A

L

G

E

B

R

A
L

IN

IO

W

A
1

L

is

ta

zada

ń

200

3

/2004

4

.

U

k

ład

y
r

ó

w

na
ń
li

n

io

w

y

c

h

◦

Z

adan

ie

4

.1

∗

[9

.1]

†

D

la

ja

k

ic

h
w

ar

to

śc

i

p

ar

am

et

ru
p
∈

R

p

o

d

an

e

u

k

ła

d

y

ró

w

n

ań
są

u

k

ła

d

am

i

C

ra

m

er

a:

a

)

(

(

p

+

1)
x
−

p

y

=

1

2

x

+
(

p

−
1)
y

=
3

p

;

b

)











2

p

x

+
4

y
−

pz

=
4

2

x

+

y

+
pz

=
1

(4

+

2

p
)

x

+
6

y

+
pz

=
3

;

c)











p

x

+
3

y

+
pz

=
0

−
p

x

+
2

z

=
3

x

+
2

y

+
pz

=
p

;

d

)



















x
−

y
−

z
−

t

=
p

x

−
x

+
y
−

z
−

t

=
p

y

−
x
−

y

+
z
−

t

=
pz

−
x
−

y
−

z

+
t

=
pt

?

◦

Z

adan

ie

4

.2

[9

.2]

K

or

zy

st

a

ją

c

ze

w

zo

ru

C

ra

m

er

a

zn

al

eź

ć

ro

zw

ią

za

n

ia

p

o

d

an

y

ch

u

k

ła

d

ów
ró

w

-

n

ań

:

a

)

(

5

x
−

2

y

=
6

3

x

+

y

=
4

;

b

)











x

+
2

y

+
3

z

=
1

2

x

+
3

y

+

z

=
3

3

x

+

y

+
2

z

=
2

;

c)











x

+
2

y

+
3

z

=
14

4

x

+
3

y
−

z

=

7

x
−

y

+

z

=

2

.

◦

Z

adan

ie

4

.3

[9

.3]

S

to

su

ją

c

w

zó

r

C

ra

m

er

a

ob

lic

zy

ć

n

ie

w

ia

d

om

ą

y

z

p

o

d

an

y

ch

u

k

ła

d

ów
ró

w

n

ań

:

a

)



















3

x

+
7

y

+
2

z

+
4

t

=
0

2

y

+

z

=
0

x

+
4

y

+

z

=
1

5

x

+
3

y

+
2

z

=
0

;

b

)



















x

+
3

y

+
3

z

+
3

t

=
1

3

x

+

y

+
3

z

+
3

t

=
1

3

x

+
3

y

+

z

+
3

t

=
1

3

x

+
3

y

+
3

z

+

t

=
1

;

c)

x

+

2

y
−
4

=
3

y

+
4

z

−
6

=
5

z

+

6

s

=
7

s

+

8

t

=
x

+
y

+
z

+
s

+
t

−
2

=
0

.

◦

Z

adan

ie

4

.4

[9

.4]

Ro
zw

ią

za

ć

p

o

d

an

e

u

k

ła

d

y

ró

w

n

ań

m

et

o

d

ą

m

ac

ie

rz

y

o

d

w

rot

n

ej

:

∗

N

u

m

era

c

ja

zada
ń
z

k

si

ą

żk

i

A

lg

e

b

ra

lini
o

w

a

1

.

P

rz

y

k

ła

d

y

i

za

d

a

ni

a

,

w

y

dan

ie

IX

.

†

N

u

m

era

c

ja

zada
ń
z

k

si

ą

żk

i

A

lg

e

b

ra

lini
o

w

a

1

.

P

rz

y

k

ła

d

y

i

za

d

a

ni

a

,

w

y

dan

ie

V

II

I.

1

a

)

(

2

x
−

y

=
3

3

x

+
y

=
2

;

b

)











x

+

y

+
z

=
5

2

x

+
2

y

+
z

=
3

3

x

+
2

y

+
z

=
1

;

c)











x

+

y

+

z

=

4

2

x
−

3

y

+
5

z

=
−

5

−
x

+
2

y
−

z

=

2

;

d

)



















y

+
z

+
t

=

4

x

+
z

+
t

=
−

1

x

+
y

+
t

=

2

x

+
y

+
z

=
−

2

.

