1

POLE MAGNETYCZNE

Oddziaływania grawitacyjne i elektryczne a oddziaływania magnetyczne

Jeśli na ciało umieszczone w pewnym punkcie przestrzeni działa siła wprost
proporcjonalna do masy tego ciała, to takie oddziaływanie nazywamy
grawitacyjnym.

r

γγγγ

-

natężenie pola grawitacyjnego

Oddziaływaniom grawitacyjnym podlegają wszystkie ciała materialne (obdarzone
masą). Przestrzeń, gdzie zachodzą takie oddziaływania nazywamy polem
grawitacyjnym. Źródłem pola grawitacyjnego jest każde ciało materialne.

Jeśli na ładunek elektryczny umieszczony w pewnym punkcie przestrzeni działa siła
wprost proporcjonalna do wartości tego ładunku, to takie oddziaływanie nazywamy
elektrycznym (elektrostatycznym).

E

r

- natężenie pola elektrycznego

Oddziaływaniom elektrycznym podlegają wszystkie ładunki elektryczne. Przestrzeń,
gdzie takie oddziaływania zachodzą nazywamy polem elektrycznym. Źródłem pola
jest każdy ładunek elektryczny.

Jeśli ładunek spoczywający w pewnym punkcie przestrzeni nie doznaje działania
siły, a na poruszający się ładunek działa siła spełniająca warunek:

B

V

q

F

r

r

r

××××

====

B

r

- indukcja magnetyczna

to oddziaływanie takie nazywamy magnetycznym

F

r

- siła Lorentza

F

∼∼∼∼

m

m

F

r

m

F

⋅⋅⋅⋅

γγγγ

====

r

r

F

∼∼∼∼

q

q

F

r

q

E

F

⋅⋅⋅⋅

====

r

r

(+)

q

B

r

F

r

V

r

2

Oddziaływaniom magnetycznym podlegają poruszające się ładunki elektryczne.
Przestrzeń gdzie takie oddziaływania zachodzą nazywamy polem magnetycznym.
Ź

ródłem pola jest każdy ruchomy ładunek elektryczny.

Każde z wymienionych oddziaływań można zatem określić poprzez masę, ładunek
czy prędkość tego ładunku oraz parametr pola

((((

))))

B

,

E

,

r

r

r

γγγγ

zwany odpowiednio

natężeniem pola grawitacyjnego, natężeniem pola elektrycznego i indukcją
magnetyczną.
Wspólną cechą oddziaływań elektrycznych i magnetycznych jest to, że podlegają im
ładunki elektryczne.
Oddziaływania elektryczne i magnetyczne można określić przy pomocy jednego
wzoru:

((((

))))

B

V

E

q

F

r

r

r

r

××××

++++

⋅⋅⋅⋅

====

i nazywamy je oddziaływaniami elektromagnetycznymi.

Linie sił pola magnetycznego

Na ładunek poruszający się w polu magnetycznym działa siła Lorentza:

B

V

q

F

r

r

r

××××

====

F = B q V sin

αααα

Jeżeli ładunek porusza się w polu magnetycznym tak, że wektory

qV

r

i

r

B

mają ten

sam kierunek, to na taki ładunek nie działa siła Lorentza. Tor jaki zakreśla ładunek
poruszający się w polu magnetycznym tak, że nie doznaje działania siły stanowi linię
sił pola magnetycznego. Wektor indukcji magnetycznej jest zatem styczny do linii sił
przechodzącej przez dany punkt pola i określa zwrot tej linii.

Kształt linii sił można praktycznie ustalić przy pomocy żelaznych opiłków lub przy
użyciu igły magnetycznej. Igła magnetyczna ustawia się zawsze stycznie do linii sił

B

r

I

B

r

B

r

S

Linie sił pola magnetycznego magnesu

Linie sił pola magnetycznego
przewodnika z prądem.

N

3

przechodzącej przez dany punkt pola, przy czym biegun północny wskazuje zwrot tej
linii.

Nat

ęż

enie pola magnetycznego

Natężenie pola magnetycznego

jest wektorem współliniowym z wektorem indukcji

magnetycznej, a zatem jest to wektor także styczny do linii sił pola. W odróżnieniu
od wektora indukcji magnetycznej, wektor natężenia pola nie zależy od rodzaju
ośrodka otaczającego źródło pola. Zachodzi przy tym związek:

H

B

0

r

r

µµ

µµ

µµ

µµ

====

gdzie:

µµµµ

- liczba niemianowana zależna od rodzaju ośrodka, zwana względną

przenikalnością magnetyczną ośrodka

(

µµµµ

r

).

µµµµ

ππππ

0

7

2

4

10

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

N

A

−

przenikalność magnetyczna próżni.

Wartość natężenia pola zależy wyłącznie od źródła pola i położenia wybranego
punktu w stosunku do źródła.

