Elementy algebry abstrakcyjnej

Grupy

1. Które z nast¦puj¡cych zbiorów stanowi¡ grup¦ wzgl¦dem wskazanego dziaªania:

1) Zbiór liczb caªkowitych, ze wzgl¦du na zwykªe dodawanie,

2) Zbiór liczb caªkowitych, ze wzgl¦du na zwykªe mno»enie,

3) Zbiór caªkowitych wielokrotno±ci liczby naturalnej n, ze zwykªym dodawaniem,

4) Zbiór liczb zespolonych, ró»nych od zera, ze wzgl¦du na mno»enie zespolone,

5) Pierwiastki n-tego stopnia z jedno±ci, wzgl¦dem mno»enia zespolonego,

6) Zbiór macierzy kwadratowych stopnia

n

, o wyrazach rzeczywistych, wraz z

mno»eniem macierzowym,

7) Zbiór macierzy kwadratowych, nieosobliwych, stopnia n, wraz z mno»eniem

macierzowym.

2. W zbiorze liczb caªkowitych okre±lamy dziaªanie

a

◦ b = a + b + 2.

Czy zbiór liczb caªkowitych stanowi grup¦ ze wzgl¦du na to dziaªanie?

3. W zbiorze liczb rzeczywistych nale»¡cych do przedziaªu A = [−1, ∞) okre±lamy

dziaªanie

a

∗ b = ab + a + b.

Sprawdzi¢, czy zbiór A wraz z dziaªaniem ∗ stanowi grup¦ abelow¡.

4. Niech (G

1

,

◦) oraz (G

2

,

) b¦da dwiema grupami. Udowodni¢, »e zbiór par

(g

1

, g

2

) ,

gdzie g

1

∈ G

1

,

g

2

∈ G

2

, tworzy grup¦ wzgl¦dem dziaªania okre±lonego

wzorem:

(g

1

, g

2

)

5 (g

0

1

, g

0

2

) = (g

1

◦ g

0

1

, g

2

 g

0

2

) ,

g

1

, g

0

1

∈ G

1

, g

2

, g

0

2

∈ G

2

.

Grup¦ t¦ nazywamy sum¡ prost¡ grup (G

1

,

◦) oraz (G

2

,

) .

5. Niech G = [0, 2). Okre±lmy w G dziaªanie

a

⊕ b = a + b − 2 [a + b] .

Sprawdzi¢, czy G wraz z dziaªaniem ⊕ stanowi grup¦.

6. Zbada¢, czy zbiór wielomianów R[x] podzielnych przez wielomian x

2

+ 1

stanowi grup¦ ze wzgl¦du na mno»enie.

7.

Wykaza¢, »e zbiór B

n

wszystkich ciagów n-elementowych (a

1

, a

2

, ..., a

n

)

,

których elementami s¡ zera i jedynki jest grup¡ abelow¡ sko«czon¡ wzgl¦dem dzi-

aªania

(a

1

, a

2

, ..., a

n

)

5 (b

1

, b

2

, ..., b

n

) =



a

1

+

2

b

1

, a

2

+

2

b

2

, ..., a

n

+

2

b

n



.

1

Okre±li¢ rz¡d tej grupy.

8. Udowodni¢, »e grupa której ka»dy element speªnia warunek a

2

= e (e

-element neutralny)

jest abelowa.

9. Sprawdzi¢, czy zbiór liczb rzeczywistych z dziaªaniem

x ~ y =

5

√

x +

5

√

y

5

, x, y

∈ R,

stanowi grup¦ abelow¡.

10. Centrum grupy

G

nazywamy zbiór tych elementów

G,

które s¡

przemienne z dowolnym elementem grupy G :

Z(G) =



a

∈ G; ∧

g

∈G

ag = ga



.

Wykaza¢, »e Z (G) jest podgrup¡ grupy G.

11. Wyznaczy¢ centrum grupy macierzy postaci:





1 a b
0 1 c
0 0 1





,

gdzie a, b, c ∈ R.

12. Czy nast¦puj¡ca podgrupa grupy wszystkich izometrii pªaszczyzny jest cyk-

liczna:

a) podgrupa wszystkich przesuni¦¢,

b) podgrupa przesuni¦¢ o ustalony wektor v,

c) podgrupa zªo»ona z to»samo±ci i ustalonej symatrii osiowej,

d) podgrupa obrotów dokoªa ustalonego punktu o k¡t π,

e) podgrupa wszystkich obrotów dokoªa ustalonego punktu?

13.

Udowodni¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n, grupa reszt Z/n jest

cykliczna.

