AL1 (Inżynieria Biomedyczna)

Z

4

1. Rozwiązać układ równań jednorodnych. W przykładach (a) i (b) podać układ fundamen-

talny rozwiązań.

(a)































x

+ 2y + 3z

+

w

= 0

x

+ 4y + 5z

+ 2w = 0

2x + 9y + 8z

+ 3w = 0

x

− 2y −

z

−

w

= 0

5x + 7y + 9z

+ 2w = 0

(b)











3x

+ 4y − 5z

+ 7w = 0

2x

− 3y + 3z − 2w = 0

−2x + 3y − 3z − 8w = 0

(c)



















x

+

y

− 3z = 0

2x +

y

− 2z = 0

x

+

y

+

z

= 0

x

+ 2y − 3z = 0

2. Wyznaczyć, jeśli istnieje, rozwiązanie układu równań

(a)











3x − 2y + 5z + 4w = 2
6x − 4y + 4z + 3w = 3
3x − 2y −

z

= 1

(b)











x

+ 3y

−

w

= 1

3x − 5y + 2z

+ 4w = 2

5x + 7y − 4z − 6w = 1

(c)



















5x − 3y + 2z

+

4w

= 3

4x − 2y + 3z

+

7w

= 1

8x − 6y −

z

−

5w

= 9

7x − 3y + 7z

+ 17z = 0

(d)



















2x − y + 3z = 3
5x

− 2z = 0

4x − y +

z

= 3

7x − y +

z

= 3

3. Wykazać, że

(a) arcsin x + arccos x =

π

2

dla każdego x ∈ h−1 ; 1i;

(b) arctg x + arcctg x =

π

2

dla każdego x ∈ R.

Podać interpretację geometryczną tych równości.

4. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji

(a) f (x) = sin x , x ∈ hπ/2 ; πi;

(b) f (x) = cos 2x , x ∈ hπ/2 ; πi.

5. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji hiperbolicznej

(a) sh x , x ∈ R;

(b) ch x , x ∈ (−∞ ; 0i.

6. Dowieść prawdziwości równości

(a) ch

2

x − sh

2

x = 1;

(b) ch

2

x + sh

2

x = ch 2x;

(c) sh 2x = 2sh xch x;

(d)

1

ch

2

x

= 1 − th

2

x.