Pole magnetyczne Ziemi

Ziemia wytwarza wokół siebie pole magnetyczne. Źródłem tego pola są

prawdopodobnie prądy płynące wewnątrz
płynnego

jądra

Ziemi.

Bieguny

magnetyczne

nie

pokrywają

się

z

biegunami geograficznymi. W okolicy
bieguna

północnego

znajduje

się

południowy biegun magnetyczny, a w
okolicach bieguna południowego jest
północny biegun magnetyczny. W naszych
szerokościach geograficznych linie sił pola
magnetycznego są nachylone pod kątem
około 60

0

w stosunku do poziomu. Obrót

igły magnetycznej jest spowodowany przez
tzw.

składową

poziomą

pola

magnetycznego.

Pd

Pn

4

Prawo Ampere’a

Rozpatrujemy dowolny kontur zamknięty wokół przewodnika z prądem. Kontur ten
dzielimy na nieskończenie małe fragmenty o długości

dl

. Natężenie pola

magnetycznego jest na ogół skierowane pod pewnym kątem w stosunku do

dl

.

Wektor natężenia rozkładamy na dwie
składowe, z których jedna jest skierowana
równolegle do dl (

||

H

r

), a druga -

prostopadle do

dl

(

H

⊥

⊥⊥

⊥

).

Prawo Ampere’a wyrażone jest równaniem:

H

ll 1

dl

1

+ H

ll 2

dl

2

+ ......... = I

lub:

∑

∑

∑

∑

H

ll

dl = I

H

ll

dl = H dl cos

αααα

=

l

d

H

r

r

⋅⋅⋅⋅

Prawo Ampere’a można zatem zapisać

także wektorowo:

∑

∑

∑

∑

====

⋅⋅⋅⋅

I

l

d

F

r

r

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

====

⋅⋅⋅⋅

====

αααα

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

L

||

K

l

d

H

cos

dl

H

dl

H

r

r

K

L

-

krążenie

H

r

po konturze zamkniętym.

Krążenie

H

r

po konturze zamkniętym jest równe natężeniu prądu przepływającego

przez ten kontur.

W przypadku gdy kontur zamykający przewodnik zostanie dobrany w taki sposób, że
w każdym jego punkcie natężenie pola ma taką samą wartość i jest skierowane

H

H

0

Pn

Pd

||

H

r

H

r

I

dl

⊥

⊥⊥

⊥

H

r

⊥

⊥⊥

⊥

H

r

H

r

||

H

r

αααα

5

stycznie do odpowiedniego fragmentu takiego konturu, to prawo Ampere’a
przyjmuje postać:

l

- długość konturu.

Prawo Biota - Savarta

Prawo to określa wartość natężenia pola magnetycznego wytworzonego przez
wycinek przewodnika o długości

dl

, w którym płynie prąd o natężeniu

I

, w punkcie

wskazanym przez

r

r

.

dH

Idl

r

====

sin

αααα

ππππ

4

2

Jeśli oznaczymy wektor jednostkowy o kierunku i

zwrocie wektora

r

r

, stosując oznaczenie

r

r

r

,to prawo Biota

można zapisać wektorowo:

Prawo Biota można zapisać jeszcze inaczej wykorzystując związki wynikające z
poniższego rysunku:

a

rd

d l

====

====

ββββ

ββββ

co s

d H

I d l

r

====

c o s

ββββ

ππππ

4

2

d H

I r d

r

====

ββββ

ππππ

4

2

r

r

====

0

cos

ββββ

d H

I

d

r

====

co s

ββββ ββββ

ππππ

4

0

Pole magnetyczne ruchomego ładunku

H

⋅⋅⋅⋅

l = I

r

r

dl

⊗

⊗

⊗

⊗

l

Id

r

I

H

d

r

αααα

I

r

r

r

0

dl

a

d

ββββ

ββββ

ββββ

2

r

4

r

r

l

Id

H

d

⋅⋅⋅⋅

ππππ

××××

====

r

r

r

6

Ładunek q poruszający się z prędkością V można traktować jak prąd elementarny o
natężeniu I, płynący w przewodniku o długości dl.

I d l

q

d t

d l

====

d l

d t

V

====

Korzystając z prawa Biota otrzymujemy:

H

q V

r

====

s i n

αααα

ππππ

4

2

Pole magnetyczne przewodnika prostoliniowego

Rozpatrujemy kontur zamknięty w kształcie okręgu, oplatający nieskończenie długi,
prostoliniowy przewodnik, w którym płynie prąd o natężeniu I. Kontur ten jest
jednocześnie jedną z linii sił, a zatem w każdym jego punkcie natężenie pola
magnetycznego ma taką samą wartość i jest skierowane stycznie do odpowiedniego
odcinka o długości dl. Stosując prawo Ampere’a dla takiego konturu otrzymujemy:

