Microsoft Word - 06 Pręty.doc

06 Pręty

UKŁADY PRĘTOWE

Układy prętowe statycznie wyznaczalne

Pręt jest najprostszym modelem elementów konstrukcyjnych.

Kształt pręta jest wyznaczony przez dowolną figurę płaską, któ-
rej  środek  ciężkości  porusza się po  dowolnym  torze  – figura ta
wyznacza  kształt  przekroju  poprzecznego,  natomiast  tor  wy-
znacza oś pręta.

Przykłady konstrukcji prętowych

Rozciąganie a) i ściskanie b) oraz siła

wnętrzna c) dla pręta o stałym przekroju

Równanie równowagi:

suma sił działających wzdłuż osi pręta

jest równa zeru

Naprężenia w pręcie:





Wydłużenie pręta:







Ponieważ dla rozciąganego pręta obowiązuje prawo Hooke'a,

wydłużenie pręta oraz jego przewężenie (odkształcenie po-
przeczne) określają zależności:





















Siły wewnętrzne w pręcie wyznacza się za pomocą metody

przekrojów.

Myślowych przekrojów należy dokonywać

w dowolnych miejscach odcinków, których grani

cami są

punkty

przyłożenia obciążenia oraz zmiany kształtu poprzecz-

nego pręta ( np. wielkości przekroju).

06 Pręty

RZYKŁAD

Dla pręta przedstawionego na rysunku wykonać wykresy sił normalnych, naprężeń

oraz przemieszczeń poprzecznych przekrojów pręta.

Równanie statyki:

3P - 2P + P – R = 0 

R = 2P

Metoda: –

metoda myślowych przekrojów.

Przekrój 1–1:











W przekroju 1–

1 siła wewnętrzna jest siłą rozciągającą. Dla uniknięcia

konfliktu znaków w pozostałych przekrojach kierunek sił wewnętrznych bę-
dzie zgodny z kierunkiem przyjętym w przekroju 1–1. Dzięki temu założeniu
znaki sił w pozostałych przekrojach należy odnosić do kierunku sił w tym
przekroju.

Przekrój 2–2:





















W porównaniu z przekrojem 1–

1, tutaj siła wewnętrzna jest siłą ściskają-

cą, naprężenia mają znak zgodny ze znakiem sił, nastąpiło skrócenie odcin-
ka, w którym umiejscowiony został przekrój 2–2.

Przekrój 3–3:





















Zmiana wielkości przekroju poprzecznego nie wpływa na wartość siły

wewnętrznej, ale ma wpływ na naprężenia i odkształcenia. Siła N3 ma znak
przeciwny do siły w przekroju 1–1, jest więc siłą ściskającą.

Przekrój 4–4:

















W tym przekroju siła ma znak zgodny z kierunkiem w przekroju 1–1, jest

więc siłą rozciągającą. Wykresy sił normalnych i naprężeń przedstawiono
na rys. 2.6. Uskoki na wykresie sił wewnętrznych odpowiadają wartościom
sił zewnętrznych – w ten sposób jest zachowana ciągłość wykresu sił nor-
malnych.

06 Pręty

Całkowite wydłużenie swobodnego końca pręta jest sumą wydłużeń poszczególnych od-

cinków:









































Wykres przemieszczeń poprzecznych przekrojów pręta pokazano na rysunku.

Po analizie czterech przekrojów do rozpatrzenia pozostał jeszcze niewielki

fragment pr

ęta. Jego analiza może mieć znaczenie przy sprawdzaniu po-

prawności wyników. Z warunków równowagi sił dla tego fragmentu pręta wy-
nika, że N

= R = 2P. Fakt ten potwierdza poprawność obliczeń.

Do obliczenia całkowitego wydłużenia pręta można wykorzystać zasadę superpozycji.

Zasada superpozycji

Obciążenie działające na pręt można rozłożyć na oddzielnie działające siły 3P, 2P i P.

Obniżenie swobodnego końca pręta wywołane tymi siłami (czynną, obciążoną część pręta
zakrop

kowano) wyrażają zależności:



































































Zasadę superpozycji można zastosować również do obliczenia reakcji R. Zgodnie z ry-

sunkiem, reakcja ta wynosi R = 3P – 2P + P = 2P.

Podsumowując ten przykład warto zapamiętać następujące zasady.

1 Na wykresach sił wewnętrznych musza być widoczne wszystkie siły zewnętrzne

czynne (obciążenia) i bierne (reakcje).

