1. Symetrie i prawa zachowania w fizyce klasycznej i kwantowej.
Symetria jest to niezmienniczość jakiegoś obiektu pod wpływem określonych przekształceń.
Symetrie są obecnie podstawowym narzędziem fizyki: z ich istnienia można wywnioskować zasady zachowania (twierdzenie Noether) oraz wszystkie własności cząstek elementarnych, takie jak ładunki, masy i oddziaływania, w których uczestniczą.
Aby opisać symetrię podaje się często grupę przekształceń, względem których symetria zachodzi, albo zbiór generatorów, które określają tą grupę.
Symetrie przestrzeni
Za uniwersalną własność przestrzeni uznaje się jej jednorodność (symetrię względem przesunięć), izotropię (symetrię względem obrotów) oraz zasadę względności (symetrię względem przekształceń Lorentza).
1. Jednorodność przestrzeni – grupa przesunięć Żaden punkt w przestrzeni nie jest fizycznie wyróżniony; przestrzeń jest jednorodna.
W każdym z trzech wymiarów przestrzennych możemy wykonać przesunięcie, wybierając początek układu odniesienia w coraz to innym punkcie, a prawa fizyki nie ulegną przy tym zmianie. Takim przesunięciom odpowiada przekształcenie r
r r
r ' = r + b
gdzie b jest pewnym (dowolnym) stałym wektorem.
2. Izotropowość przestrzeni – grupa obrotów SO(3) np. obrót dookoła osi z o kąt φ
x' = x cosϕ + y sin ϕ
y' = − x sin ϕ + y cosϕ
z' = z
3. Grupa Galileusza SO(3)xO(1) - symetria fizyki newtonowskiej (przestrzeni z czasem)
Jednorodność czasu - Zmiana parametryzacji czasu jest kwestią umowy; prawa fizyki nie powinny się zmieniać przy dowolnym przesunięciu w czasie. Żadna chwila, a więc żaden punkt na osi czasu nie jest fizycznie wyróżniony, aby w nim koniecznie należało umieszczać początek osi czasu.
t' = t + t 0
4. Grupa Lorentza SO(3,1) - symetria Teorii względności (czasoprzestrzeni, przestrzeni Mińkowskiego)
5. Grupa Poincaré - grupa Lorentza wraz z przesunięciami, symetria teorii pól kwantowych
1
Prawa fizyczne stwierdzające, że w układzie odosobnionym wartości liczbowe niektórych wielkości fizycznych nie ulegają zmianom, niezależnie od tego, jakie procesy zachodzą wewnątrz układu.
Istnieją zarówno zachowania zasady obowiązujące bezwzględnie, jak i zachowania zasady słuszne tylko dla niektórych procesów.
Wielkości zachowywane bezwzględnie:
• pęd
• moment pędu
• energia
• masa
• ładunek elektryczny
• spin
a
według danych doświadczalnych
• liczba barionowa i liczba leptonowa.
Wielkości zachowywane tylko w niektórych procesach np. :
• parzystość (oddziaływania silne i elektromagnetyczne)
• izospin (oddziaływania słabe)
Zasady zachowania w mechanice kwantowej
Z zasadami zachowanie związane jest przekształcenie, które nie zmienia hamiltonianu układu.
Jeżeli operator O tego przekształcenia komutuje z hamiltonianem to odpowiadająca temu operatorowi wielkość fizyczna jest stałą ruchu.
ˆ ˆ
ˆ ˆ
O( Hψ ) = H ( Oψ ) ˆ ˆ
ˆ ˆ
H
O
− O
H
= 0
[ˆ ˆ
O, H ]= 0
Zasada zachowania pędu
Wielkością, której niezmienniczość w czasie dla układu zamkniętego wynika z jednorodności przestrzeni jest pęd układu.
kwantowo
klasycznie
ˆ
ˆ
(∑∇ ) H − H(
) 0
a
∑∇ =
r
a
dP
a
a
= 0
[ pˆ Hˆ
, ]= 0
dt
r
r
r
r
pˆ = − i ∇
P = p + p + ... + p = const h
1
2
n
2
Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa 0 to całkowity wektor pędu tego układu pozostaje stały. Pędy poszczególnych punktów mogą ulegać zmianom, ale suma tych pędów jeżeli na układ nie działa żadna siła zewnętrzna jest stała.