H

°°°°

l = I

Długość konturu: l = 2

ππππ

r

. Natężenie pola magnetycznego w odległości r od

prostoliniowego przewodnika z prądem wynosi zatem:

q

dl

αααα

r

V

q

r

⊗

⊗

⊗

⊗

H

r

I

B

r

H

r

dl

I

r

7

H

I

r

====

2

ππππ

W przypadku gdy źródłem pola jest dowolny odcinek
przewodnika

prostoliniowego

można

wykazać,

ż

e

natężenie pola wynosi:

H

I

r

====

++++

4

ππππ

αααα

ββββ

(cos

cos )

Dla przewodnika nieskończenie długiego obydwa kąty stają się równe zeru i
otrzymujemy:

H

I

r

I

r

====

⋅⋅⋅⋅ ====

4

2

2

ππππ

ππππ

Otrzymujemy zatem zależność słuszną dla przewodnika nieskończenie długiego.

Pole magnetyczne przewodnika kołowego

Kołowy przewodnik z prądem wytwarza pole magnetyczne podobne do pola
magnesu sztabkowego. Bieguny magnetyczne znajdują się po obu stronach

płaszczyzny przewodnika kołowego. Jeśli

dla patrzącego w głąb przewodnika

kołowego prąd płynie zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to po tej stronie
płaszczyzny przewodnika znajduje się biegun południowy.

r

H

r

I

⊗

⊗

⊗

⊗

αααα

ββββ

N

S

H

r

S

N

8

Natężenie pola magnetycznego w środku przewodnika
kołowego, pochodzące od wycinka przewodnika o długości
dl można określić z prawa Biota:

dH

Idl

r

====

sin 90

4

0

2

ππππ

d H

I d l

r

====

4

2

ππππ

Natężenie pola pochodzące od całego przewodnika kołowego stanowi sumę natężeń
pochodzących od wszystkich wycinków o długości dl i wynosi:

H

I d l

r

I

r

d l

====

====

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

4

4

2

2

ππππ

ππππ

H

I

r

r

====

4

2

2

ππππ

ππππ

H

I

r

====

2

Można wykazać, ze natężenie pola magnetycznego na osi przewodnika kołowego
wynosi:

H

I r

R

====

2

3

2

R

r

H

I

r

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

2

- natężenie pola magnetycznego w

ś

rodku przewodnika kołowego.

Pole magnetyczne solenoidu

⊗

⊗

⊗

⊗

r

I

H

r

R

r

I

H

r

N

S

9

Solenoid, w którym płynie prąd wytwarza pole magnetyczne podobne do pola
magnetycznego magnesu sztabkowego. Jeśli dla patrzącego w głąb solenoidu prąd
płynie zgodnie z ruchem wskazówek zegara to po tej stronie solenoidu znajduje się
biegun magnetyczny południowy.

W przypadku nieskończenie długiego solenoidu linie sił wewnątrz solenoidu są
równoległe do osi solenoidu , a natężenie pola magnetycznego ma stałą wartość.
Rozpatrujemy kontur zamknięty w kształcie prostokąta, przez który przechodzi n
zwojów. Na odcinku l kontur ten pokrywa się z osią solenoidu. Na tym odcinku
natężenie pola jest stałe, a jego wektor jest równoległy do konturu. Na pozostałych
odcinkach natężenie pola jest albo skierowane prostopadle do odpowiednich
odcinków konturu, albo ma wartość zerową (na zewnątrz solenoidu).Stosując prawo
Ampere’a do takiego konturu zamkniętego otrzymujemy:

H l

nI

⋅⋅⋅⋅ ====

H

nI

l

====

-

natężenie pola magnetycznego

na osi nieskończenie długiego solenoidu.

nI

- natężenie całkowite

A/m

jest natężeniem pola magnetycznego na osi nieskończenie długiego solenoidu,

w którym natężenie całkowite prądu płynącego na odcinku 1m długości tego
solenoidu wynosi 1A/m.

Siła elektrodynamiczna

Na ładunek poruszający się w polu magnetycznym
działa siła Lorentza:

B

V

q

F

r

r

r

××××

====

F

BqV

====

sin

αααα

Kierunek i zwrot siły Lorentza można określić
posługując się regułą śruby prawoskrętnej, regułą
lewej ręki, lub regułą Fleminga (reguła trzech

palców lewej ręki).

⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗

°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

F

r

V

q

r

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

B

r

H

r

H

r

H

r

H = 0

10

Jeśli w przewodniku płynie prąd, to na ładunki poruszające się wewnątrz tego
przewodnika

działa

siła

spowodowana

obecnością

zewnętrznego

pola

magnetycznego. Siłę działającą na przewodnik z prądem umieszczony w polu
magnetycznym nazywamy siłą elektrodynamiczną. Stanowi ona odmianę siły
Lorentza.

qV

Idl

====

B

l

Id

F

d

r

r

r

××××

====

dF

BIdl

====

sin

αααα

F

d

r

- siła elektrodynamiczna działająca na wycinek przewodnika z prądem.

