W fizyce klasycznej obowiązują zasady
zachowania;

Oto jak można je skomplikować

energii, pędu i momentu pędu

.

Te trzy zasady można traktować jako konsekwencje
pewnych symetrii.

Zasada zachowania energii

wynika więc z

niezmienniczości
względem przesunięcia w czasie. Inaczej mówiąc,
jeżeli w każdej chwili czasu

zasada wariacyjna

najmniejszego działania,

oraz równania ruchu

opisujące układ nie zmieniają się , to energia
układu w tych chwilach jest taka sama.

i …..Zasada jedności Przyrody

Jeżeli coś ma się stać to się stanie : )

zasady zachowania mają zastosowanie także dla

reakcji jądrowych

Zasada zachowania energii
zabrania aby zachodziły reakcje jądrowe takie, że

masy spoczynkowe produktów byłyby większe od

mas spoczynkowych substratów.

Zasada zachowania pędu
wymaga aby wskutek anihilacji elektronu i pozytonu

powstawały dwa fotony.

Spełniona musi być także

Zasada zachowania momentu pędu.
moment pędu przed rozpadem i po powinien być

stały

Czwartą zasadą ograniczającą możliwe reakcje

jest

Zasada zachowania ładunku.
Sumaryczny ładunek przed reakcją musi być taki

sam jak po reakcji lub rozpadzie.

• A teraz kawał
• Rozważmy rozpad
• Ten rozpad jest zgodny z zasadami

zachowania ładunku, energii, pędu i
momentu pędu a jednak nigdy nie
zachodzi. !!!!

Działanie

, wielkość fizyczna mająca wymiar

iloczynu

energii i czasu

lub

pędu i

położenia

(jak kręt). Charakteryzuje ruch

układu mechanicznego, ale pojęcie to
wykorzystuje się również w
elektrodynamice, termodynamice i
mechanice kwantowej.

Najmniejszy kwant działania to stała

Plancka h[J

*

s]

Praca i energia potencjalna
przy podnoszeniu ciężaru

Jeśli podniesiemy masę

m

wbrew sile

grawitacji na wysokość

h

(niewielkiej

względem promienia Ziemi), wymaga to
wykonania pracy zwiększającą energię
potencjalną masy m ;

p

E

mgh



Jeśli pozwolimy masie

m

spaść z wysokości

h

,

wzrasta jej prędkość, a tym samym energia
kinetyczna, równocześnie spada energia
potencjalna masy m. Jednak sumaryczna
energia pozostaje niezmieniona.

2

2

2

m

v

mgh

v

gh







Energia

h

E

k

E

p

E=mgh

E

pmax

=E

kin

.

Energia kinetyczna po spadku masy z wysoko

ś

ci h wynosi;

Energia, którą zmagazynowała sprężyna przy
wydłużaniu

nazywamy

energią potencjalną

.

p

E

W



Dla
sprężyny:

W = - ½ k x

2

B

A

W

F dr







r

r

.

Z równania tego widzimy również, że praca
może być wykonana tylko przez składową siły
styczną do drogi.

Jaką pracę musimy wykonać wydłużając
sprężynę z położenia równowagi o x. Zgodnie z
prawem Hooke’a sprężyna sprzeciwia się
rozciąganiu z siłą
F=-kx. Wobec tego

2

0

0

2

x

x

c

W

Fdx

c xdx

x











Gdzie k = stała sprężystości w [N/m]

W = - ½ k x

2

Jak obliczyć stałą
sprężystości?

h = l

2

– l

1

k = mg/h = mg/x

energia

x

E

k

=E-E

p

E

kmax

=E

E

p

=c/2x

1

2

E

p

=c/2x

2

E

pmax

E

k

=0

-x

1

x

1

Rozkład potencjału
dla drobiny dwuatomowej

Zasada zachowania pędu

Zasada zachowania pędu

korzystając z 3 zasady dynamiki Newtona
znajdziemy dodatkową regułę dotyczącą
oddziaływania pomiędzy ciałami, która
podobnie jak zasada zachowania energii jest
ważna dla wszystkich sił niezależnie od tego,
czy siły te szczegółowo znamy czy nie.

zasada akcji i reakcji

F

2

1

F

12

Wiemy, że,

12

21

12

21

0

F

F

F

F









r

r

r

r

Zasadę akcji i reakcji da się uogólnić
na wiele ciał.

1 1

2 2

mv mv

p const



 

r

r

r

Całkowity pęd p układu dwóch ciał nie
zmienia się pod wpływem działania sił
wewnętrznych

.