◦

Z

adan

ie

4

.5

[5

.1

#

]

‡

Z

n

al

eź

ć

rz

ęd

y

p

o

d

an

y

ch

m

ac

ie

rz

y

w

sk

az

u

ją

c

n

ie

ze

ro

w

e

m

in

or

y

m

ak

sy

m

al

n

y

ch

sto

p

n

i:

a

)

"

4
−

2

−

8

4

#

;

b

)







1
3
5

2
2
1

−

1
0
3







c)







2
3
−

1

1

4
2

0

5

0
4
−

2
−

3







;

d

)











1
2

3

2
1
−

2

4
5

4

1
3

4











e

)















1
0
1
0
1
0
1

1
5
1
0
1
6
1

1
0
1
7
1
0
1

1
8
1
0
1
9
1

1
0
1
0
1
0
1















f)















1
1

2
0
0

2
1
−

1
0
0

4
3

3
0
0

0
0

0
7
5

0
0

0
1
6















.

◦

Z

adan

ie

4

.6

[5

.2

#

]

W
y

k
on

u

ją

c

op

er

ac

je

el

em

en

ta

rn

e

n

a

w

ie

rs

za

ch

lu

b

k

ol

u

m

n

ac

h

p

o

d

an

y

ch

m

a-

cie

rz

y

ob

lic

zy

ć

ic

h

rz

ęd

y

:

a

)







1
−

3

2
1
2

2

1
−

1
3
1

4
−

5

3
5
6







;

b

)







−

2

1
−

3

1
−

5

45
15
30

−

60
75

5

3

2

−

8

7







;

c)











3
1
6
2
1

2
1
4
2
2

3
1
3
1
3

2
1
2
1
4











;

d

)











1

2

3

4

5

6

7

8

9
10
11
12

13
14
15
16











;

e

)















−

4

1

1

1

1

1
−

4

1

1

1

1

1
−

4

1

1

1

1

1
−

4

1

1

1

1

1
−

4















;

f*

)



















1
1
1
0
0
0
0

3
2
2
1
0
0
0

5
3
2
2
1
0
0

5
2
1
2
1
1
0

3
1
0
1
0
1
0

1
0
0
0
0
0
1



















.

◦

Z

adan

ie

4

.7

[5

.3

#

]

S

p

ro

w

ad

za

ją

c

p

o

d

an

e

m

ac

ie

rz

e

d

o

p

os

ta

ci

sc

h

o

d

k

ow

ej

w

y

zn

ac

zy

ć

ic

h

rz

ęd

y

:

‡

N

u

m

era

c

ja

zada
ń
z

k

si

ą

żk

i

A

lg

e

b

ra

lini
o

w

a

2

.

P

rz

y

k

ła

d

y

i

za

d

a

ni

a

,

w

y

dan

ie

IV

.

2

a

)











1

2

3
1

5

0

4

7
1

2

1

2

3
4

6

−

1
−

2
−

3
5
−

3











;

b

)



















4

1

2

5

0

1

3

4

4

4

7
13

4

1
−

2

1

8

5

5
14

−

4
−

1

2
−

1



















;

c)

A
=
[a

ij

]

je

st

m

ac

ie

rz

ą

w

y

m

ia

ru

5

×
7,

gd

zie

a

ij

=
i

+
j

d

la

1

¬
i

¬
5,

1

¬
j

¬
7;

d

)

B
=
[b

ij

]

je

st

m

ac

ie

rz

ą

w

y

m

ia

ru

6

×

6,

gd

zie

b

ij

=
i

2

j

d

la

1

¬
i,

j

¬
6

.

◦

Z

adan

ie

4

.8

[5

.5

#

]

Z

n

al

eź

ć

rz

ęd

y

p

o

d

an

y

ch

m

ac

ie

rz

y

w

za

le

żn

oś

ci

o

d

p

ar

am

et

ru

rz

ec

zy

w

is

te

go
p

:

a

)







1
1
p

3
p
3

2

p
2
2







b

)







1

p

2

1

−

2

7

+
p

1
2

+

2

p
−

3

−
p







;

c)







p

−

1
p

−

1

1

1

1

p

2

−

1

1

p

−

1

1

p

−

1
p

−

1

1







d

)