Siła działająca na przewodnik prostoliniowy o
długości l umieszczony w jednorodnym polu
magnetycznym o indukcji B stanowi sumę sił
elementarnych działających na poszczególne
fragmenty tego przewodnika i wynosi:

B

l

I

F

r

r

r

××××

====

F

B Il

F

B Il

B

F

Il

====

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

====

sin

αααα

αααα

90

0

Korzystając z powyższego związku można określić jednostkę indukcji magnetycznej
(tesla).
Tesla (T) jest indukcją magnetyczną w takim punkcie pola magnetycznego, gdzie na
przewodnik prostoliniowy, w którym płynie prąd o natężeniu 1A, umieszczony
prostopadle do linii sił pola, działa siła 1N.

T

N

Am

====

Strumień indukcji magnetycznej. Strumień natężenia pola magnetycznego.

⊗

⊗

F

r

l

Id

r

⊗

⊗

B

r

⊗

⊗

F

r

l

I

r

⊗

⊗

B

r

11

Rozważamy powierzchnię elementarną dS, przez którą przenika pole magnetyczne o
indukcji B.





Strumień elementarny indukcji magnetycznej przenikający powierzchnię dS określa
zależność:

d

Bds

B

Φ

Φ

Φ

Φ ====

cos

αααα

d

B dS

B

Φ

Φ

Φ

Φ ====

⊥

⊥⊥

⊥

B

⊥

⊥⊥

⊥

- składowa indukcji magnetycznej prostopadła do elementu powierzchni

dS

.

Powierzchnię

dS

może reprezentować wektor prostopadły do tej powierzchni (

S

d

r

).

W tym przypadku, strumień elementarny indukcji magnetycznej można określić jako
iloczyn skalarny wektora indukcji (

B

r

) i wektora powierzchni (

S

d

r

).

S

d

B

d

B

r

r

⋅⋅⋅⋅

====

Φ

Φ

Φ

Φ

W przypadku, gdy rozpatrywana powierzchnia jest płaska i znajduje się w
jednorodnym polu magnetycznym, to przenikający przez nią strumień można wyrazić
wzorem:

Φ

Φ

Φ

Φ

B

BS

====

cos

αααα

Weber (

Wb

) jest strumieniem indukcji magnetycznej, który przenika przez

powierzchnię

1m

2

ustawioną prostopadle do linii sił pola w miejscu gdzie indukcja

jest równa

1T

.

1Wb = 1T

⋅⋅⋅⋅

1m

2

Analogicznie określamy strumień natężenia pola magnetycznego:

S

d

H

dS

H

cos

HdS

d

H

r

r

⋅⋅⋅⋅

====

====

αααα

====

Φ

Φ

Φ

Φ

⊥

⊥⊥

⊥

dS

B

v

αααα

B

r

dS

⊥

⊥⊥

⊥

B

r

αααα

12

Na rysunku, o wielkości strumienia przenikającego przez daną powierzchnię
ś

wiadczy liczba linii sił przechodzących przez tą powierzchnię.

Strumień całkowity przenikający powierzchnię zamkniętą stanowi sumę strumieni
elementarnych.

W dowolnym polu magnetycznym umieszczamy powierzchnię zamkniętą. Linie sił
pola magnetycznego wnikają do środka powierzchni i wychodzą na zewnątrz.
Zgodnie z prawem Gaussa, strumień całkowity indukcji magnetycznej przenikający

przez taką powierzchnię jest równy zeru.

Φ

Φ

Φ

Φ

B

= 0

Oznacza to, że tyle samo linii sił wchodzi do
ś

rodka powierzchni co i wychodzi. Z tego

właśnie względu pole magnetyczne nazywamy
bezźródłowym.

Dwa nieskończenie długie, prostoliniowe przewodniki ustawione są w próżni
równolegle do siebie. Każdy z przewodników znajduje się w polu magnetycznym
wytworzonym przez prąd płynący w drugim przewodniku. Na wycinek jednego z
nich działa siła elektrodynamiczna:

F

B I l

F

H I l

I

d

I l

F

N

A

I I l

d

F

N

A

I I l

d

====

====

====

====

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

−−−−

1

2

0

1

2

0

1

2

7

2

1

2

7

2

1

2

2

4

1 0

2

2

1 0

µµµµ

µµµµ

ππππ

ππππ

ππππ

I

I

I

l

m

d

m

F

N

I

A

1

2

7

1

1

2 10

1

====

====

====

====

==== ⋅⋅⋅⋅











⇒

⇒

⇒

⇒

====

−−−−

Przedstawiona powyżej zależność stanowi podstawę definicji jednostki natężenia
prądu jaką jest amper (A):

Prawo Gaussa dla magnetyzmu

Φ

Φ

Φ

Φ

B

=

ΣΣΣΣ

d

Φ

Φ

Φ

Φ

B

Oddziaływanie magnetyczne przewodników z prądem

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

F

r

l

I

2

I

1

1

B

r

d

13

Amper jest natężeniem prądu elektrycznego niezmieniającego się, który płynąc w
dwóch równoległych prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o
przekroju okrągłym znikomo małym, umieszczonych w próżni w odległości 1m
jeden od drugiego - wywołałby między tymi przewodami siłę 2

°°°°

10

-7

N

na każdy

metr długości.

