AL1 (Inżynieria Biomedyczna)

Z

7−8

1. Wyprowadzić wzory, zakładając, że mają sens liczbowy

(arccos x)

0

=

−1

√

1 − x

2

, (arctg x)

0

=

1

1 + x

2

2. Obliczyć na podstawie definicji f

0

(1), jeśli f (x) =

2x − 1

x + 3

.

3. Obliczyć – zakładając, że istnieje – pochodną funkcji: f (x) =

s

cos 2x

(1 + sin 2x)

2

+ 3

,

f (x) = e

sin

3

x

2

, f (x) = arcsin



1

2x



, f (x) =

3

√

x

4

+ 12 · ln(e

sin x

+ 1) · tg x, f (x) = x

ln x

,

f (x) = log

(x

2

+1)

cos x.

4. Obliczyć, jeśli istnieje, f

00

(0) dla f (x) =







x

k

· sin



1

x



, x 6= 0

0

, x = 0

, k = 3, 4 .

5. Wyprowadzić wzór na n – tą pochodną, n ∈ N, funkcji: f (x) = sin x, f (x) = x · e

x

.

6. Obliczyć granice funkcji

(a) lim

x→0

+

x · ln x

(b) lim

x→2

+

(x − 2)

2

x + 1

· ln(x − 2)

(c) lim

x→0

+



3

x

+ 5

x

2



1/x

(d) lim

x→3



3x + 1

2x + 4



2/(3−x)

(e)

lim

x→+∞

(π − 2arctg x) · ln x

(f) lim

x→0

(2 + x)

x

− x · ln 2 − 1

x

2

(g) lim

x→0

(tg x)

x

2

−x

7. Wykazać, że jeżeli w pewnym przedziale (a ; b) funkcja f ma własność f

0

(x) = f (x), to

istnieje stała A ∈ R taka, że f (x) = A · e

x

dla każdego x ∈ (a ; b). (wsk.rozważyć funkcję

g(x) = f (x) · e

−x

).

8. Wykazać, że arctg x + arctg (1/x) =

π

2

dla każdego x > 0.

9. Wykazać prawdziwość nierówności

(a) x −

x

2

2

< ln(1 + x) < x , dla x > 0

(b) 2x · arctg x ­ ln (x

2

+ 1) , dla x ­ 0

10. Wyznaczyć ekstrema funkcji

(a) f (x) = e

x

· sin x;

(b) f (x) = x

3

· e

−x

2

.

11. Napisać wzór Taylora dla funkcji f (x) =

1

x

, x

0

= −1 i n = 5.

12. Napisać wzór Maclaurina dla funkcji f (x) =

√

1 + x i n = 4. Na tej podstawie podać

przybliżenie funkcji

√

1 + x wielomianem trzeciego stopnia.

13. Napisać wzór Maclaurina dla funkcji f (x) = x · ln(2 + x) i n = 4.

14. Napisać wzór Maclaurina dla dowolnego n dla funkcji

(a) f (x) = x · e

x

(b) f (x) = ln(x + a) , a > 0