Zasada zachowania momentu pędu
Moment pędu układu jest wielkością, której niezmienniczość wynika z izotropowości przestrzeni.
kwantowo
klasycznie
r
(∑[ˆ
ˆ
ˆ
dL
r ∇ ]) H − H (
a
a
∑[ˆ r ∇ ]) = 0
a
a
= 0
a
a
dt
ˆ ˆ
[ L, H ] = 0
r r r
r
L = l + l + ... + l = const 1
2
n
ˆ l
h = [ ˆ r ⋅ ˆ p] = − i h[ ˆ r ⋅ ∇]
Jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ wynosi 0 to całkowity moment pędu układu pozostaje stały.
Jeśli układem punktów materialnych jest ciało sztywne obracające się dookoła nieruchomej osi np. z to moment pędu jest wyrażony przez wzór.
r = ωr =
L
I
const
z
Zasada zachowania energii
Jeśli hamiltonian nie zależy od czasu to wielkością zachowywaną jest energia.
Tak więc zasada zachowania energii wynika z niezmienniczości względem przesunięć w czasie.
kwantowo
klasycznie
r 2
Hˆ
[
Hˆ
, ] = 0
r r
p
( , ) =
+ ( r) = =
H x p
U x
E
const
2
2 m
r r
h
r
Hˆ ( x, p) = −
Δ + U ( x) = const
2 m
Energia całkowita tzn. suma energii kinetycznej, potencjalnej, wewnętrznej i wszystkich innych rodzajów energii nie zmienia się.
Energia może być przekształcona z jednej formy w inną – np. w energię fali głosowej, świetlną, elektryczną. Energia całkowita jest jednak wielkością stałą.
Zasada równoważności masy i energii
Zasadę zachowania masy - Lavoisier potwierdził doświadczalnie przed i po eksperymencie istniej taka sama ilość materii.
Teoria względności Einsteina połączyła zasadę zachowania energii i zasadę zachowania masy Każda ilość dowolnego rodzaju energii dostarczona przedmiotowi materialnemu powoduje zwiększenie jego masy o
Δ = E
m
⇒ E = Δ mc 2
c 2
całkowita energia spo
∑( m c 2 +Ε
0
)= const
czynkowa
Suma
wszystkich
innych
rodzajów energii.
3
Obserwowane wartości spinu są wartościami własnymi operatora spinu. Aby dla danej cząstki otrzymać wartość jej spinu należy zadziałać tym operatorem na jej funkcję falową.
1
i
S =
hσ
i
2
gdzie i={1,2,3}, a
⎛0 1⎞
⎛0 − i⎞
⎛1 0 ⎞
σ =
σ =
σ =
1
⎜⎜
⎟⎟
2
⎜⎜
⎟⎟
1 0
3
⎜⎜
⎟⎟
i
0
0 −1
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Zasada zachowania ładunku elektrycznego
Całkowita suma ładunków w układzie zamkniętym jest stała.
Oznacza to w praktyce, że ładunki w układzie zamkniętym nie mogą "znikać", a zmiany sumy ładunku elektrycznego układów otwartych muszą być związane z przepływem ładunku z lub do otoczenia.
Zachowanie ładunku elektrycznego wynika z niezmienniczości względem transformacji cechowania funkcji falowej cząstki naładowanej (np. elektronu) r
r
iα
ψ ( x,
r
t ) →ψ '( x, t ) = e ψ ( x, t) Gdzie α jest dowolnym globalnym parametrem (niezależnym od punktu czasoprzestrzeni).
Zasada zachowania liczby barionowej
Funkcja falowa dowolnego barionu (np. protonu, neutronu) transformuje się zgodnie ze wzorem ψ (r
r
α
x,
r
t ) →ψ '( x, t ) = eiB ψ ( x, t ) B – liczba barionowa równa:
1
dla barionów
-1
dla antybarionów
0
dla pozostałych cząstek elementarnych (elektronów, mezonów) 1/3
dla kwarków
Konsekwencja - kwarki muszą powstawać w przemianach zawsze w takiej samej liczbie jak antykwarki.
Zasada zachowania liczby leptonowej
Leptony e, μ, τ, νe, νμ, ντ i antycząstki są nośnikami podlegającej prawu zachowania liczby leptonowej.
Funkcja falowa dowolnego leptonu transformuje się zgodnie ze wzorem : r
r
α
ψ ( x,
r
t ) →ψ '( x, t) = eiL ψ ( x, t) L – liczba leptonowa równa:
1
dla
leptonów
-1
dla
antyleptonów
0
dla
pozostałych cząstek elementarnych
Konsekwencja - lepton i antylepton powstają lub znikają jednocześnie.
4