = (2xz2 – 2y)i + ( -2x – 6yz)j + (2x2z –3y2 )k jest polem potencjalnym
,jeśli jest to obliczyć jego potencjał.

Pole F jest potencjalne jeśli znika jego rotacja tj. F = -grad U

rot F = 0 , obliczmy zatem :

rot F = [ (

∂

R/

∂

y) – (

∂

Q/

∂

z)]i + [ (

∂

P/

∂

z) – (

∂

R/

∂

x)]j + [ (

∂

Q/

∂

x) – (

∂

P/

∂

y)]k = 0

gdzie: P = 2xz2 – 2y ; Q = -2x – 6yz ; R = 2x2z –3y2 zatem m.in. :

∂

R/

∂

y =- 6y ;

∂

Q/

∂

z = - 6y itp.

Zgodnie z tym pole siły F posiada potencjał skalarny U(r).

∂

U/

∂

x = P => U = 2yx - x2z2 + f1(y, z)

∂

U/

∂

y = Q => U = 2xy + 3y2z + f2(x, z)

∂

U/

∂

z = R => U = 3y2z + x2z2 + f3(x, y)

9

Z równań tych widać, że : f1(y, z) = 3y

2z ; f

2(x, z) = -x

2z2 ; f

3(x, y) = 2xy. Zatem :

U(x, y, z) = 2xy + 3y2z -x2z2 + C

Przykład 7.2 Znaleźć analityczną postać pola wektorowego (płaskiego) którego linie całkowe są okręgami o
promieniu jednostkowym.

Równanie parametryczne okręgu : x = sin(t) ; y = cos(t) ; t

∈

< 0, 2π >

Szukane pole to pole płaskie postaci : F = Pi + Qj . Zgodnie z odpowiednimi wzorami dla pola płaskiego
P = dx/dt = cos(t) ; Q = dy/dt = - sin(t) Zatem F = cos(t) i - sin(t)j => F = y i – x j

Sprawdzenie : Linie całkowe mają równanie : dx/y = - dy/x => ydy = -xdx => x2+ y2 = const ( równanie
okręgu o środku w początku układu współrzędnych i stałym promieniu )
Policzmy jeszcze: rot F =

∂

Q/

∂

x -

∂

P/

∂

y = - 2

8. Interpretacja praw dynamiki w kontek

ście pól siły

Prawa dynamiki związane są organicznie z pojęciami układu odniesienia i siły. Wektor siły jest w istocie polem
wektorowym. Pole wektorowe z matematycznego punktu widzenia jest przestrzenią liniową ( zbiór pól
wektorowych określony na przestrzeni stycznej, rozmaitości gładkiej wyposażony w określone działania tworzy
przestrzeń liniową ). Fizycznie oznacza to, że działające na punkt materialny siły spełniają zasadę superpozycji
( jest to oczywiście słuszne w przypadku sił postaci : F = F(r, v, t) - a nie jest słuszne dla sił zależnych od
przyspieszenia , w tym przypadku oczywiście traci „sens” II prawo dynamiki ).
Przypominam, że I prawo Newtona głosi, że istnieje przynajmniej jeden IUO ( Inercjalny Układ Odniesienia ).
IUO to układ w którym cząstka swobodna, porusza się ruchem swobodnym względem tego układu.
( cząstka swobodna to cząstka na którą nie działają żadne siły lub wypadkowa sił działających na nią jest równa
zeru, ruch swobodny to ruch jednostajny -prostoliniowy ). Zazwyczaj mówiąc o IUO mamy na myśli układy
izolowane tj. takie które nie oddziałują wzajemnie.
Prawo to ma charakter postulatu, postulat ten w przyrodzie spełniany jest tylko w przybliżeniu. Przybliżenie to
jest wynikiem empirycznego faktu wskazującego, że wszystkie znane siły są siłami których natężenie ubywa
( wolniej lub szybciej ) wraz ze wzrostem odległości od centrum siły. Mówi się również, że „nieinercjalność”
stosowanych układów może być w wielu sytuacjach zaniedbana.
Ruch swobodny w przestrzeni Euklidesa podkreśla bardziej jej strukturę afiniczną niż metryczną tj. pojęcie
prostej należy wiązać w tym przypadku z geodezyjną jak linią wzdłuż której zadać można pole wektorowe ( pole
wektora prędkości )
Prawa dynamiki zazwyczaj formułowane są w IUO stąd ich ważność dla zagadnień fizyki.

I prawo dynamiki możemy sformułować następująco ( będą to również postulaty ):

a) Istnieje taki obszar D

∈

E3 w którym pole siły jest równe zeru ( lub natężenie pola siły jest pomijalnie małe –

natężenie pola siły F jest równe: g = F/m ; m- jednostkowy ładunek związany z danym rodzajem pola siły ).
b) Z każdym punktem k

∈

D możemy związać układ odniesienia.

c) W dowolnym punkcie s

∈

D możemy umieścić masę ( w szczególności ładunek jednostkowy, próbny ) m.

d) Równanie ruchu punktu s względem punktu k ma postać : dp/dt = 0.
W szczególności - równanie punktu k względem punktu s ma również postać : dp/dt = 0.

Oznacza to, że w obszarze D nie istnieje wyróżniony układ odniesienia. Jedynym ruchem w obszarze D jest
zatem ruch swobodny. Układy odniesienia zdefiniowane w obszarze D nazywamy IUO
Transformacje układów współrzędnych w obszarze D to oczywiście transformacje liniowe postaci :
t’ =

±

t + t0 ;

X’ = AX + B ; A – macierz ortogonalna , B – macierz wektora translacji.
Transformacje kinematyczne to transformacje Galileusza ( w szczególności o postaci ) :
x’(t) = x(t) – vt
Należy mieć na uwadze, że pojęcie pola siły i ładunku są pojęciami związanymi między sobą – ładunek próbny
musi sprzęgać się do danego pola siły.