1
1
1
p

1
1
p
p

1
p
p
p







e

)











p
−

p

1
−

p

−

2

2
−

2

2

3

p

3

p

p

1

p

1











;

f*

)











p

2

4

4
4
4

p

2

2

p

4
4
4

p

2

2

p
2

|p

|
4
4

p

2

2

p
2

|p

|

2

p

4











◦

Z

adan

ie

4

.9

[6

.1

#

]

W
p

o

d

an

y

ch

u

k

ła

d

ac

h

ró

w

n

ań

lin

io

w

y

ch

ok

re

śli

ć

(n

ie

ro

zw

ią

zu

ją

c

ic

h

)

lic

zb

y

ro

zw

ią

za

ń

or

az

lic

zb

y

p

ar

am

et

ró

w

:

a

)



















x

+

y

+

z

=
1

x

+
2

y

+
3

z

=
1

2

x

+
3

y

+
4

z

=
2

3

x

+
2

y

+

z

=
3

;

b

)



















2

x

−

y

=

3

x

+

y

=

4

4

x

+
8

y

=
11

x

+
4

y

=
10

;

c)



















5

x

−
3

y

−

z

=

3

2

x

+

y

−

z

=

1

3

x

−
2

y

+
2

z

=
−

4

x

−

y

−
2

z

=
−

2

;

d

)











x

−

y

+
2

z

−
t

=

1

2

x

−
3

y

−

z

+
t

=
−

1

x

+
7

y

−
t

=

4

;

e

)











x

−
3

y

+
2

z

=
7

x

−

t

=
2

−

x

−
3

y

+
2

z

+
2

t

=
3

.

◦

Z

adan

ie

4

.10

[6

.2

#

]

W
sk

az

ać

w

sz

y

st

k

ie

m

oż

liw

e

zb

io

ry

n

ie

w

ia

d

om

y

ch

,

k

tó

re

m

og

ą

b

y

ć

p

ar

am

et

ra

-

m

i

ok

re

śla

ją

cy

m

i

ro

zw

ią

za

n

ia

p

o

d

an

y

ch

u

k

ła

d

ów
ró

w

n

ań

lin

io

w

y

ch

:

3

a

)











x

−

y

+

z

=
−

1

2

x

+
2

y

−
2

z

=

3

3

x

+

y

−

z

=

2

;

b

)











x

+
2

y

+

3

z

+

4

t

=
−

1

−

x

+
8

y

+
11
z

+
12
t

=

5

2

x

−

y

−

z

=
−

4

;

c)











x

−
3

y

+

z

−
2

s

+
t

=

−

5

2

x

−
6

y

−
4

s

+
t

=
−

10

2

z

+
t

=

0

.

◦

Z

adan

ie

4

.11

[6

.3

#

]

O

k

re

śli

ć

lic

zb

y

ro

zw

ią

za

ń

p

o

d

an

y

ch

u

k

ła

d

ów
ró

w

n

ań

lin

io

w

y

ch

w
za

le

żn

oś

ci

o

d

p

ar

am

et

ru

rz

ec

zy

w

is

te

go
p

:

a

)

(

(p

+
1)

x

+
(2
−
p

)y

=

p

(1
−
3

p

)x

+
(p

−
1)

y

=
−

6

;

b

)











(p

+
1)

x

−

y

+
pz
=

1

(3
−
p

)x

+
4

y

−
pz
=
−

4

p

x

+
3

y

=
−

3

;

c)











p

x

+

y

+

2

z

=
1

x

+
p

y

+

2

z

=
1

x

+

y

+
2

pz
=
1

;

d

)



















2

x

+
p

y

+
pz
+
pt
=
1

2

x

+
2

y

+
pz
+
pt
=
2

2

x

+
2

y

+
2

z

+
pt
=
3

2

x

+
2

y

+
2

z

+
2

t

=
4

;

e

)











x

+
(p

−
2)

y

−

2

pz
=
4

p

x

+
(3
−
p

)y

+

4

z

=
1

(1

+
p

)x

+

y

+
2(2

−
p

)z

=
7

.

◦

Z

adan

ie

4

.12

[6

.6

#

]

W
w

y

tw

ór

n

i

m

on

tu

je

się

w

y

ro

b

y

A

,B

,C

,D

,E
z

cz

te

re

ch

ty

p

ów

d

eta

li

a

,b

,c

,d

.

