background image

A

L

G

E

B

R

A
L

IN

IO

W

A
1

L

is

ta

zada

ń

200

3

/2004

1

.

L

icz
b

y
z

e

sp

o

lo

n

e

Z

adan

ie

1

.1

[1

.1]

W
y

ko

n

p

o

d

an

e

d

ziała
n

ia

:

a

)

(1

3

i)

+
(4

5

i)

;

b

)



1

+

2

i





3

6

i



;

c)



7

3

i



·



7

+

3

i



;

d

)

2

+

3

i

1

+
i

;

e

)

z

·w

,

z

2

w

,

z

w

z

+
w

,

R

e

z

+
i
Im
w

z

+
w

d

la

z

=
5

2

i,

w
=
3

+

4

i.

Z

adan

ie

1

.2

[1

.2]

Z

n

al

ć

lic

zb

y

rz

ec

zy

w

is

te

x

,

y

sp

n

ia

ce

p

o

d

an

e

w

n

an

ia

:

a

)

x

(2

+
3

i)

+
y

(5

2

i)

=

8

+

7

i;

b

)

(2

+
y

i)

·(

x

3

i)

=
7

i;

c)

1

+
y

i

x

2

i

=
3

i

1

;

d

)

x

+
y

i

x

y

i

=

9

2

i

9

+

2

i .

Z

adan

ie

1

.3

[1

.3]

W
zb

io

rz

e

lic

zb

ze

sp

ol

on

y

ch

ro

zw

za

ć

p

o

d

an

e

w

n

an

ia

:

a

)

z

2

=
4

z
;

b

)

1

+
i

z

=

2

3

i

z

;

c)

z

2

4

z

+

13

=
0;

d

)

(z

+
2)

2

=
(z

+
2)

2

;

e

)

2

z

+
z

=
6

5

i;

f)

(1

+

i)

z

+

3(

z

i)

=
0;

g

)

2

+
i

z

1

+
4

i

=

1

i

2

z

+
i ;

h

)

z

+
i

z

+
i

=
0;

i*

)

z

3

6

iz

2

12
z

+

8

i

=
0

.

Z

adan

ie

1

.4

[1

.5]

N

a

p

ła

sz

cz

y

źn

ie

ze

sp

ol

on

ej

n

ar

y

so

w

zb

io

ry
lic

zb
z
sp

n

ia

cy

ch
p

o

d

an

e

w

ar

u

n

k

i:

a

)

R

e

(i

z

+
2)
­

0

;

b

)

Im
z

2

<
0

;

c)

z

i

=
z

1;

d

)

4

z

=
z
;

e

)

z

z

+
(5

+
i)

z

+
(5

i)

z

+

1

=
0;

f)

Im

1

+
iz

1

iz

=
1

.

Z

adan

ie

1

.5

[1

.6]

N

u

m

era

c

ja

zada
ń
z

k

si

ą

żk

i

A

lg

e

b

ra

lini
o

w

a

1

.

P

rz

y

k

ła

d

y

i

za

d

a

ni

a

,

w

y

dan

ie

IX

.

N

u

m

era

c

ja

zada
ń
z

k

si

ą

żk

i

A

lg

e

b

ra

lini
o

w

a

1

.

P

rz

y

k

ła

d

y

i

za

d

a

ni

a

,

w

y

dan

ie

V

II

I.

1

N

ie

ch
u
=

z

+
4

z

2

i ,

v
=

z

iz

+
4

,

gd

zie

z

C
.

Na
sz

k

ic

ow

zb

r

w

sz

y

st

k

ic

h

lic

zb

ze

sp

ol

on

y

ch

z

,

d

la

k

ry

ch

:

a

)

lic

zb

a

u

je

st

rz

ec

zy

w

is

ta

;

b

)

lic

zb

a

u

je

st

cz

y

st

o

u

ro

jo

n

a;

c)

lic

zb

a

v

je

st

rz

ec

zy

w

is

ta

;

d

)

lic

zb

a

v

je

st

cz

y

st

o

u

ro

jo

n

a.

Z

adan

ie

1

.6

[1

.7]

P

u

n

k

ty
z

1

,

z

2

,

z

3

p

ła

sz

cz

y

zn

y

ze

sp

ol

on

ej

w

ie

rz

ch

ka

m

i

tr

ó

jk

ąta
.

W
y

zn

a-

cz

y

ć

p

oło
że

n

ie

p

u

n

k

tu

p

rz

ec

cia

śr

o

d

k

ow

y

ch

te

go

tr

ó

jk

ąta
.

W
sk

a

w

k

a

.

