WYKŁAD 2

Wielomiany

Definicja 1. Funkcję f : C → C określoną wzorem

w(x)

df

= a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ · · · + a

1

x + a

0

, gdzie a

0

, . . . , a

n

6= 0 ∈ K

nazywamy

wielomianem stopnia n

, n ∈ N ∪ {0}, o

współczynnikach ze zbioru K (K = R lub K = C).

n -

stopień wielomianu

- oznaczamy przez st(w).

R[x], C[x]

ozn

= zbiór wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, odp.zespolonych.

Definicja 2. Wielomian w(x) jest

nierozkładalny

, jeśli nie da się przedstawić w postaci:

w(x) = w

1

(x) · w

2

(x), gdzie st(w

1

), st(w

2

) > 0.

Uwaga 1. Wielomianami nierozkładalnymi w R[x] sa wielomiany stopnia pierwszego i te wie-
lomiany stopnia drugiego, dla których ∆ < 0.

Definicja 3.

Pierwiastek

wielomianu w(x) jest to taka liczba zespolona x

o

, że w(x

o

) = 0.

Twierdzenie 1. (Bezou’a) Liczba zespolona z

o

jest pierwiastkiem wielomianu w(x) ⇔ wielo-

mian w(x) jest podzielny przez (x − z

o

)

(tzn. w(x) = (x − z

o

) · w

1

(x), gdzie st(w

1

) = st(w) − 1).

Twierdzenie 2. (Zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomian stopnia n, n ­ 1, o
współczynnikach zespolonych, ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.

Wniosek 1. Każdy wielomian stopnia n, n ­ 1, o współczynnikach zespolonych ma dokładnie
n pierwiastków (niekoniecznie różnych).

Wniosek 2. Jeśli w(x) = a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ · · · + a

1

x + a

0

i x

1

, x

2

, . . . , x

n

są pierwiastkami tego

wielomianu, to

w(x) = a

n

(x − x

1

) · (x − x

2

) · . . . · (x − x

n

)

Wniosek 3. Wielomianami nierozkładalnymi w C[x] są tylko wielomiany pierwszego stopnia.

Macierze

Definicja 4.

Macierz

(liczbowa) wymiaru ”m na n” jest to tablica prostokątna postaci

A =








a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

. . .

. . .

. . .

. . .

a

m1

a

m2

. . . a

mn








df

=[a

ij

]

m,n

gdzie wszystkie a

ij

∈ K , (K = R lub K = C);

wiersze macierzy

- rzędy poziome,

kolumny macierzy

- rzędy pionowe .

1

• macierz zerowa

Macierz A = [a

ij

]

m,n

jest

zerowa

, jeśli a

ij

= 0 dla wszystkich i,j.

• macierz kwadratowa

Macierz A = [a

ij

]

m,n

jest

kwadratowa

, jeśli m = n. Wspólny wymiar nazywamy

stopniem

tej macierzy.

• macierz jednostkowa

Macierz kwadratowa E

n

= [e

ij

]

n

jest

jednostkowa

, jeśli e

ij

= 1 gdy i = j oraz e

ij

= 0 gdy

i 6= j.

Definicja 5. Macierze A = [a

ij

]

m,n

i B = [b

ij

]

k,l

są

równe

, jeśli m = k, n = l oraz a

ij

= b

ij

dla

wszystkich i, j.

Działania na macierzach

• mnożenie przez liczby rzeczywiste

α · A = α · [a

ij

]

m,n

df

=[α · a

ij

]

m,n

;

• dodawanie macierzy

jeśli A = [a

ij

]

m,n

i B = [b

ij

]

m,n

, to

A + B

df

=[a

ij

+ b

ij

]

m,n

;

• mnożenie macierzy

jeśli A = [a

ij

]

m,n

i B = [b

ij

]

n,r

to A · B

df

=[c

ij

]

m,r

, gdzie

c

ij

df

= a

i1

b

1j

+ a

i2

b

2j

+ · · · + a

in

b

nj

Własności działań

1. A + B = B + A

2. (A + B) + C = A + (B + C)

3. A · (B + C) = A · B + A · C

4. A · E

n

= E

n

· A = A, jeśli A jest m. kwadratową stopnia n

5. (A · B) · C = A · (B · C)

Przy założeniu, ze odpowiednie działania są wykonalne.

2

Macierz transponowana

Definicja 6.

Macierzą transponowaną

macierzy A = [a

ij

]

m,n

jest macierz

A

T

= [a

∗
ij

]

n,m

, gdzie a

∗
ij

df

= a

ji

.

Uwaga 2.

1. (A

T

)

T

= A

2. (A + B)

T

= A

T

+ B

T

3. (A · B)

T

= B

T

· A

T

Wyznaczniki

Wyznacznikiem

macierzy kwadratowej stopnia n

A =








a

11

a

12

. . . a

1n

a

21

a

22

. . . a

2n

. . .

. . .

. . .

. . .

a

n1

a

n2

. . . a

nn








jest liczba rzeczywista oznaczana

przez:

det A , |A| lub











a

11

a

12

. . . a

1n

a

21

a

22

. . . a

2n

. . .

. . .

. . .

. . .

a

n1

a

n2

. . . a

nn











.

Dla n = 1 i A = [a

11

] : det A

df

= a

11

;

dla n = 2 i A =

"

a

11

a

12

a

21

a

22

#

: det A

df

= a

11

a

22

− a

12

a

21

;

dla n = 3 i A =






a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33






:

det A

df

= a

11

a

22

a

33

+ a

21

a

32

a

13

+ a

31

a

12

a

23

− a

13

a

22

a

31

− a

23

a

32

a

11

− a

33

a

12

a

21

.

Własności wyznaczników (sformułowane dla wierszy)

• przestawienie dwóch wierszy powoduje zmianę znaku wyznacznika;

• jeżeli w wyznaczniku występuje wiersz zerowy, to wyznacznik jest równy 0;

• jeżeli dwa wiersze są proporcjonalne, to wyznacznik jest równy 0;

• jeżeli wszystkie elementy danego wiersza zawierają wspólny czynnik, to ten czynnik można

wyłączyć przed wyznacznik;

3

• jeżeli do wiersza dodamy kombinację liniową innych wierszy, to wartość wyznacznika nie

zmieni się;

• jeżeli wszystkie elementy pod główną przekątną są równe 0, to wartość wyznacznika jest

równa iloczynowi elementów na głównej przekątnej.

Definicja 7.

Dopełnieniem algebraicznym

elementu a

ij

, gdzie 1 ¬ i ¬ n i 1 ¬ j ¬ n nazywamy

wartość

A

ij

df

=(−1)

i+j

· M

ij

,

gdzie M

ij

oznacza wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z A przez skreślenie i – tego

wiersza i j – tej kolumny.

Twierdzenie 3. Dla każdego n ­ 2 i dowolnych 1 ¬ i ¬ n oraz 1 ¬ j ¬ n prawdziwe są wzory:

det A = a

i1

A

i1

+ a

i2

A

i2

+ · · · + a

in

A

in

,

det A = a

1j

A

1j

+ a

2j

A

2j

+ · · · + a

nj

A

nj

.

4