01.

PODSTAWOWE

POJĘCIA

I

ROZKŁADY

STATYSTYCZNE

1 P

ODSTAWOWE POJĘCIA

Celem STATYSTYKI jest opisywanie w matematyczny sposób wyników

obserwacji/doświadczenia/eksperymentu będącego doświadczeniem losowym.

Cecha statystyczna – właściwość populacji, która jest przedmiotem badania

statystycznego.

Populacja generalna – zbiorowość statystyczna, zbiór wszystkich elementów

podlegających obserwacji pod względem pewnej wybranej cechy, np. średnica

wewnętrzna wszystkich tulei wyprodukowanych w ciągu jednej zmiany.

Próba statystyczna – zbiór elementów wylosowanych z populacji generalnej. Oczekuje

się, że pobrana próba będzie reprezentatywna względem populacji generalnej. Oznacza

to, że wyliczone na podstawie próby statystyki (np. średnia, odchylenie standardowe,

wariancja), rozkłady prawdopodobieństwa lub zależności pomiędzy badanymi cechami,

nie będą się istotnie różnić od tych wielkości w populacji generalnej. W tym celu

konieczne jest:

♦ właściwe dobranie do próby elementów z populacji generalnej. Najczęściej

poprzez losowanie ze zwracaniem, czyli każdy element ma taką samą szansę na

dostanie się do próby;

♦ pobranie do próby odpowiednio dużej liczby elementów (liczność próby). Im

większa próba, tym wynik jest bardziej wiarygodny, ale również rosną koszty

takiego badania.

Zdarzenie elementarne – dowolny możliwy wynik doświadczenia/obserwacji, np. rzut

kostką ma 6 zdarzeń elementarnych.

Zmienna losowa (X) – funkcja przyporządkowująca zdarzeniom elementarnym liczby

rzeczywiste:

♦ ciągła – może przybierać dowolną wartość, np. ciężar, grubość blachy;

♦ dyskretna – skokowa, może przybierać tylko niektóre wartości liczbowe,

najczęściej liczby naturalne, np. liczba wadliwych detali w serii, liczba ‘oczek’ na

kostce, wypadnięcie orła lub reszki w rzucie monetą.

Realizacja zmiennej losowej (x) – zaobserwowana wartość zmiennej losowej.

populacja

próbka

cecha

zdarzenie el.

zmienna losowa

realizacja

seria tulei

30 szt.

średn. wew.

odczytana wart. wartość średnicy

24,5

mm

Rozkład prawdopodobieństwa:

♦ zmiennej losowej dyskretnej – zestawienie możliwych wartości zmiennej losowej z

ich prawdopodobieństwami;

(

)

∑

∞

=

=

i

i

x

X

P

1

♦ zmiennej losowej ciągłej – gęstość rozkładu prawdopodobieństwa;

( )

∫

∞

∞

−

= 1

dx

x

f

;

Dystrybuanta

♦ określa prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmuje wartości ≤ x –

( )

(

)

x

X

P

x

F

≤

=

;

♦ jeżeli zmienne losowe mają takie same dystrybuanty, to znaczy, że mają taki sam

rozkład – dystrybuanta w pełni charakteryzuje rozkład prawdopodobieństwa;

♦ przyjmuje wartości z przedziału

( )

[ ]

1

,

0

∈

x

F

i jest niemalejąca;

♦ prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmuje wartości należące do

przedziału [a,b], jest równe przyrostowi dystrybuanty na tym przedziale -

(

)

( )

( )

a

F

b

F

b

X

a

P

−

=

≤

≤

;

♦ dla ciągłej zmiennej losowej, dystrybuanta też jest ciągła, dla dyskretnej –

dyskretna:

Wartość oczekiwana/przeciętna/średnia/nadzieja matematyczna

EX

– spodziewany

wynik doświadczenia losowego. Charakteryzuje miejsce skupienia rozkładu.

