1
Wykład dziewiąty
Niech X oznacza przedział w R;
Przez
C
n
(X)
oznaczamy zbiór wszystkich funkcji, które mają ciągłe pochodne do n – tego
rzędu włącznie na przedziale X.
Jeżeli funkcja f ∈ C
n
(X), to mówimy, że f
jest klasy C
n
na zbiorze X.
Tw 1. (o całkowaniu przez podstawienie t = h(x)). (X
h
→ T
g
→ R). Jeżeli
1. funkcja h jest klasy C
1
na przedziale X i T = h(X);
2. funkcja g posiada funkcję pierwotną G na przedziale T
to prawdziwa jest równość
Z
g(h(x))h
0
(x)dx =
Z
g(t)dt = G(h(x)) + C , C ∈ R.
Uwaga 1. Prawdziwe są wzory:
Z
dx
√
x
2
+ K
= ln |x +
√
x
2
+ K| + C
Z
√
x
2
+ Kdx =
K
2
ln |x +
√
x
2
+ K| +
x
2
√
x
2
+ K + C
Z
dx
√
a
2
− x
2
= arcsin
x
a
+ C
Z
√
a
2
− x
2
dx =
a
2
2
arcsin xa +
x
2
√
a
2
− x
2
+ C
Całkowanie funkcji wymiernych
Całkowanie funkcji wymiernych właściwych (st L< st M) polega na rozkładzie takiej funkcji
na ułamki proste i całkowaniu każdego składnika rozkładu.
Ułamki proste
pierwszego rodzaju
:
A
(x − a)
n
, a, A ∈ R;
Ułamki proste
drugiego rodzaju
:
Ax + B
(x
2
+ px + q)
n
, A, B, p, q ∈ R, n ∈ N i wielomian x
2
+px+q
jest nierozkładalny.
Całkowanie ułamków pierwszego rodzaju
Z
A
(x − a)
n
dx =
A
(1 − n)
·
1
(x − a)
n−1
+ C
, n 6= 1
A · ln |x − a| + C
, n = 1
2
Całkowanie ułamków drugiego rodzaju
1. Jeśli w liczniku A = 0 , to po sprowadzeniu funkcji kwadratowej x
2
+ px + q do postaci
kanonicznej i odpowiednim podstawieniu otrzymujemy całkę
Z
dx
(x
2
+ 1)
n
.
Jeśli n 2, to dodatkowo korzysta się ze wzoru rekurencyjnego:
Z
dx
(x
2
+ 1)
n
=
1
2(n − 1)
x
(x
2
+ 1)
n−1
+
2n − 3
2n − 2
Z
dx
(x
2
+ 1)
n−1
2. Jeśli licznik Ax+B jest pochodną wielomianu x
2
+px+q, to podstawienie t = x
2
+px+q
sprowadza całkowanie takiego ułamka do obliczenia całki z ułamka pierwszego rodzaju.
3. Jeśli A 6= 0 i Ax + B 6= 2x + p, to korzystając z rozkładu Ax + B = A
1
(2x + p) + B
1
sprowadzamy obliczenie całki do przypadków omówionych powyżej.
Tw 2. (o całkowaniu przez podstawienie x = φ(t)) (T
φ
→ X
f
→ R) Jeżeli
1. funkcja φ jest różnowartościowa i klasy C
1
na przedziale T i X = φ(T );
2. funkcja f posiada funkcję pierwotną na przedziale X
to prawdziwa jest równość
Z
f (x)dx =
Z
f (φ(t)) · φ
0
(t)dt = F (φ
−1
(x)) + C ,
gdzie F oznacza funkcję pierwotną funkcji podcałkowej w całce po prawej stronie.
Całka oznaczona
Zał. f jest funkcją ograniczoną na przedziale ha; bi.
Niech n – ustalona liczba naturalna.
Dzielimy przedział ha; bi na n części punktami:
a = x
0
< x
1
< x
2
< . . . < x
n−1
< x
n
= b.
Oznaczmy:
∆x
k
= x
k
− x
k−1
, k = 1, . . . , n oraz δ
n
df
= max ∆x
k
.
W ten sposób tworzymy ciąg podziałów (∆
n
) przedziału ha; bi.
Def. 1. Ciąg podziałów (∆
n
) przedziału ha; bi jest
normalny
, jeżeli lim
n→+∞
δ
n
= 0.
3
Niech (∆
n
) – ustalony normalny ciąg podziałów przedziału ha; bi.
Przy ustalonym ∆
n
w każdym podprzedziale wybieramy dowolnie punkt t
k
∈ hx
k−1
; x
k
i i
tworzymy sumę
S
n
=
n
X
k=1
f (t
k
) · ∆x
k
(jeśli f 0 i f – jest ciągła, to S
n
jest liczbowo równa sumie pól prostokątów, wypełniających
obszar między wykresem funkcji f , osią OX i odcinkami prostych x = a , x = b).
a
b
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
t
6
y = f
HxL
-2
-1
1
2
X
10
20
30
Y
Def. 2. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów (∆
n
) przedziału ha; bi ciąg (S
n
) jest
zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów t
k
, to wartość tej
granicy nazywamy
całką oznaczoną (R-całką, całką Riemanna) funkcji f na przedziale ha; bi
i oznaczamy
b
Z
a
f (x)dx
funkcję f nazywamy
całkowalną w sensie Riemanna
lub
R-całkowalną
.
a –
dolna granica całkowania
,
b –
górna granica całkowania
.
Tw 3. (WK R –całkowalności) Jeżeli funkcja f jest R –całkowalna na przedziale ha; bi, to
jest ograniczona na tym przedziale.
Tw 4. (WW R – całkowalności) Jeżeli funkcja f jest ograniczona w ha; bi i ma w tym
przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości, to jest R – całkowalna w ha; bi.
Własności całki Riemanna (R – całki)
1. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi i A ∈ R, to funkcje |f | i A · f są R – całkowalne i
b
Z
a
A · f (x)dx = A ·
b
Z
a
f (x)dx
4
2. Jeżeli funkcje f i g są R – całkowalne na ha; bi, to funkcja f + g jest R – całkowalna
na ha; bi i
b
Z
a
(f (x) + g(x))dx =
b
Z
a
f (x)dx +
b
Z
a
g(x)dx
3. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi, to dla każdego c ∈ (a; b) funkcja f jest R –
całkowalna w przedziałach ha; ci i hc; bi i prawdziwa jest równość
b
Z
a
f (x)dx =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx.
Rozszerzenie pojęcia R – całki
Jeśli a = b, to
b
Z
a
f (x)dx
df
= 0
Jeśli a > b, to
b
Z
a
f (x)dx
df
= −
a
Z
b
f (x)dx
Tw 5. (II twierdzenie główne rachunku całkowego) Jeżeli funkcja f jest ciągła w
przedziale o końcach a i b i F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f w tym przedziale, to
b
Z
a
f (x)dx = F (b) − F (a)
ozn
= [F (x)]
b
a