Równanie to możemy uogólnić dla układu

N

ciał oddziaływujących tylko przez siły
wewnętrzne.

1

N

i i

i

mv

p const



 



r

r

Równanie

to

stanowi zapis

zasady

zachowania pędu

dla układu N izolowanych ciał.

Zderzenie
niesprężyste

Mamy następujące zderzenie, kulka o masie
m

1

wpada na

spoczywającą

kulkę o masie m

2

.

m

1

m

2

m

1

+

m

2

v

1

v

1

’

przed
zderzeniem

po
zderzeniu

W oparciu o zasadę
zachowania pędu
mamy;

2

'

1 1

1

1

0 (

)

mv

m m v

 



r

r

Stąd mamy:

'

1

1

1

1

2

m

v

v

m m















r

r

Dla m

1

= m

2

.

'

1

1

1

2

v

v



r

r

Policzmy czemu równa się zmiana energii
kinetycznej

E

K

dla tego zderzenia

Pod wpływem działania siły F ciało zmienia w czasie dt swój pęd,

dp F dt

 

r

r

oraz położenie

dr v dt

 

r r

Eliminując z tych równań dt otrzymujemy;

0

v dp F dr

 

 

r

r r

r

To ostatnie równanie możemy napisać jako:

0

p dp

F dr

m





 

r

r

r

r

Wykorzystując fakt, że

(

)

2

d p p

dp p p dp

p dp

     



r r

r r

r r

r

,

Możemy równanie zapisać jako;

2

0

2

p

d

F dr

m







 









r r

Znaleźliśmy więc dwie wielkości zawierające
charakterystyczne dla ruchu parametry – pęd,
masę, siłę i pozycję, których suma podczas
ruchu pozostaje stała.

Wyrażenie

p

2

/2m

nazywa się energią kinetyczną

.

2

2

2

2

k

p

mv

E

m





Wyrażenie oznacza więc
zmianę energii kinetycznej wzdłuż drogi dr.

2

(

)

2

k

p

dE

d

m



Drugi człon w równaniu

(4.5)

nazywamy

pracą.

Zderzenia sprężyste ciał –

Zasada

zachowania
Energii kinetycznej i zasada zachowania pędu

Zasadę zachowania pędu dla dwóch
zderzających się cząstek o masach

m

1

i

m

2

,

możemy zapisać następująco:

'

'

1 1

2 2

1 1

2 2

mv mv

mv mv







r

r

r

r

W układzie kartezjańskim otrzymujemy trzy
równania;

'

'

1

2

1

2

1

2

1

2

'

'

1

2

1

2

1

2

1

2

'

'

1

2

1

2

1

2

1

2

dx

dx

dx

dx

m

m

m

m

dt

dt

dt

dt

dy

dy

dy

dy

m

m

m

m

dt

dt

dt

dt

dz

dz

dz

dz

m

m

m

m

dt

dt

dt

dt



















2

2

'2

'2

'

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

p

p

p

p

T

T

m

m

m

m











2

2

'2

'2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

p

p

p

p

Q

m

m

m

m









2

2

2

2

k

p

mv

E

m





Jeżeli zderzenie nie jest całkowicie sprężyste będziemy
musieli uwzględnić ciepło Q, które powstaje w czasie zderzenia

Zasadę zachowania energii możemy także zapisać
używając
zamiast kwadratu prędkości kwadratu pędu

wtedy:

Suma wszystkich sił działających pomiędzy tymi ciałami jest równa
zero. Siły takie nazywamy siłami wewnętrznymi i ich suma jest równa
0, gdyż siły te się znoszą parami.

F

2

1

F

32

F

13

F

31

F

23

F

12

1

0

N

ik

i k

i k

F

 







r

Z zasady tej obowiązującej tylko
dla sił wewnętrznych znajdziemy
ważną regułę.

1 1

2 2

12

21

(

)

(

)

0

d mv

d mv

F

F

dt

dt









r

r

Zderzenia wielu ciał

• momentu pędu,
• ładunku elektrycznego

Moment pędu

Zasada zachowania

momentu pedu

Energia w polu

Pole jako przestrzeń w której

określone są wielkości fizyczne. Mogą

to być wielkości skalarne lub

wektorowe. Mamy więc np.. Pole sił,

pole potencjału, pole natężeń,

temperatur, ciśnienia, itd.