W
y

k

or

zy

st

a

ć

fa

k

t,

że

śr

o

d

k

o

w

e

tr

ó

jk

ą

ta

pr
ze

ci

n

a

si

ę

w
jed
n

y

m
pun

k

ci

e

i

d

zi

el

ą

si

ę

w
st

o

sun
k

u

2

:

1

lic

c

o

d

w

ier

zc

ho
łk

a

.

Z

adan

ie

1

.7

[2

.1]

O

b

lic

zy

ć

m

o

d

u

ły

p

o

d

an

y

ch

lic

zb

ze

sp

ol

on

y

ch

:

a

)

3

i;

b

)

6

8

i;

c)

4

2

+

4

3

i;

d

)

1

+
i
tg
α

,

α



π

2

,

π

2



;

e

)

1

+
3

i

3

4

i .

Z

adan

ie

1

.8

[2

.2]

P

o

d

in

te

rp

re

ta

cj

ę

ge

om

et

ry

cz

n

ą

m

o

d

u

łu

żn

ic

y

lic

zb

ze

sp

ol

on

y

ch

.

K

or

zy

-

st

a

c

z

te

j

in

te

rp

re

ta

cj

i

n

ar

y

so

w

zb

io

ry

lic

zb

ze

sp

ol

on

y

ch
z

sp

n

ia

cy

ch

p

o

d

an

e

w

ar

u

n

k

i:

a

)

|z

3

+
4

i
|=
1;

b

)

z

2

i

z

+
1

=
1;

c)

2

¬

|i

z

5
|

<
3;

d

)

|z

+
1

2

i

3

or

az

|z

3

|

<
4;

e

)

z

+
i

z

2

+

1

­

1;

f)

sin

|z

+

2

i
|)

>
0;

g*
)

3

|z

+
i

z

2

+

1

<
5
|z

i
|;

h

)

|z

1

+
3

i
|

¬

5

.

Z

adan

ie

1

.9

[2

.4]

P

o

d

an

e

lic

zb

y

ze

sp

ol

on

e

za

p

is

w
p

os

ta

ci

tr

y

go
n

om

et

ry

cz

n

ej

:

a

)

7

+
7

i;

b

)

3

i;

c)

5

+
5

3

i;

d

)

sin

α

+
i
co

s

α

;

e

)

co

s

α

+
i
sin

α

;

f)

1

+
i
tg
α

.

U

w

aga

.

W
ćw

ic

ze

n

ia

ch

d

)

,

e

)

,

f)

kąt
α
sp

n

ia

n

ie

w

n

ci

0

<
α
<

π

2

.

Z

adan

ie

1

.10

[2

.5]

Na
ry

so

w

zb

io

ry

lic

zb

ze

sp

ol

on

y

ch

z

sp

n

ia

cy

ch

p

o

d

an

e

w

ar

u

n

k

i:

a

)

ar

g

z

=

5

π

4

;

b

)

π

6

<
ar

g

(z

+
3

i)

<

π

3

;

c)

π

¬
ar

g

(i

z
)

<
2

π

;

d

)

ar

g
z

6



=
π

;

e

)

π

3

¬
ar

g

(

z
)

¬

π

2

;

f*

)

ar

g

(z

1

2

i)

=

3

π

2

.

2

background image

Z

adan

ie

1

.11

[2

.6]

O

b

lic

zy

ć

w

ar

to

śc

i

p

o

d

an

y

ch

w

y

ra

że

ń

(w

y

n

ik

p

o

d

w
p

os

ta

ci

al

ge

b

ra

ic

zn

ej

):

a

)

(1

i)

1

2

;

b

)



1

+

3

i



8

;

c)



2 √

3

2

i



3

0

;

d

)



co

s

π

4

i
sin

π

4



1

0

;

e

)

(1

+
i)

2

2



1

i √

3



6

;

f)



sin

π

6

+
i
co

s

π

6



2

4

.

Z

adan

ie

1

.12

[2

.7]

K

or

zy

st

a

c

ze

w

zo

ru

d

e

M

oi

v

re

’a

w

y

ra

zić

:

a

)

sin

3

x

p

rz

ez

fu

n

kc

sin

x

;

b

)

co

s

4

x

p

rz

ez

fu

n

kc

je

sin

x

i

co

s

x

;

c*
)

tg

6

x

p

rz

ez

fu

n

kc

tg
x

;

d*
)

ct

g

5

x

p

rz

ez

fu

n

kc

ctg
x

.

Z

adan

ie

1

.13

[2

.8]

Na
ry

so

w

zb

io

ry

lic

zb

ze

sp

ol

on

y

ch

z

sp

n

ia

cy

ch

p

o

d

an

e

w

ar

u

n

k

i:

a

)

Im
z

3



<
0

;

b

)

R

e
z

4



­

0;

c)

Im



z

2



­
R

e

h

(z

)

2

i

;

d

)

Im

(1

+
i)

z

(1

i)

z

­

0

.