L

ic

zb

y

d

eta

li

w

ch

o

d

zą

cy

ch

w
sk

ła

d

p

os

zc

ze

gó
ln

y

ch

w

y

ro

b

ów
p

o

d

an

e

są

w
ta

-

b

el

i

A

B

C

D

E

a

1

2

0

4

1

b

2

1

4

5

1

c

1

3

3

5

4

d

1

1

2

3

1

.

a

)

C

zy

m

oż

n

a

ob

lic

zy

ć,

ile

w

aż

ą

w

y

ro

b

y

D
i

E

,

je

że

li

w

y

ro

b

y

A

,B

,C
w

aż

ą

o

d

p

ow

ie

d

n

io

12
,

20

i

19

d

ag
.

P

o

d

ać

zn

al

ez

io

n

e

w

ag

i.

b

)

Ile

w

aż

ą

d

eta

le

a

,b

,c

,

je

że

li

d

eta

l

d

w

aż

y

1

d

ag
?

◦

Z

adan

ie

4

.13

[9

.5]

Ro
zw

ią

za

ć

p

o

d

a

n

e

u

k

ła

d

y

ró

w

n

ań

m

et

o

d

ą

el

im

in

ac

ji

G

au

ss

a:

4

a

)

(

2

x

+
3

y

=
1

3

x

+

y

=
0

;

b

)











x

+

y

=

1

x

+
2

y

−
3

z

=
−

3

2

x

+
4

y

+

z

=

1

;

c)











3

x

+

y

+

z

=
−

1

x

+
2

z

=
−

6

3

y

+
2

z

=

0

;

d

)











2

x

+
3

y

+
2

z

=
1

3

x

+
4

y

+
2

z

=
2

4

x

+
2

y

+
3

z

=
3

;

e

)



















x

+

y

+

z

+

t

=
1

2

x

+
2

y

+

z

+

t

=
0

3

x

+
2

y

+
3

z

+
2

t

=
3

6

x

+
4

y

+
3

z

+
2

t

=
2

;

f)



























x

−
2

y

+
3

s

+

t

=

1

2

x

−
3

y

+
z

+
8

s

+
2

t

=

3

x

−
2

y

+
z

+
3

s

−

t

=

1

y

+
3

s

+
5

t

=

0

x

−
2

y

+
5

s

+
8

t

=
−

1

.

◦

Z

adan

ie

4

.14

[9

.6]

S

to

su

ją

c

„m

et

o

d

ę

ko

lu

m

n

je

d

n

os

tk

ow

y

ch

”

ro

zw

ią

za

ć

p

o

d

an

e

u

k

ła

d

y

C

ra

m

er

a:

a

)











5

x

+
2

y

−
2

z

=
5

3

x

+

y

+
2

z

=
1

2

x

+
3

y

+
2

z

=
5

;

b

)



















x

−
2

y

+

z

−
t

=
−

4

2

x

−

y

−

z

+
t

=

1

x

+

y

+
2

z

−
t

=

5

x

+

y

−

z

+
t

=

4

;

c)



























2

x

+
y

+
z

+
t

=
0

y

+
z

=
0

2

x

+
y

+
z

+
s

=
0

y

+
z

+
s

+
t

=
4

x

+
z

+
t

=
0

;

d

)



























2

x

+
3

y

+
2

z

−

t

=
3

2

x

+

y

+

z

+
2

s

+
3

t

=
6

3

x

−

z

+

s

+

t

=
3

y

+
4

s

+

t

=
1

2

x

+

y

+

z

−
2

s

+
5

t

=
8

.

◦

Z

adan

ie

4

.15

[10
.1]

S

to

su

ją

c

m

et

o

d

ę

eli

m

in

ac

ji

G

au

ss

a

ro

zw

ią

za

ć

p

o

d

an

e

u

k

ła

d

y

ró

w

n

ań

:

a

)



















x

−
2

y

+

z

=

4

x

+

y

+

z

=

1

2

x

−
3

y

+
5

z

=
10

5

x

−
6

y

+
8

z

=
19

;

b

)











x

+
2

y

+

z

+

t

=
7

2

x

−

y

−

z

+
4

t

=
2

5

x

+
5

y

+
2

z

+
7

t

=
1

;

c)



















x

+
2

y

+

3

z

+

t

=
1

2

x

+
4

y

−

z

+
2

t

=
2

3

x

+
6

y

+
10
z

+
3

t

=
3

x

+

y

+

z

+

t

=
0

;

d

)











x

−

y

+

z

−
2

s

+

t

=

0

3

x

+
4

y

−

z

+

s

+
3

t

=

1

x

−
8

y

+
5

z

−
9

s

+

t

=
−

1

.