2 We wszystkich myślowych przekrojach wskazane jest konsekwentne stosowanie

wspólnej umowy określającej znaki sił wewnętrznych.

Należy podkreślić, ze powyższe zasady znajdują zastosowanie

nie tylko w układach prętowych, ale również w wałach i belkach.

Zasady te mają więc uniwersalny charakter.

06 Pręty

RZYKŁAD

Sztywna (nieodkształcalna) belka AB jest podtrzymywana w położeniu poziomym za po-

mocą pręta CD. Korzystając z warunku wytrzymałościowego, określić dopuszczalną wartość
siły P. Dla obciążenia równego obciążeniu dopuszczalnemu obliczyć obniżenie końca B bel-
ki. Przyjąć średnicę pręta CD wynoszącą d = 20 mm, 

dop

= 160 MPa, E = 210

MPa.

Dzięki metodzie myślowych przekrojów w pręcie CD zostaje „ujawniona” siła wewnętrzna

Wykorzystując zasadę zesztywnienia, równania statyki można ułożyć dla nieodkształco-

nego układu prętów. Z trzech równań równowagi dla płaskiego układu sił w tym zadaniu bę-
dzie wykorzystana suma momen

tów względem punktu A (jest to najkorzystniejszy punkt).

Pozostałe dwa równania statyki mogą być wykorzystane np. do obliczenia reakcji R

Równanie statyki:

 































sin

Warunek wytrzymałościowy:

dop

































064

sin

160

sin

dop







































W powyższym wzorze  = arctg 0,75 = 36,87. Do dalszych obliczeń przyjęto P

dop

= 12 kN.

Siła wewnętrzna w pręcie CD wynosi:





sin













Przed przystąpieniem do obliczenia przemieszczeń należy wprowadzić pewne uprosz-

czenia, związane z praktycznym, inżynierskim charakterem wytrzymałości materiałów.
Ponieważ odkształcenia i przemieszczenia są bardzo małe, łuki określające nowe położenie
punktów można zastąpić odcinkami prostymi prostopadłymi do pierwotnego (nieodkształco-
nego) położenia prętów (rys. c). Należy też przestrzegać zasady zgodności odkształceń z
kierunkami sił.

Z prawa Hooke'a obliczyć można wydłużenie pręta CD (F =  cm

)

sin























Przemieszczenie punktu B

Przemieszczenie punktu B jest spowodowane wydłużeniem się pręta CD. Na skutek tego

wydłużenia punkt C przemieszcza się w dół o odcinek CC'. Korzystając z twierdzenia Talesa,
można obliczyć przemieszczenie BB'













145

sin









































06 Pręty

RZYKŁAD

Dwa pręty połączone przegubem A są obciążone pionowa siła P. Obliczyć prze-

mieszczenie przegubu A.

Przyjąć: P = 10000 N, a = 1 m, E = 210

MPa, A

= 2 cm

= 1 cm

,  = 30,  = 60.





















Równania równowagi (rys. b):

sin

)

(

)

(

cos

)

(

)

(































Po rozwiązaniu powyższego układu otrzymuje się wartości sił wewnętrznych

5000

)

sin(

sin

8660

)

sin(

sin





















Wydłużenia prętów: znając długości prętów:

155

sin











z prawa Hooke’a wyznacza się:

289

155

5000

433

8660

















Opierając się na rysunku c, składowe pionową i poziomą przemieszczenia wyznacza
się z zależności:

519

cos

289

cos

433

cos





























034

sin

289

sin

433

sin































Znak „” przy przemieszczeniu H

wskazuje, że kierunek przemieszczenia przyjęty

na rys. a jest niewłaściwy. Ten wniosek jest prawdziwy tylko wówczas, gdy od-
kształcenia prętów przyjęto zgodnie z kierunkami sił założonymi w równaniach
statyki.

06 Pręty

Układy prętowe statycznie niewyznaczalne

Zadania statycznie niewyznaczalne charakteryzują się tym, że liczba

niewiadomych jest większa od liczby równań statyki. Rozwiązanie zada-
nia statycznie niewyznaczalnego wymaga ułożenia dodatkowych rów-
nań geometrycznych.