Z

adan

ie

*

1

.14

[2

.9]

W
y

ko

rz

y

st

u

c

w

r

n

a

su

m

ę

w

y

ra

w
ze

sp

o

lo

n

eg

o

cią

gu

ge

om

et

ry

cz

n

eg

o

ob

-

lic

zy

ć:

a

)

sin

x

+

sin

2

x

+
.

.

.
+

sin

n

x

;

b

)

co

s

x

+

co

s

2

x

+
.

.

.
+

co

s

n

x

;

c)

1

2

+
co

s

x

+
co

s

2

x

+
.

.

.
+

co

s

n

x

;

d

)

sin

x

+

sin

3

x

+
.

.

.
+

sin

(2

n

1)

x

;

e

)

1

+
(1

i)

+

(1

i)

2

+
.

.

.
+

(1

i)

n

;

f)

 

n

0

!

 

n

2

!

+

 

n

4

!

.

.

.
+

(

1)

n

 

n

2

m

!

,

gd

zie

n

N

or

az

m
=
E



n

2



.

Z

adan

ie

1

.15

[3

.1]

S

to

su

c

p

os

ta

ć

w

y

k

ła

d

n

ic

lic

zb

y

ze

sp

ol

on

ej

ro

zw

za

ć

p

o

d

an

e

w

n

an

ia

:

a

)

z

7

=
z
;

b

)

(z

4

)

=
z

2

z

2

;

c)

(z

)

2

z

2

=

4

z

2

;

d

)

|z

|

3

=
iz

3

;

e

)

z

6

=
(z

)

6

;

f)

z

8

=
z

4

.

Z

adan

ie

1

.16

[3

.2]

S

to

su

c

w

zo

ry

E

u

le

ra

w

y

ra

zić

p

o

d

an

e

fu

n

kc

je

w
p

os

ta

ci

su

m
sin

u

w
i

co

si-

n

u

w
w

ie

lo

k

rot

n

ci

kąta

x

:

a

)

sin

3

x

;

b

)

co

s

2

x

;

c)

sin

5

x

;

d

)

sin

4

x

+

co

s

4

x

.

3

Z

adan

ie

1

.17

[3

.3]

K

or

zy

st

a

c

z

d

efi

n

ic

ji

ob

lic

zy

ć

p

o

d

an

e

p

ie

rw

ia

st

k

i:

a

)

5

12
i;

b

)

11

+
60
i;

c)

3

i;

d

)

4

16
.

Z

adan

ie

1

.18

[3

.4]

O

b

lic

zy

ć

i

n

ar

y

so

w

n

a

p

ła

sz

cz

y

źn

ie

ze

sp

ol

on

ej

p

o

d

an

e

p

ie

rw

ia

st

k

i:

a

)

q

1

+

3

i;

b

)

3

27
i;

c)

4

4;

d

)

6

64
;

e

)

5

32
i;

f)

3

1

+
i;

g*
)

4

i;

h*
)

3

2

+
2

i.

Z

adan

ie

1

.19

[3

.5]

O

d

ga
d

u

c

je

d

en

z

ele

m

en

w
p

o

d

an

y

ch

p

ie

rw

ia

st

k

ów
ob

lic

zy

ć

p

oz

os

tał
e

ele

-

m

en

ty

ty

ch

p

ie

rw

ia

st

k

ów

:

a

)

p

(5

4

i)

4

;

b

)

4

p

(

2

+
3

i)

4

;

c)

3

p

(2

i)

6

;

d

)

3

p

(2

2

i)

9

.

Z

adan

ie

1

.20

[3

.6]

J

ed

n

y

m
z

w

ie

rz

ch

k

ów
k

w

ad

rat

u

je

st

p

u

n

k

t

z

1

=
4

i.

W
y

zn

ac

zy

ć

p

oz

os

tał
e

w

ie

rz

ch

k

i

te

go

k

w

ad

rat

u

,

je

że

li

je

go

śr

o

d

k

ie

m
je

st

:

a

)

p

o

cz

ąt

ek

u

k

ła

d

u

w

sp

ół

rz

ęd

n

y

ch

;

b

)

p

u

n

k

t

u

=
1;

c)

p

u

n

k

t

u

=
3

+
i;

d

)

p

u

n

k

t

u

=
7

+

2

i.

Z

adan

ie

1

.21

[3

.7]

Z

n

al

ć

ro

zw

za

n

ia

p

o

d

an

y

ch

w

n

:

a

)

z

4

=
(1

i)

4

;

b

)

(z

1)

6

=
(i

z
)

6

;

c)

z

3

=
(i

z

+
1)

3

.

4