8.3. Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Definicje

•

Równanie postaci

)

(

)

(

'

x

g

y

x

p

y

=

+

(krótko L) nazywamy równaniem

różniczkowym zwyczajnym liniowym rzędu pierwszego .

•

Jeśli

0

)

(

≠

x

g

, to równanie (L) nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym i

dla wygody oznaczamy symbolem RLN .

•

Jeśli

0

)

(

=

x

g

, to równanie ( L ) nazywamy równaniem

liniowym jednorodnym

(krótko RLJ).

Twierdzenie

Każde równanie (L) różniczkowe zwyczajne liniowe rzędu pierwszego ma rozwiązanie.

Rozwiązanie to otrzymujemy w następujący sposób:

1

0

Rozwiązujemy równanie RLJ:

0

)

(

'

=

+

y

x

p

y

.

Jest to równanie o rozdzielonych zmiennych:

y

x

p

dx

dy

)

(

−

=

.

Po rozdzieleniu zmiennych mamy:

dx

x

p

y

dy

)

(

−

=

∫

−

=

,

)

(

ln

dx

x

p

y

skąd otrzymujemy

∫

=

−

dx

x

p

ce

y

)

(

.

Jest to całka ogólna równania jednorodnego, co symbolicznie zapisujemy CORJ.

2

0

Uzmienniamy stałą c w CORJ , czyli przyjmujemy, że c = c(x) i żądamy, by funkcja

∫

=

−

dx

x

p

e

x

c

y

)

(

)

(

była całką ogólną równania liniowego (L).

W celu wyznaczenia c(x) wystarczy:

-

obliczyć

))

(

(

)

(

)

(

)

(

x

p

e

x

c

e

dx

dc

dx

dy

dx

x

p

dx

x

p

−

∫

+

∫

=

−

−

,

-

podstawić do równania RLN,

-

po redukcji otrzymamy:

∫

∫

=

.

)

(

)

(

)

(

dx

e

x

g

x

c

dx

x

p

+ c

1

.

3

0

Podstawiamy

∫

∫

=

.

)

(

)

(

)

(

dx

e

x

g

x

c

dx

x

p

+ c

1

w miejsce c w CORJ.

4

0

Otrzymujemy całkę ogólną równania liniowego (L):

∫

−

=

dx

x

p

e

x

c

y

)

(

)

(

=

∫

∫

.

)

(

[

)

(

dx

e

x

g

dx

x

p

+ c

1

]

∫

−

dx

x

p

e

)

(

.

Opisane postępowanie nosi nazwę

metody uzmienniania stałej.

Przykład 1.

Rozwiąż równanie

x

x

y

y

=

−

3

'

.

Rozwiązanie tego równania konstruujemy zgodnie z twierdzeniem.

1

0

Piszemy równanie RLJ :

x

y

y

3

'

=

, czyli dla

x

dx

y

dy

y

3

,

0

=

≠

.

Całkujemy to równanie i otrzymujemy,

c

x

y

ln

ln

3

ln

+

=

, skąd wykorzystując własności logarytmów dostajemy:

R

C

gdzie

Cx

y

∈

=

,

3

.

2

0

Uzmienniamy stałą C zakładając, że funkcja

3

)

(

x

x

C

y

=

jest całką równania (L).

Obliczamy pochodną :

2

3

3

)

(

x

x

C

x

dx

dC

dx

dy

+

=

; po podstawieniu tego wyrażenia do wyjściowego równania

otrzymujemy równość :

x

x

x

x

C

x

C

x

x

dx

dC

=

−

+

1

)

(

3

)

(

3

3

2

3

, skąd po redukcji otrzymujemy równanie:

2

1

x

dx

dC

=

.

Całkując je dostajemy C(x) =

∫

+

−

=

1

2

1

1

c

x

dx

x

.

3

0

Podstawiając

∫

+

−

=

1

2

1

1

c

x

dx

x

w miejsce C w równaniu y = C x

3

otrzymamy

CORN

.

)

1

(

3

1

2

3

1

x

c

x

x

c

x

y

+

−

=

+

−

=

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1.

Rozwiąż równania różniczkowe liniowe.

a)

;

2

'

x

xe

y

y

−

=

+

b)

;

7

)

0

(

,

5

4

2

'

−

=

=

+

y

x

y

x

y

c)

x

y

y

sin

'

=

+

; d)

x

x

x

y

y

cos

'

=

−

.

Odpowiedzi

a)

);

1

(

1

2

−

+

+

=

−

−

x

e

ce

y

x

x

b)

;

5

36

5

1

;

5

1

2

2

x

x

e

y

ce

y

−

−

−

=

+

=

c)

)

cos

(sin

2

1

x

x

ce

y

x

−

+

=

−

; d)

.

sin

cx

x

x

y

+

=