Odchylenie standardowe

DX

– miara zmienności, podstawowa miara charakteryzująca

rozproszenie wartości zmiennej losowej wokół jej średniej

[=ODCH.STANDARDOWE(dane)]

Wariancja

D

2

X

– miara zmienności, kwadrat odchylenia standardowego, średnia

arytmetyczna kwadratów różnic miedzy poszczególnymi wartościami cechy a wartością

oczekiwaną.

[=WARIANCJA(dane)]

Oznaczenia głównych statystyk

statystyka

populacja

generalna

próba

rozkład normalny

średnia

EX

x

m

odch.stdt

DX

s

σ

wariancja

D

2

X

s

2

σ

2

liczność próby

---

n

---

2 R

OZKŁADY CIĄGŁE

2.1

R

OZKŁAD NORMALNY

/G

AUSSA

/

NATURALNY

/

KRZYWA DZWONOWA

[=ROZKŁAD.NORMALNY(dane)]

EX =

m

D

2

X =

σ

2

Zmiana położenia rozkładu normalnego

w zależności od wartości oczekiwanej

Kształt rozkładu normalnego w zależności

od wartości odchylenia standardowego

Zapis skrócony: N(m, σ)

Standardowy rozkład normalny: N(0, 1)

Charakterystyka:

♦ jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa, gdyż często opisuje

zjawiska w przyrodzie, technice, medycynie, ekonomii, socjologii itd.;

♦ Centralne Twierdzenie Graniczne mówi, że jeżeli badana cecha wynika z wielu

różnych czynników, to cecha ta ma rozkład zbliżony do normalnego, bez względu

na rozkłady każdego z tych czynników z osobna;

♦ łatwy matematycznie;

♦ wiele zjawisk, które nie podlegają rozkładowi normalnemu, po odpowiedniej

transformacji /np. zlogarytmowanie zmiennej losowej/ mogą być opisane

rozkładem normalnym;

♦ jest modelem losowych błędów pomiarów i losowych zakłóceń przesyłanych

sygnałów;

♦ około 68% wszystkich wartości zmiennej losowej znajduje się pod wykresem

gęstości rozkładu normalnego w odległości jednego odchylenia standardowego od

średniej, następnie 95,5% w odległości 2σ i 99,7% w odległości 3σ /patrz rysunek

poniżej/

σ

2σ

3σ

6σ

6σ

3σ

2σ

σ

m

2.2.

R

OZKŁAD

χ

2

Jeżeli niezależne zmienne losowe X

1

, X

2

, …, X

n

mają rozkład normalny N(0,1), to zmienna

losowa

∑

=

=

n

i

i

X

1

2

2

χ

ma rozkład zwany rozkładem

χ

2

o

ν

= n – 1 stopniach swobody

/liczba niezależnych składników zmiennej losowej

χ

2

/. Alternatywną definicją zmiennej

losowej

χ

2

jest

2

2

2

σ

χ

nS

=

.

EX =

ν

D

2

X = 2

ν

Charakterystyka:

♦ wraz ze wzrostem liczby stopni swobody /liczności próby/ zbliża się do rozkładu

normalnego,

♦ jest stosowany w estymacji przedziałowej /gdy badana cecha w populacji

generalnej

ma

rozkład

normalny/,

w

testach

parametrycznych

i

nieparametrycznych dla małych prób.

2.3.

R

OZKŁAD T

-S

TUDENTA

Jeżeli niezależne zmienne losowe X

1

, X

2

, …, X

n

mają rozkład normalny N(m, σ), to

zmienna losowa

ν

S

m

X

t

−

=

ma rozkład zwany rozkładem t-Studenta.

Jedynym

parametrem

tego

rozkładu

jest

liczba

stopni

swobody

ν

i oblicza się ją

ν

= n – 1.

EX =

0

D

2

X =

2

−

ν

ν

Charakterystyka:

♦ jest symetryczny;

♦ jest bardziej spłaszczony, niż rozkład normalny, ale dla dużych wartości

ν

zmierza

do N(0, 1);

♦ jest stosowany w estymacji przedziałowej /gdy badana cecha w populacji

generalnej ma rozkład normalny/, w testach parametrycznych dla małych prób.