Na ładunek poruszający się w polu magnetycznym działa siła Lorentza:

αααα

====

××××

====

sin

BqV

F

B

V

q

F

r

r

r

Jeśli ładunek taki porusza się prostopadle do linii
sił jednorodnego pola magnetycznego, to siła
Lorentza zmusza go do ruchu po okręgu pełniąc
przy tym rolę siły dośrodkowej.

B q V

m V

r

====

2

r

mV

Bq

====

Okres obiegu ładunku po okręgu wynosi:

T =

2

r

V

ππππ

T

m

Bq

====

2

ππππ

Jeśli ładunek wpada w obszar pola poruszając się pod kątem

α

w stosunku do linii sił

pola, to składowa Vsin

αααα

zmusza go do ruchu po okręgu, a dzięki składowej Vcos

αααα

przemieszcza się on wzdłuż linii sił.

Efektem złożenia tych ruchów jest tor w kształcie spirali (linia śrubowa). Promień
toru wynosi:

r

mV

Bq

====

sin

αααα

Ruch ładunku w polu magnetycznym

⊗

⊗

⊗

⊗

r

F

r

V

q

r

B

r

αααα

B

r

V

S

V cos

αααα

V sin

αααα

14

Skok linii śrubowej stanowi odległość na jaką przesunie się ładunek wzdłuż linii sił
pola w ciągu okresu. Jest on równy:

S

( V c o s

) T

====

αααα

S

mV

Bq

====

2

ππππ

αααα

cos

Cyklotron

Cyklotron jest urządzeniem służącym do przyspieszania naładowanych cząstek
takich jak protony, deuterony czy jony lekkich pierwiastków. Źródło jonów jest
umieszczone pomiędzy półkolistymi elektrodami zwanymi duantami. Do duantów

zostaje przyłożone zmienne napięcie o
amplitudzie do kilkuset kV i częstotliwości
rzędu 10 MHz. Duanty znajdują się w polu
magnetycznym wytworzonym przez potężny
elektromagnes. Linie sił pola magnetycznego
są prostopadłe do powierzchni duantów.
Naładowana cząstka zostaje przyspieszona w
szczelinie między duantami i poruszając się
wewnątrz duantu ulega odchyleniu w polu
magnetycznym. Zakreśla ona półokrąg i w

momencie gdy pojawia się ponownie w szczelinie między duantami zostaje znowu
przyspieszona przez pole elektryczne. Okres obiegu cząstki nie zależy od jej
prędkości. W wyniku cyklicznych przyspieszeń cząstka porusza się po torze o coraz
większym promieniu uzyskując coraz większą energię.
Przy prędkości zbliżonej do prędkości światła stają się jednak widoczne efekty
relatywistyczne. Rośnie masa cząstki, przez co okres obiegu ulega wydłużeniu.
Kompensowanie wzrostu masy można uzyskać przez zmniejszenie częstotliwości
napięcia przyspieszającego w trakcie przyspieszania. Tak zmodyfikowane urządzenie
nosi nazwę synchrocyklotronu lub fazotronu. Wzrost masy można również
zrównoważyć stosując odpowiednio ukształtowane pole magnetyczne. Takie
urządzenia są nazywane cyklotronami izochronicznymi.
Do uzyskiwania cząstek o energiach większych od 1 GeV używane są tzw.
synchrotrony. Przyspieszane cząstki poruszają się w nich po torach o ustalonym
promieniu. Przyspieszenie uzyskuje się za pomocą szeregu elektrod umieszczonych
wzdłuż toru. Pole magnetyczne stososwane do zakrzywiania toru cząstek jest
zmienne w czasie.
Pierwszy cyklotron został zbudowany w 1930 r. Twórcą jego był amerykański fizyk
Ernest Orlando Lawrence.
Współczesne synchrotrony należą do największych instrumentów badawczych
fizyki. Dla przykładu - promień tunelu synchrotronu w Batawii (niedaleko Chicago)

∅

∅

∅

∅

∼∼∼∼

∅

∅

∅

∅

B

r

15

wynosi około 1 km. Przy pomocy tego synchrotronu można uzyskać protony o
energii 500 GeV.

Efekt Halla

Przewodząca prąd prostopadłościenna płytka jest umieszczona w jednorodnym polu

magnetycznym tak jak pokazano na rysunku. Na
elektrony tworzące prąd elektryczny działa siła
Lorentza, która powoduje ich odchylanie w
kierunku jednej ze ścianek. W ten sposób w
przewodniku powstaje poprzeczne pole elektryczne
hamujące dalsze przemieszczanie się odchylanych
ładunków. Stan równowagi powstaje wtedy, gdy
siła Lorentza działająca na ruchomy elektron
zostaje zrównoważona przez siłę pochodzącą od
pola elektrycznego.