Równania geometryczne buduje się wykorzystując zasadę nieroz-

dzielności  konstrukcji,  polegającą  na  tym,  że  odkształcona  konstrukcja
stanowi  w  dalszym  ciągu  jedną  całość  i  tym  samym  odkształcenia  jej
wszystkich  elementów  są  ze  sobą  powiązane  poprzez  istnienie  więzów
(przegubów). Równania geometryczne wykorzystując ten fakt są równa-
niami  zawie

rającymi odkształcenia wszystkich elementów RG = f(Δl

Przy wykorzystaniu prawa fizycznego (prawo Hooke’a), równanie geo-
metryczne przekształca się tak, że występują w nim siły wewnętrzne,
czyli RG = f(S

). Równania w tej postaci mogą razem z równaniami staty-

ki tworzyć układ pozwalający na rozwiązanie zadania.

RZYKŁAD

Dla pręta przedstawionego na rysunku wykonać wykresy sił normalnych, naprężeń

raz przemieszczeń poprzecznych przekrojów pręta. Do obliczeń przyjąć następują-

ce dane liczbowe: P = 70 kN, F = 4 cm

, a = 0,6 m, E = 210

MPa.

Zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne. Równanie statyki musi

być uzupełnione równaniem geometrycznym, uwzględniającym fakt, że całkowite
wydłużenie pręta jest równe zeru.



[kN]

[MPa]

[mm]



100

0,075

0,225

Równanie statyki ma postać

)

(















Równanie geometryczne przyjmuje, że całkowite wydłużenie pręta jest równe zeru

)

(





06 Pręty

Korzystając z metody myślowych przekrojów można określić wydłużenie poszczegól-
nych odcinków, w których dokonano myślowych przekrojów. Dodatkowo można
określić dane, potrzebne do wykonanie wykresów wymienionych w temacie zadania.
Myślowe przekroje przedstawia rysunku.

Przekrój 1–1

Przekrój 2–2

Przekrój 3–3

W poszczególnych przekrojach uzyskano:

Przekrój 1–1:











W przekroju 1–

1 siła wewnętrzna N

jest siłą rozciągającą. Dla uniknięcia konfliktu

znaków, w pozostałych przekrojach kierunek sił wewnętrznych będzie zgodny z kie-
runkiem przyjętym w przekroju 1–1. Dzięki temu założeniu znaki sił w pozostałych
przekrojach należy odnosić do kierunku sił w tym przekroju.
Przekrój 2–2:











Przekrój 3–3:













Z równania geometrycznego (2) otrzymuje się

)

(































Po wyznaczeniu z równania statyki (1) reakcji R

= P – R

= 40 kN, wyznaczyć

można dane do wykonania wykresów. Siły wewnętrzne wynoszą: N

= N

= 30 kN, N

= 30 – 70 = – 40 kN –

na tym odcinku pręt jest ściskany. Naprężenia i wydłużenia

wynoszą

MPa

100

MPa

100

MPa

























06 Pręty

300

225

075

























Odpowiednie wykresy przedstawiono na rys. 2.14. Dla sprawdzenia poprawności

obliczeń rozpatrzono dodatkowo przekrój 3-3. Warto też sprawdzić równanie geome-
tryczne

300

225

075























RZYKŁAD

Dla prętów przedstawionych na rysunku wyznaczyć siły i naprężenia w prętach

oraz prze

mieszczenie węzła A. Przyjąć: P = 25 kN, L = 1,2 m, E = 210

MPa, A = = 2

Wydzielając myślowo przegub A, otrzymuje się płaski układ sił zbieżnych. Z wa-

runków równowagi wynika, że zwroty sił w prętach 2 i 3 muszą być przeciwnie skie-
rowane –

przyjęto tutaj, że pręt 2 jest ściskany.



l

Równania statyki (rys. b):

cos

)

(

)

(

sin

)

(

)

(



























Równanie geometryczne (rys. c):

sin

)

(



















Ponieważ: tg = 0,5l/l = 0,5,  = 26,565 oraz obliczając z prawa Hooke’a wydłużenia
prętów















cos

równanie geometryczne przekształca się do postaci

)

(





Z równań (1)–(3) otrzymuje się S

= 21,8 kN, S

= 6,4 kN, S

= 7,2 kN.

Naprężenia w prętach:

06 Pręty

MPa

109

























Przemieszczenie przegubu A:

































Naprężenia termiczne

Pod wpływem zmian temperatury elementy konstrukcyjne

zmieniają swoje wymiary. Zmianę długości pręta obliczyć moż-
na z następującej zależności:











Współczynnik rozszerzalności liniowej  jest cechą charakte-

rystyczną materiału. Pręt poddany działaniu temperatury, będą-
cy  elementem  układu  prętów,  oddziałuje  na  sąsiednie  pręty.
Całkowite odkształcenie pręta jest sumą odkształcenia termicz-
nego  i  odkształcenia  sprężystego,  wywołanego  siłami  powsta-
łymi  na  skutek  oddziaływania  sąsiadujących  prętów.  Odkształ-
cenie to można obliczyć z zależności:

















gdzie: l

–

wydłużenie termiczne,

l

–

wydłużenie sprężyste, zgodne z prawem Hooke'a.