Grupy permutacji

14. Obliczy¢ τσ, τσ

2

, στ σ

−1

, (τ σ)

2

, στ

−1

,

gdzie

σ =

1 2 3 4 5 6 7 8

7 3 1 8 2 4 5 6



,

τ =

1 2 3 4 5 6 7 8

4 8 6 5 2 3 1 7



.

16. Rozªo»y¢ na iloczyn cykli permutacje:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

8 3 1 7 2 9 6 4 5



,

1 2 3 4 5 6 7 8 9

6 8 4 5 2 9 1 7 3



.

2

17. Znale¹¢ permutacj¦ ξ speªniaj¡ca równanie τξσ = ρ, gdzie

σ =

1 2 3 4 5

5 3 1 4 2



,

τ =

1 2 3 4 5

4 5 1 2 3



,

ρ =

1 2 3 4 5

2 4 5 3 1



.

18. Niech

σ =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

8 5 1 9 2 7 6 4 3



, τ =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

6 9 1 4 2 3 7 8 5



.

Obliczy¢ sgn σ, i sgn τ.

19. Dla jakich liczb naturalnych n permutacja



1

2

... n

− 1 n

n n

− 1 ...

2

1



jest parzysta ?

20. Obliczy¢ ilo±¢ inwersji w nast¦puj¡cych ci¡gach:
a)

1, 2, ... , m, n, n

− 1, ... , m + 1

, (m < n) ,

b)

n, n

− 1, ... , m + 1, 1, 2, ... , m

(m < n)

.

Homomorzmy, izomorzmy grup

20. Wskaza¢, które z przeksztaªce« grupy addytywnej liczb caªkowitych na siebie

s¡ homomorzmami:
a) ϕ (n) = 2n,

b) ϕ (n) = 2n + 1,

c) ϕ (n) = n?

W przypadku gdy ϕ jest homomorzmem wyznaczy¢ j¡dro.

21. Wykaza¢, »e grupa macierzy nieosobliwych stopnia n o elementach rzeczy-

wistych odwzorowuje si¦ homomorcznie na grup¦ multiplikatywn¡ liczb rzeczy-

wistych. Co jest j¡drem tego homomoprzmu?

22. Dla jakich grup odwzorowanie a → a

−1

jest automorzmem?

23. Zbada¢, czy grupa multiplikatywna liczb rzeczywistych ró»nych od zera jest

izomorczna z grup¡ addytywn¡ liczb rzeczywistych.

3

24

∗

. Wykaza¢, »e zbiór A = [0, 1) z dziaªaniem

x

⊕ y = x + y − [x + y]

jest grup¡ izomorczn¡ z grup¡ multiplikatywn¡ liczb zespolonych o module równym
jeden.

25

∗

. Wykaza¢, »e grupa addytywna Z/n jest izomorczna z grup¡ multiplikaty-

wn¡ pierwiastków n-tego stopnia z jedno±ci.

26. Wykaza¢, »e zbiór U macierzy postaci

 1 x

0 1



,

gdzie x ∈ R, stanowi podgrup¦ macierzy trójk¡tnych stopnia 2 izomorczn¡ z
multiplikatywn¡ grup¡ R

+

.

27. Wykaza¢, »e zbiór obrotów dowolnego n-k¡ta foremnego dokoªa jego ±rodka

stanowi grup¦ izomorczn¡ z pewn¡ podgrup¡ grupy permutacji parzystych grupy
S

n

.

Dzielnik normalny. Grupy ilorazowe

28 Wykaza¢, »e H jest dzielnikiem normalnym grupy G wtedy i tylko wtedy

gdy dla dowolnego a ∈ G i dowolnego h ∈ H iloczyn a h a

−1

∈ H.

29. Wykaza¢, »e grupa macierzy stopnia n o elementach rzeczywistych i o wyz-

nacznikach równych 1 (tzw. grupa unimodularna) jest dzielnikiem normalnym

w grupie wszystkich macierzy rzeczywistych nieosobliwych stopnia n z mno»eniem

jako dziaªaniem.

30. Dowie±¢, »e zbiór macierzy M macierzy postaci

 a b

0 1



,

gdzie a, b ∈ R, a 6= 0,

jest grup¡ ze wzgl¦du na mno»enie macierzy. Dla jakich warto±ci parametrów a, b,
M

jest dzielnikiem normalnym?