B eV

e

U

d

U

B V d

====

====

V

- prędkość nośna elektronów

Jeśli w płytce płynie prąd o natężeniu I to prędkość nośna elektronów wynosi:

V

I

sen

====

gdzie: S - pole przekroju poprzecznego przewodnika S = d

⋅⋅⋅⋅

b

e

- ładunek elementarny

n

- koncentracja elektronów swobodnych w przewodniku

U

B

I

sen

d

BId

dben

====

====

U

n e

IB

b

====

1

1

ne

R

====

stała Halla

Dokładniejsze rozważania, uwzględniające oddziaływania elektronów z siatką
krystaliczną przewodnika, dają dla R wartość różniącą się czynnikiem A noszącym
charakter poprawki:

R

A

ne

====

1

przy czym dla metali A

≈≈≈≈

1

. Dla półprzewodników, w zależności od struktury siatki

krystalograficznej wartości A wahają się od 1,11 do 1,93. Jeśli nośnikami prądu są
ładunki dodatnie to napięcie Halla zmienia znak.
Pomiar napięcia Halla dla płytki o znanych parametrach pozwala na wyznaczenie
wartości indukcji magnetycznej B.

U

B

r

b

d

I

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

16

Spektrograf masowy

Spektrografy masowe są wykorzystywane do badania składu izotopowego różnych
pierwiastków. Ładunek elektryczny poruszając się prostopadle do wzajemnie

prostopadle ustawionych pól - elektrycznego i
magnetycznego nie ulega odchyleniu wtedy gdy
siły pochodzące od tych pól wzajemnie się
równoważą.

F

F

qE

BqV

E

B

====

====

Można zatem tak dobrać B i E, aby cząstki o prędkości

V

E

B

====

wychodzące ze

ź

ródła Z trafiły do szczeliny prowadzącej w obszar

jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B

1

.

Cząstki

takie

zakreślają

tor

o

promieniu

r

mV

Bq

====

trafiając na kliszę fotograficzną K. Jeśli

wiązka jonów zawiera jony o tym samym ładunku
lecz o różnej masie (różne izotopy), to zakreślają
one tory o różnym promieniu, trafiając na kliszę
fotograficzną w różnych miejscach. W ten sposób
powstaje widmo masowe pierwiastka. Jeśli

urządzenie służy do mierzenia względnych natężeń wiązek jonowych różnych
izotopów to nazywamy je spektrometrem masowym. Istnieje wiele odmian
spektrometrów i spektrografów. We wszystkich tych przyrządach pole magnetyczne
służy do rozdzielania różnych izotopów. Przy użyciu spektrometrów masowych
ustalono np., że chlor występujący w przyrodzie zawiera dwa izotopy: Cl

35

-

75,53%

oraz Cl

37

- 24,47%.

Moment magnetyczny

Pole magnetyczne powoduje obrót umieszczonego w nim magnesu lub obwodu z
prądem. Każdemu elementowi, który umieszczony w polu magnetycznym doznaje
działania sił, które go obracają można przypisać wektor zwany momentem
magnetycznym. Jest to wektor, który pomnożony wektorowo przez wektor indukcji
magnetycznej wyraża moment pary sił obracających dany element.

B

p

M

m

p

r

r

r

××××

====

m

p

r

- moment magnetyczny

Istotne cechy momentu magnetycznego można określić ustalając cechy wektora
momentu pary sił.

•

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

B

r

E

r

E

F

r

B

F

r

V

q

r

Spektrograf Bainbridge’a

⊗

⊗

⊗

⊗

B

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

•

Z

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

∅

r

V

r

B

1

→

→

17

1. Moment magnetyczny magnesu sztabkowego.

Magnes umieszczony w jednorodnym polu magnetycznym doznaje działania pary sił

powodujących jego obrót. Moment pary sił jest dwa razy większy od momentu jednej
siły i wynosi:

1

M

2

M

r

r

====

M

F

l

1

2

====

sin

αααα

M

Fl

====

sin

αααα

Siła działająca na biegun magnesu jest wprost proporcjonalna do indukcji
magnetycznej pola powodującego oddziaływanie.

F

∼∼∼∼

B

F

mB

====

gdzie m - współczynnik proporcjonalności zależny od rodzaju magnesu.

M

mlB

====

sin

αααα

Wprowadzając oznaczenie: ml = p

m

otrzymujemy:

M

p B

m

====

sin

αααα

lub

B

p

M

m

r

r

r

××××

====

Powyższy związek ma sens tylko wtedy, gdy kąt zawarty pomiędzy ramieniem
działania siły i wektorem indukcji jest równocześnie kątem między wektorami

m

p

r

i

B

r

. Oznacza to, że

m

p

r

jest skierowany wzdłuż osi magnesu, ze zwrotem od S do N, a

jego wartość jest wprost proporcjonalna do długości magnesu.

