1

Wykład dziewiąty

Niech X oznacza przedział w R;
Przez

C

n

(X)

oznaczamy zbiór wszystkich funkcji, które mają ciągłe pochodne do n – tego

rzędu włącznie na przedziale X.
Jeżeli funkcja f ∈ C

n

(X), to mówimy, że f

jest klasy C

n

na zbiorze X.

Tw 1. (o całkowaniu przez podstawienie t = h(x)). (X

h

→ T

g

→ R). Jeżeli

1. funkcja h jest klasy C

1

na przedziale X i T = h(X);

2. funkcja g posiada funkcję pierwotną G na przedziale T

to prawdziwa jest równość

Z

g(h(x))h

0

(x)dx =

Z

g(t)dt = G(h(x)) + C , C ∈ R.

Uwaga 1. Prawdziwe są wzory:

Z

dx

√

x

2

+ K

= ln |x +

√

x

2

+ K| + C

Z

√

x

2

+ Kdx =

K

2

ln |x +

√

x

2

+ K| +

x

2

√

x

2

+ K + C

Z

dx

√

a

2

− x

2

= arcsin

x

a

+ C

Z

√

a

2

− x

2

dx =

a

2

2

arcsin xa +

x

2

√

a

2

− x

2

+ C

Całkowanie funkcji wymiernych

Całkowanie funkcji wymiernych właściwych (st L< st M) polega na rozkładzie takiej funkcji
na ułamki proste i całkowaniu każdego składnika rozkładu.

Ułamki proste

pierwszego rodzaju

:

A

(x − a)

n

, a, A ∈ R;

Ułamki proste

drugiego rodzaju

:

Ax + B

(x

2

+ px + q)

n

, A, B, p, q ∈ R, n ∈ N i wielomian x

2

+px+q

jest nierozkładalny.

Całkowanie ułamków pierwszego rodzaju

Z

A

(x − a)

n

dx =











A

(1 − n)

·

1

(x − a)

n−1

+ C

, n 6= 1

A · ln |x − a| + C

, n = 1

2

Całkowanie ułamków drugiego rodzaju

1. Jeśli w liczniku A = 0 , to po sprowadzeniu funkcji kwadratowej x

2

+ px + q do postaci

kanonicznej i odpowiednim podstawieniu otrzymujemy całkę

Z

dx

(x

2

+ 1)

n

.

Jeśli n ­ 2, to dodatkowo korzysta się ze wzoru rekurencyjnego:

Z

dx

(x

2

+ 1)

n

=

1

2(n − 1)

x

(x

2

+ 1)

n−1

+

2n − 3

2n − 2

Z

dx

(x

2

+ 1)

n−1

2. Jeśli licznik Ax+B jest pochodną wielomianu x

2

+px+q, to podstawienie t = x

2

+px+q

sprowadza całkowanie takiego ułamka do obliczenia całki z ułamka pierwszego rodzaju.

3. Jeśli A 6= 0 i Ax + B 6= 2x + p, to korzystając z rozkładu Ax + B = A

1

(2x + p) + B

1

sprowadzamy obliczenie całki do przypadków omówionych powyżej.

Tw 2. (o całkowaniu przez podstawienie x = φ(t)) (T

φ

→ X

f

→ R) Jeżeli

1. funkcja φ jest różnowartościowa i klasy C

1

na przedziale T i X = φ(T );

2. funkcja f posiada funkcję pierwotną na przedziale X

to prawdziwa jest równość

Z

f (x)dx =

Z

f (φ(t)) · φ

0

(t)dt = F (φ

−1

(x)) + C ,

gdzie F oznacza funkcję pierwotną funkcji podcałkowej w całce po prawej stronie.

Całka oznaczona

Zał. f jest funkcją ograniczoną na przedziale ha; bi.
Niech n – ustalona liczba naturalna.
Dzielimy przedział ha; bi na n części punktami:

a = x

0

< x

1

< x

2

< . . . < x

n−1

< x

n

= b.

Oznaczmy:

∆x

k

= x

k

− x

k−1

, k = 1, . . . , n oraz δ

n

df

= max ∆x

k

.

W ten sposób tworzymy ciąg podziałów (∆

n

) przedziału ha; bi.

Def. 1. Ciąg podziałów (∆

n

) przedziału ha; bi jest

normalny

, jeżeli lim

n→+∞

δ

n

= 0.

3

Niech (∆

n

) – ustalony normalny ciąg podziałów przedziału ha; bi.

Przy ustalonym ∆

n

w każdym podprzedziale wybieramy dowolnie punkt t

k

∈ hx

k−1

; x

k

i i

tworzymy sumę

S

n

=

n

X

k=1

f (t

k

) · ∆x

k

(jeśli f ­ 0 i f – jest ciągła, to S

n

jest liczbowo równa sumie pól prostokątów, wypełniających

obszar między wykresem funkcji f , osią OX i odcinkami prostych x = a , x = b).

a

b

t

1

t

2

t

3

t

4

t

5

t

6

y = f

HxL

-2

-1

1

2

X

10

20

30

Y

Def. 2. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów (∆

n

) przedziału ha; bi ciąg (S

n

) jest

zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów t

k

, to wartość tej

granicy nazywamy

całką oznaczoną (R-całką, całką Riemanna) funkcji f na przedziale ha; bi

i oznaczamy

b

Z

a

f (x)dx

funkcję f nazywamy

całkowalną w sensie Riemanna

lub

R-całkowalną

.

a –

dolna granica całkowania

,

b –

górna granica całkowania

.

Tw 3. (WK R –całkowalności) Jeżeli funkcja f jest R –całkowalna na przedziale ha; bi, to
jest ograniczona na tym przedziale.

Tw 4. (WW R – całkowalności) Jeżeli funkcja f jest ograniczona w ha; bi i ma w tym
przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości, to jest R – całkowalna w ha; bi.

Własności całki Riemanna (R – całki)

1. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi i A ∈ R, to funkcje |f | i A · f są R – całkowalne i

b

Z

a

A · f (x)dx = A ·

b

Z

a

f (x)dx

4

2. Jeżeli funkcje f i g są R – całkowalne na ha; bi, to funkcja f + g jest R – całkowalna

na ha; bi i

b

Z

a

(f (x) + g(x))dx =

b

Z

a

f (x)dx +

b

Z

a

g(x)dx

3. Jeżeli f jest R –całkowalna na ha; bi, to dla każdego c ∈ (a; b) funkcja f jest R –

całkowalna w przedziałach ha; ci i hc; bi i prawdziwa jest równość

b

Z

a

f (x)dx =

c

Z

a

f (x)dx +

b

Z

c

f (x)dx.

Rozszerzenie pojęcia R – całki

Jeśli a = b, to

b

Z

a

f (x)dx

df

= 0

Jeśli a > b, to

b

Z

a

f (x)dx

df

= −

a

Z

b

f (x)dx

Tw 5. (II twierdzenie główne rachunku całkowego) Jeżeli funkcja f jest ciągła w
przedziale o końcach a i b i F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f w tym przedziale, to

b

Z

a

f (x)dx = F (b) − F (a)

ozn

= [F (x)]

b
a