Zacznijmy od pola grawitacyjnego

Pole grawitacyjne

Jest polem potencjalnym co oznacza, że

posiada potencjał a to z kolei oznacza, że
praca sił przy przejściu z punktu A do B nie
zależy od obranej drogi ale tylko od różnicy
potencjału

B

A

p

1

2

E

m

V(r )

G

m

r





V(r) = V(x,y,z,)

Potencjał jest skalarem

Działają siły zachowawcze

B

A

F ds const

 



r r

niezależnie od drogi pomiędzy A i B.

B

A

Siły są zachowawcze,
jeśli w czasie ruchu pod
wpływem tych sił
spełniona jest

zasada

zachowania energii
mechanicznej.

Możemy również
stwierdzić, że

Zależność pomiędzy energią a
potencjałem

Trzeba zwrócić uwagę, że naprawdę potrafimy tylko policzyć
E

p

a nie samą E

p

(r) ,

.

ponieważ E

p

=E

p

(r) –E

p

(r

0

). Żeby

znaleźć E

p

(r) trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość E

p

(r

0

)

 Punkt określony przez promień wodzący r

0

jest zwykle tzw.

punktem odniesienia.

Wygodnie jest wybrać go tak, ażeby

energia potencjalna w tym punkcie była równa zero!

Na stronie 10 poprzedniego wykładu uzyskaliśmy dla energii
potencjalnej masy m

2

punkcie r wartość

0

0

( )

( )

r

p

p

p

r

E

E r

E r

F ds













r

r

Pamiętamy, że zmianę energii potencjalnej
definiowaliśmy jako:

1 2

( )

p

Gmm

E r

r



.

Widzimy, że wokół masy m

1

istnieje

przestrzeń, w której na dowolną dowolną masę
m

2

działa siła dana poprzednim wzorem.

Wprowadźmy wielkość charakteryzującą
przestrzeń roztaczającą się wokół masy m

1

w

postaci funkcji ;

p

1

2

E

m

V(r )

G

m

r





Funkcję V(r) w omawianym przypadku nazywamy

potencjałem
pola grawitacyjnego.

Potencjał ten definiujemy jako stosunek
grawitacyjnej energii potencjalnej dowolnej masy
m do wielkości tej masy .

Podobnie postąpimy już niedługow przypadku pola elektrycznego.

Siły zachowawcze i niezachowawcze

Ogólnie dzielimy siły na dwie klasy, siły
zachowawcze i siły niezachowawcze.
Rozróżnienie pomiędzy nimi jest oparte na
wielkości pracy jaką siła wykonuje na drodze
zamkniętej.
Siły zachowawcze są to takie siły dla których
praca po drodze zamkniętej jest równa zero.

0

F ds

 



r r

�

Siły tarcia są siłami niezachowawczymi.
Ogólnie biorąc siłami niezachowawczymi są
siły zależne od czasu i siły zależne od
prędkości.
Należy podkreślić, że suma energii
potencjalnej i kinetycznej jest stała tylko dla
sił zachowawczych.

Przykłady energii potencjalnych sił zachowawczych

1. Energia potencjalna sprężyny

Energię potencjalną sprężyny omówiliśmy
już poprzednio.
Otrzymaliśmy na energię potencjalna
wartość:

2

1

2

p

E

cx



E

p

x

2. Energia Potencjalna stałej siły

ˆ

x

F

mgi



r

0

ˆ ˆ

(

)

x

p

x

x

E

mgi i dx

mgx











( )

p

E x

mgx



E

p

x

3 Energia potencjalna uniwersalnej siły
grawitacji

1 2

2

mm

F G

r



r jest odległością masy m

1

od

masy m

2

.

0

r

p

r

E

F ds









r

r

Załóżmy, że liczymy zmianę energii
przy przesunięciu masy m

2

z

nieskończoności do r.

W przypadku pola grawitacyjnego lub

elektrostatycznego wygodnie jest przyjąć
potencjał i energię potencjalną
umieszczonego w tym polu ciała lub
ładunku w odniesieniu do
nieskończoności gdzie

przyjmujemy potencjał równy zero

Siły oddziałują za pośrednictwem pola.
Inaczej mówiąc wokół mas i ładunków mamy pole

sił.

W polu, które ma potencjał są to siły zachowawcze

Potencjał to stosunek energii potencjalnej do

masy lub ładunku. Potencjał jest określony dla
każdego punktu pola w którym działają siły a
więc możemy powiedzieć, że mamy pole
potencjału … np. dla układu współrzędnych Oxyz
potencjał zapiszemy jako V(x,y,z). Potencjał jest
skalarem a pole potencjału polem skalarnym

1 2

1 2

2

1 2

( )

( )

1

1 1

p

p

p

r

r

E

E r

E

mm

G

dr Gmm

r

r

Gmm

r











 



























( ) 0

p

E  

1 2

( )

p

Gmm

E r

r



r

E

p

Potencjał w polu
grawitacyjnym
jest ujemny, bo trzeba
wykonać
pracę aby masę Δm
przenieść
do nieskończoności gdzie
(jak się
umówiliśmy) potencjał
wynosi zero.