2. Moment magnetyczny ramki z prądem.

Na ramkę umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym działają siły, które
powodują jej obrót . Moment pary sił obracających ramkę wynosi:

F

r

F

r

−−−−

B

r

p

M

r

αααα

⊗

⊗

⊗

⊗

l

N

S

S

N

m

p

r

18

M

F

a

====

2

2

sin

αααα

na rys.

αααα

=

90

0

.

M

BIla

====

sin

αααα

la

S

====

M

p B

m

====

sin

αααα

p

IS

m

====

B

p

M

m

r

r

r

××××

====

Powyższy związek ma sens tylko wtedy, gdy

wektor

r

p

m

jest skierowany prostopadle do płaszczyzny ramki. Jego zwrot określa

kierunek przesuwania się śruby obracanej tak jak płynie prąd w ramce.

3 Moment magnetyczny solenoidu.

Solenoid może być traktowany jako zbiór równolegle ułożonych przewodników
kołowych. Momenty magnetyczne poszczególnych zwojów mają ten sam kierunek i
zwrot, a zatem sumują się algebraicznie. Moment magnetyczny solenoidu wynosi:

p

nIS

m

====

Własności magnetyczne różnych substancji

W wyniku przepływu prądu elektrycznego przez solenoid, wewnątrz solenoidu
powstaje pole magnetyczne o indukcji

0

B

r

. Po umieszczeniu wewnątrz solenoidu

rdzenia z badanej substancji indukcja magnetyczna zmienia się na B

r

.

O

własnościach

magnetycznych

substancji świadczy stosunek

µµµµ ====

B

B

0

µµµµ (µµµµ

r

) - względna przenikalność magnetyczna substancji.

F

r

−−−−

F

r

⊗

⊗

⊗

⊗

l

I

a

B

r

M

r

I

m

p

r

I

B

I

B

0

19

Wszystkie substancje występujące w przyrodzie można podzielić na takie, które
znacznie zwiększają indukcję pola (

µµµµ>>>>>>>>1111) −

ferromagnetyki, nieznacznie

zwiększające indukcję pola (

µµµµ>>>>

1

)

−

paramagnetyki i nieznacznie zmniejszające

indukcję pola (

µµµµ<<<<1111) −

diamagnetyki.

Do ferromagnetyków zaliczamy między innymi: Fe, Co, Ni, Gd, FeO

.

Fe

2

O

3

.

Paramagnetykami są np.:Al (

µ−1 =

µ−1 =

µ−1 =

µ−1 =

13

.

10

-6

), Cr (

µ−1 = 315

µ−1 = 315

µ−1 = 315

µ−1 = 315

....

10

10

10

10

−6

−6

−6

−6

), Μ

), Μ

), Μ

), Μ

g

(

µ−1 = 15

µ−1 = 15

µ−1 = 15

µ−1 = 15

....

10

10

10

10

−6

−6

−6

−6

).

).

).

).

Do diamagnetyków zaliczamy: Bi (

µ−1 = −176

µ−1 = −176

µ−1 = −176

µ−1 = −176

....

10

10

10

10

−6

−6

−6

−6

),

),

),

),

Zn (

µ−1 = −14

µ−1 = −14

µ−1 = −14

µ−1 = −14

....

10

10

10

10

−6

−6

−6

−6

),

),

),

),

Pb

(

µ−1 = −1,5

µ−1 = −1,5

µ−1 = −1,5

µ−1 = −1,5

....

10

10

10

10

−6

−6

−6

−6

).).).).

Indukcję magnetyczną pola wewnątrz ośrodka można przedstawić również jako
sumę indukcji pola zewnętrznego i tzw. wektora namagnesowania:

B =

µµµµ

B

0

- B

0

+ B

0

B = B

0

+ (

µµµµ

- 1)B

0

(

µµµµ

- 1)B

0

- wektor namagnesowania.

Do której grupy należy zaliczyć daną substancję, można ustalić doświadczalnie.
Pręcik wykonany z danej substancji należy umieścić w silnym polu magnetycznym

ukośnie do linii sił tego pola. W przypadku
ferromagnetyka pręcik doznaje energicznego
obrotu ustawia się wzdłuż linii sił pola. W

przypadku paramagnetyka, pręcik ustawia się również równolegle do linii sił lecz
oddziaływanie jest dużo słabsze. Pręcik wykonany z diamagnetyka ustawia się
natomiast prostopadle do linii sił pola.