Znaczenie znaków w powyższej zależności jest następujące:

+l

, – l

–

wydłużenie związane ze wzrostem temperatury

(T > 0) lub skrócenie związane z obniżenie temperatury
(T < 0),

+ln, – ln – wydłużenie lub skrócenie, zgodnie ze znakami sił

przyjętymi w równaniach równowagi,

06 Pręty

RZYKŁAD

Pręt o długości L i polu powierzchni A został poddany działaniu pod-

wyższonej temperatury T. Obliczyć naprężenia powstałe w pręcie.



Superpozycja

Działanie

temperatury

Działanie

siły reakcji



Pod wpływem temperatury, w utwierdzeniach pręta pojawiają się reak-

cje R. Zastosowanie zasady superpozycji umożliwia oddzielne rozpa-
trzeni

e działania temperatury i reakcji R. Po oswobodzeniu pręta od gór-

nego utwierdzenia, może się on swobodnie wydłużać pod wpływem tem-
peratury i jego wydłużenie wynosi













W wyniku działania siły, skrócenie pręta wynosi (wg prawa Hooke’a)







Ponieważ zadanie jest statycznie niewyznaczalne, równanie geome-

tryczne ma postać 

= 

, a stąd



































Przyjmując dane: L = 1 m, A = 3 cm

, T = 25C, 

= 1,210

-5

1/C

otrzymuje się:

MPa

















06 Pręty

aprężenia montażowe

Poszczególne elementy dużej, złożonej konstrukcji są wyko-

nywane z odchyłkami wymiarowymi, założonymi przez kon-
struktora. W wy

niku niekorzystnego zbiegu okoliczności suma

tych odchyłek może spowodować powstanie luzu montażowe-
go, który w

czasie montażu konstrukcji musi być „zlikwidowany”

przez działanie dodatkowych sił. Powoduje to powstanie w kon-
strukcji  dodatkowych  naprężeń,  zwanych  naprężeniami  monta-
żowymi. W krańcowym  przypadku konstrukcja mająca  spełniać
określone zadania (np. przenosić obciążenia) już w czasie mon-
tażu  może  ulec  zniszczeniu.  Najczęściej  spotykaną  przyczyną
luzów  montażowych  jest  nieprzestrzeganie  ustalonych  warun-
ków  konstrukcyjnych  i technologicznych  w

wyniku lekceważe-

nia zasad sztuki inżynierskiej.

Należy też wspomnieć, że w pewnych sytuacjach wywołanie

naprężeń wstępnych jest działaniem celowym, np. w połącze-
niach śrubowych naciąg wstępny zapobiega odkręcaniu się na-
krętek, a w połączeniach kołnierzowych zapewnia szczelność
połączenia.

Naprężenia montażowe mogą osiągnąć spore wartości, tak

że po dodaniu obciążenia zapas wytrzymałości może być już
niewielki.

RZYKŁAD

W konstrukcji podtrzymywanej przez trzy pręty, w trakcie montażu

okazało się, że środkowy pręt został wykonany krótszy o  w stosunku
do dokumentacji. O

bliczyć naprężenie w prętach po zmontowaniu kon-

strukcji. Do obliczeń przyjąć: P = 10 kN, L = 1 m, A = 2 cm

, E = 210

MPa,  = 1 mm.

Równania statyki dla zmontowanej konstrukcji:

)

(























Równanie geometryczne (zadanie statycznie niewyznaczalne):











Zgodnie z prawem Hooke’a:













06 Pręty





Po rozwiązaniu układu 3 równań otrzymuje się:



















Rozwiązanie liczbowe uwzględniające trzy sytuacje:

1. Konstrukcja i

dealna, obciążona siłą P ( = 0).

MPa

































Znak „-” przy sile N

oznacza złe założenie kierunku tej siły w równaniu

statyki.

Konstrukcja z luzem montażowym, bez obciążenia siłą (P = 0).

MPa

100

MPa

100





































3. Konstrukcja z luzem mo

ntażowym, obciążona siłą P.

MPa

112



















































Dla 3. przypadku znajduje potwierdzenie zasada superpozycji.