II prawo dynamiki :
( II prawo dynamiki nie jest już postulatem ale faktem empirycznym )

a) Istnieje taki obszar G

∈

E3 ( i być tak może , że D

⊂

G jak również G

⊂

D ) w którym możemy określić

wektorowe pole siły :
F = F(x, y, z, t) = F(r, t) ( o niezaniedbywalnej wartości )
b) W każdym punkcie p

∈

G możemy umieścić masę jednostkową.

10

c) Równanie ruchu punktu p

∈

G względem dowolnego IUO ma postać :

dp/dt = F
d) Z każdym punktem p

∈

G możemy związać układ odniesienia. Układ odniesienia związany z punktem p

∈

G

nazywamy NIUO. ( nieinercjalny układ odniesienia ). Układ może być inercjalny kiedy rozpatrujemy pewne
zagadnienie ale może by nieinercjalny, kiedy przejdziemy do analizy innego zagadnienia albo zwiększymy
dokładność pomiarów.

Mówimy również, że układ jest nieinercjalny jeśli : dp/dt

≠

F lub dp/dt = F + Fbezwł. tj. do pola siły trzeba

dodać pewne dodatkowe pole sił zwane (pseudo)siłami bezwładności. To oznacza, że układ jest inercjalnym jeśli
równanie ruchu ma względem niego postać : dp/dt = F .
Na rysunku 4 przedstawiono pewne przypadki obszarów pól sił i równań ruchu. Rys 4a – obszar D, w którym nie
działają żadne siły. Wszystkie układy odniesienia określone w obszarze D są inercjalne. Rys 4b – z każdym
punktem obszaru D możemy związać IUO transformacje między tymi układami mają postać transformacji
Galileusza. Rys 4c – równanie ruchu punktu na który dział siła, względem IUO ma postać dv/dt = F.
Rys 4d,e – obszar D może zawierać zawiera lub może być zawarty w obszarze G. Rys 4f – układ może być
inercjalny również w obszarze niezerowej siły ( tak może być np. w przypadku kiedy rozważamy ruch ładunku
elektrycznego w pole sił elektrycznych względem nienaładowanego elektrycznie układu odniesienia )
Rys 4g – dwa NIUO w których działają różne pola sił do równań ruchu należy dodać pole sił bezwładności
( zależnych od czasu i prędkości )

Pewne uwagi.
a) Dla sił posiadających potencjał najlepszym układem odniesienia jest układ związany z centrum takiej siły,
należy jednak pamiętać, że pole takich sił może posiadać osobliwość ( osobliwości ) tzn. punkty w których jego
wartość staje się nieokreślona.
b) W mechanice klasycznej nie bierze się pod uwagę pędu (energii) przenoszonej przez samo pole siły – jest to
teoria nierelatywistyczna, przyjmująca możliwość działania natychmiastowego.
c) Pisze się zazwyczaj, że I prawo Newtona w swym klasycznym sformułowaniu postuluje istnienie absolutnego
układu odniesienia - AUO ( układ bezwzględnego spoczynku ). IUO to układ poruszający się względem AUO
ruchem swobodnym. Układy te w istocie należy rozróżniać. IUO to układ lokalny związany z ruchem
swobodnym , AUO to pojęcie związane z globalnymi własnościami przestrzeni, związane jest on również z
pojęciem „absolutnego przyspieszenia” tj. z ogólnym zagadnieniem Macha.
Osobiście uważam, że pojęcie AUO jest zbędne chociażby ze względu na jego „pozafizyczny” tj. zbyt
idealistyczny charakter. AUO zastępuje układem na który nie działają żadne siły – układem izolowanym czyli
lokalnym IUO.
d) Ruch ładunku o zerowym pędzie początkowym w obszarze G odbywa się zgodnie z liniami sił pola.
( dla pola o potencjale Newtowskim jest to ruch po prostej koniec której pokrywa się z centrum siły.
W przypadku niezerowego pędu początkowego ruch jak wiadomo jest ruchem po stożkowej )

11

Rys. 4

Bibliografia

Literatura podstawowa

1). “Wstęp do fizyki – tom 1 „ – A. K. Wróblewski, J. A. Zakrzewski, PWN 1989
2). „Mechanika klasyczna – tom I, II” – John R. Taylor , WN-PWN 2006
3). „Mechanika Teoretyczna” – W. Rubinowicz, W. Królikowski , WN-PWN 1998
4) „Wstęp do mechaniki klasycznej” – Krzysztof Stefański, WN-PWN 1999
5) „Mechanika klasyczna” – G. Białkowski , PWN 1975 - szczególnie polecana.
6) „Mechanika teoretyczna” – J. J. Olchowski, PWN 1978
7) „Mechanika klasyczna” – R. S. Ingarden, A. Jamiołkowski, PWN 1980
8) „Feynmana wykłady z fizyki” tom 1 cz. 1, WN PWN 2001

Literatura w języku rosyjskim

9) „Mechanika klasyczna” – G. Goldstein
10) „Podstawy mechaniki teoretycznej” – W. F. śurawliew, Moskwa Fizmatlit 2001

12

11) „Wykłady z mechaniki teoretycznej” – Ju. G. Pawlenko, Moskwa Fizmatlit 2002
12) „Mechanika teoretyczna” – A. P. Markjew, Moskwa, 1999

##########################################################################################