1. Zjawisko ferromagnetyzmu.

Atomy ferromagnetyków mają znaczne momenty magnetyczne. Oddziaływanie
między atomami jest analogiczne do oddziaływania między igłami magnetycznymi.
Rezultatem oddziaływania jest powstawanie obszarów uporządkowania atomów,
które nazywamy domenami magnetycznymi lub obszarami Weissa. Domeny
magnetyczne są utworzone przez miliardy atomów, jednakże mają one mikroskopijne
rozmiary. Suma momentów magnetycznych atomów stanowi moment magnetyczny
domeny. Momenty magnetyczne domen nienamagnesowanego ferromagnetyka są
ustawione chaotycznie i ich pola magnetyczne znoszą się.

S

N

S

N

20

Po umieszczeniu próbki w zewnętrznym polu magnetycznym następuje
porządkowanie domen, w wyniku czego powstaje drugi składnik pola
magnetycznego - wektor namagnesowania.

2. Paramagnetyki i diamagnetyki.

Atomy paramagnetyków mają również znaczne momenty magnetyczne ale nie
tworzą domen magnetycznych. Każdy ferromagnetyk powyżej charakterystycznej dla
siebie temperatury (temperatura Curie) staje się paramagnetykiem, ponieważ ruch
termiczny atomów niszczy domeny magnetyczne. Atomy diamagnetyków mają
praktycznie zerowe momenty magnetyczne. Pole magnetyczne zewnętrzne powoduje
pewne deformacje orbit elektronowych, w wyniku czego atomy te uzyskują
niewielkie momenty magnetyczne skierowane przeciwnie do zewnętrznego pola
magnetycznego.

3. Krzywa histerezy.

Jeśli próbkę ferromagnetyka umieścimy w zmiennym polu magnetycznym
wytworzonym przez prąd płynący np. przez solenoid, to na wykresie można
przedstawić

zależność

wektora

namagnesowania

od

indukcji

pola

magnesującego. Stan namagnesowania jest
zawsze spóźniony w stosunku do pola,
które

ten

stan

wywołało.

Taki

charakterystyczny

wykres

nazywamy

krzywą histerezy (Z greckiego: histeresis - pozostawać w tyle, spóźniać się). Wektor
namagnesowania jest dominującym składnikiem wektora B , a zatem :

0

B

r

((((

))))

0

B

1

r

−−−−

µµµµ

0

B

r

((((

))))

0

B

1

r

−−−−

µµµµ

I

21

(µ−1) Β

(µ−1) Β

(µ−1) Β

(µ−1) Β

0000

≈≈≈≈ Β

Β

Β

Β

Indukcja magnetyczna pola magnesującego jest
wprost proporcjonalna do natężenia pola i tym
samym do prądu, który jest jego przyczyną. Gdy
pole magnesujące staje się dostatecznie silne,
powstaje

stan

nasycenia

magnetycznego.

Wektor

namagnesowania

osiąga

wtedy

maksymalną wartość. Wzrost B

0

nie powoduje

wtedy wzrostu

(µ−1)Β

(µ−1)Β

(µ−1)Β

(µ−1)Β

0000

.

Oznacza to, że wzrost

B

0

powoduje zmniejszenie

µµµµ

. Ferromagnetyki

nie mają stałej względnej przenikalności magnetycznej. Maleje ona ze wzrostem
indukcji pola zewnętrznego. Indukcję pola, która powoduje rozmagnesowanie próbki
nazywamy koercją.

4. Materiały ferromagnetyczne.

Materiały o dużej koercji nazywamy twardymi. Z takich materiałów wykonuje się
magnesy stałe. Materiały o małej koercji łatwo ulegają rozmagnesowaniu i
nazywamy je miękkimi. Wykonuje się z nich rdzenie elektromagnesów.

B

0

∼∼∼∼

H

∼∼∼∼

I

pozostałość

magnetyczna

koercja

(

µ − 1)

µ − 1)

µ − 1)

µ − 1)⋅⋅⋅⋅Β

ΒΒ

Β

0000

B

0

(

µ−1)

µ−1)

µ−1)

µ−1)

B

0

B

0

(

µ−1)

µ−1)

µ−1)

µ−1)

B

0

Krzywa histerezy dla twardych

materiałów ferromagnecznych

Krzywa histerezy dla miękkich

materiałów ferromagnecznych

22

Do szczególnych materiałów ferromagnetycznych należą żelaziny magnezu, miedzi,
baru, żelaza itp. Noszą one ogólną nazwę ferrytów: ferryt magnezowy - MgO

.

Fe

2

O

3

,

ferryt miedziowy - CuO

.

Fe

2

O

3

, ferryt barowy - BaO

.

Fe

2

O

3

, ferryt żelazowy -

FeO

.

Fe

2

O

3

. Ten ostatni, o wzorze sumarycznym Fe

3

O

4

, występuje w przyrodzie w

postaci minerału zwanego magnetytem.

Poza pierwiastkami ferromagnetycznymi znane są jeszcze rozmaite minerały
ferromagnetyczne, a nawet stopy ferromagnetyczne nie zawierające wcale metali
ferromagnetycznych. Należy do nich tzw. stop Heuslera zawierający 24% Mn, 16%
Al i 60% Cu

.