Praca i energia potencjalna dla sił
elektrostatycznych

Pomiędzy dwoma ładunkami q

1

i q

2

umieszczonymi w odległości r od siebie działa
wzdłuż wektora r siła elektrostatyczna zgodnie z
prawem Coulomba,

1

2

2

q q r

F k

r

r





r

r

Jaką pracę wykona ta siła, jeśli ładunek q

2

przesuniemy z punktu P

1

do punktu P

2

.

2

2

1

1

1

2

1 2

2

2

1

1 1

r

r

r

r

q q

W

Fdr

k

dr

kqq

r

r

r



























q

1

q

2

P

2

P

1

r

1

r

2

.

Oznacza to, że energia potencjalna E

p

= -W

zależy tylko od r

1

i r

2

. Często interesuje nas

pytanie jaką prace należy wykonać, aby
ładunek z nieskończoności przesunąć do
punktu P

2.

2

2

1 2

2

1

P

r

E

W

F dr kqq

r











r

E

p

q

1

·q

2

> 0

q

1

·q

2

< 0

przyciąganie

odpychanie

Kształt energii
potencjalnej
oddziaływania
elektrostatycznego
jest opisany taką samą
funkcją f(r) jak dla
oddziaływania
grawitacyjnego. Może
ona jednak być
również dodatnia, czyli
odpychająca.

2. Potencjał wykładniczy

0

0

( )

exp( / )

p

E r

V

r r





3. Potencjał Gaussa

2

2

0

0

( )

exp(

/ )

p

E r

V

r r





0

0

0

( )

( )exp( / )

p

r

E r

V

r r

r





4. Potencjał Yukawy

5. Potencjał
oscylatora
harmonicznego

2

2

0

0

2

0

0

( )

(

)

(

1)

p

V r

E r

r r

r r

 





E

p

(r)/V

0

r/r

0

p. Yukawy

p. Gaussa

p. jamy prostokątnej

p. wykładniczy

Jak wyglądają te potencjały?

Związek pomiędzy siłą a energią
potencjalną

Pokazaliśmy, że energia potencjalna ciała może
być w prosty sposób obliczona w dowolnej
odległości od niego jako iloczyn masy lub
ładunku oraz potencjału pola.

Miejsca o tej samej energii potencjalnej dane
są przez równanie:

( , , )

p

E x y z const



.

Jest to równanie powierzchni, którą nazywamy

powierzchnią ekwipotencjalną.

W atomie powierzchnie ekwipotencjalne
elektronów znajdujących się w zasięgu
oddziaływania dodatnich protonów mają
równanie;

1

p

E

k

const

r

  

,

są powierzchniami kul.

W jaki sposób można
policzyć
wielkość siły
działającej na elektron
w dowolnym miejscu.
Jeśli przesuniemy
elektron o dr, to
energia potencjalna
zmieni się o

p

dE

F dr

 

r r

Jeśli przesuniemy elektron po powierzchni
ekwipotencjalnej,
dE

p

= 0, czyli nie została wykonana praca.

Wynika z tego, ze siła F może być skierowana
tylko prostopadle do powierzchni
ekwipotencjalnej. Kierunek siły jest więc dany
przez „linie sił”, które są prostopadłe do
powierzchni ekwipotencjalnych. Przesuwając
elektron wzdłuż linii sił o odcinek dr
równoległy do linii sił, otrzymujemy,

p

dE

F

dr















.

Możemy więc powiedzieć,

że siła jest pochodną

energii potencjalnej w kierunku r, czyli tzw.
pochodną kierunkową

.

dW F dr

 

r r

p

E

W



W oparciu o równania

i

możemy napisać;

( , , )

ˆ

( , , )

ˆ

( , , )

ˆ

p

x

x

p

y

y

p

z

z

E x y z

F

F i

x

E x y z

F

F i

y

E x y z

F

F i

z



  





  





  



r

r

r

.

Podany układ równań jest równoważny
równaniu:

ˆ

ˆ

ˆ

p

p

p

x

y

z

E

E

E

F

i

i

i

x

y

z































r

.

Inaczej piszemy, że

p

F

gradE



r

.