◦

Z

adan

ie

4

.16

[10
.2]

Ro
zw

ią

za

ć

p

o

d

an

e

u

k

ła

d

y

ró

w

n

ań

„m

et

o

d

ą

ko

lu

m

n

je

d

n

os

tk

ow

y

ch

”:

5

a

)



















3

x

+
2

y

+
z

−

t

=

0

5

x

−

y

+
z

+
2

t

=
−

4

7

x

+
8

y

+
z

−
7

t

=

6

x

−

y

+
z

+
2

t

=

4

;

b

)



















2

x

+
3

y

+

z

−
2

s

−

t

=

6

4

x

+
7

y

+
2

z

−
5

s

+

t

=
17

6

x

+
5

y

+
3

z

−
2

s

−

9

t

=

1

2

x

+
6

y

+

z

−
5

s

−
10
t

=
12

;

c)



































3

x

+

y

−
2

t

=

1

5

x

+
2

y

+
2

z

−

t

=

5

x

−

y

−
2

t

=
−

5

5

x

+

y

+

z

−
3

t

=

0

−

7

x

−
3

y

+

z

+
5

t

=
−

4

4

x

+

y

−
2

z

−
5

t

=
−

2

;

d

)



































x

−
3

y

+

z

−
2

s

+
t

=

−

5

2

x

−
6

y

−
4

s

+
t

=
−

10

2

z

+
t

=

0

−

2

x

+
6

y

+
2

z

+
4

s

=

10

−

2

x

+
6

y

+
4

z

+
4

s

+
t

=

10

−

x

+
3

y

+

z

+
2

s

=

5

.

◦

Z

adan

ie

4

.17

[10
.3]

D

la

ja

k

ic

h

w

ar

to

śc

i

p

ar

am

et

ru

p

p

o

d

an

e

u

k

ła

d

y

ró

w

n

ań

m

a

ją

d

ok

ła

d

n

ie

je

d

n

o

ro

zw

ią

za

n

ie

?

O

k

re

śli

ć

lic

zb

y

ro

zw

ią

za

ń

ty

ch

u

k

ła

d

ów
w
p

oz

os

tał
y

ch

p

rz

y

p

ad

-

ka

ch

:

a

)











x

+

p

y

−

z

=
1

x

+
10
y

−
6

z

=
p

2

x

−

y

+
pz
=
0

;

b

)











x

+

4

y

−
2

z

=
−

p

3

x

+

5

y

−
pz
=

3

p

x

+
3

p

y

+

z

=

p

.

◦

Z

adan

ie

4

.18

[10
.4]

W
y

k
on

an

ie

p

ew

n

eg

o

p

o

je

m

n

ik

a

w

y

m

ag
a

w

y

k

on

an

ia

cz

te

re

ch

cz

y

n

n

oś

ci

:

n

a-

ry

so

w

an

ia

fo

rm

y,

w

y

ci

ęc

ia

,

zło

że

n

ia

m

o

d

el

u

i

je

go

p

om

al

ow

an

ia

.

L

ic

zb

y

p

o-

sz

cz

egó
ln

y

ch

cz

y

n

n

oś

ci

w
ko

le

jn

y

ch

d

n

ia

ch

p

ra

cy

p

ew

n

eg

o

p

ra

co

w

n

ik

a

p

o

d

a

je

ta

b

ela

:

ry

so

w

an

ie
w

y

ci

n

an

ie
sk

ła

d

an

ie
m

al

ow

an

ie

p

on

ie

d

ział

ek

30

20

10

5

w

to

re

k

20

15

15

10

śr

o

d

a

40

25

20

20

cz

w

ar

te

k

30

20

20

20

O

b

lic

zy

ć

cz

as

w

y

k
on

y

w

an

ia

p

os

zc

ze

gó

ln

y

ch

cz

y

n

n

oś

ci,

je

że

li

w

k

ol

ej

n

y

ch

d

n

ia

ch

łą

cz

n

y

cz

as

p

ra

cy

w

y

n

os

ił

o

d

p

ow

ie

d

n

io

2

h

10

m

in

,

2

h

15

m

in

,

3

h

55

m

in

,

3

h

30

m

in

.

6