31. Grupa S

3

ma nast¦puj¡ce podgrupy wªa±ciwe:

A

3

:

1 2 3

1 2 3



,

1 2 3

2 3 1



,

1 2 3

1 3 2



;

S

2

:

1 2 3

1 2 3



,

1 2 3

2 1 3



;

S

0

2

:

1 2 3

1 2 3



,

1 2 3

3 2 1



;

S

00

2

:

1 2 3

1 2 3



,

1 2 3

1 3 2



.

4

Które z nich s¡ dzielnikami normalnymi?

32. Wykaza¢, »e je±li A oraz B s¡ dzielnikami normalnymi grupy G i a ∈ A,
b

∈ B, to a b a

−1

b

−1

∈ A ∩ B.

33..Wykaza¢, »e grupa ilorazowa której elementami s¡ póªproste wychodz¡ce z

poczatku ukªadu wspóªrz¦dnych w

R

2

,

jest izomorczna z grup¡ multiplikaty-

wn¡ liczb zespolonych o module równym jedno±ci.

34. Podzielmy grup¦ addytywn¡ wielomianów o wspóªczynnikach rzeczywistych

przez podgrup¦ wielomianów podzielnych przez x

2

− 1.

Wykaza¢, »e otrzymana

grupa ilorazowa jest izomorczna z grup¡ addytywn¡ R

2

.

35. Podzielmy multiplikatywn¡ grup¡ liczb zespolonych, ró»nych od zera, przez

podgrup¦ liczb zespolonych o module równym 1. Wykaza¢, »e ta grupa jest izomor-

czna z multiplikatywn¡ grup¡ liczb rzeczywistych dodatnich.

Pier±cienie i ciaªa

36. Sprawdzi¢, które z nast¦pujacych zbiorów s¡ pier±cieniami (za ka»dym razem

jako dzialania rozpatruje si¦ zwykªe w tym zbiorze dodawanie i mno»enie):

a) zbiór liczb zespolonych postaci bi, gdzie b jest liczba rzeczywist¡,

b zbiór liczb postaci a + b

√

2 + c

√

3,

gdzie a, b, c s¡ liczbami wymiernymi,

c) zbiór liczb postaci a + b

3

√

2 + c

3

√

4,

gdzie a, b, c s¡ liczbami wymiernymi,

d) zbiór macierzy postaci



a

b

2b a



,

gdzie a, b s¡ liczbami wymiernymi,

e) zbiór funkcji rzeczywistych okre±lonych na prostej.

37. W pier±cieniu Z/10 rozwi¡za¢ ukªad równa«

x + y = 3,

x

− y = 1.

38. W Z/12 rozwi¡za¢ równania

a)

x

2

− 7x = 0,

b)

x

3

− 2x

2

+ 3 = 0,

c)

(x

− 1) (x + 1) = 1.

39. Czy zbiór wektorów przestrzeni R

3

wraz z dodawaniwm wektorów i iloczynem

wektorowym stanowi pier±cie«? Czy istniej¡ tu dzielniki zera?

40. Sprawdzi¢, które z nast¦pujacych zbiorów s¡ ciaªami (za ka»dym razem jako

dzialania rozpatruje si¦ zwykªe w tym zbiorze dodawanie i mno»enie):

5

a) wielomiany o wspóªczynnikach caªkowitych,

b) zbiór liczb postaci a + b

3

√

2 + c

3

√

4,

gdzie a, b, c s¡ liczbami wymiernymi?

c) zbiór postaci a + b

3

√

2

, gdzie a, b s¡ liczbami wymiernymi.

41. Udowodni¢,»e zbiór liczb rzeczywistych z dziaªaniami

a

⊕ b = a + b + 1,

a } b = a + b + ab

jest ciaªem. (Nie jest to ciaªo liczbowe.)

Homomorzmy, izomorzmy ciaª i pier±cieni

42. Udowodni¢, odwzorowanie ciaªa liczb zespolonych na siebie dane wzorem h(z) =

_

z

, z ∈ C, jest izomorzmem.

43. Czy ciaªo liczbowe zªo»one z liczb postaci: a + b

√

2,

a, b

∈ Q, jest izomor-

czne z ciaªem liczbowym zªo»onym z liczb postaci: a + b

√

3,

a, b

∈ Q?

44. Udowodni¢, »e ciaªo macierzy postaci



a

b

2b a



,

gdzie a, b ∈ Q, jest izomorczne z ciaªem liczb postaci a + b

√

2,

a, b

∈ Q.

45. Udowodni¢, »e pier±cie« wielomianów jednej zmiennej o wspóªczynnikach rzeczy-

wistych odwzorowuje sie homomorcznie na ciaªo liczb rzeczywistych.

Wielomiany

46. Znale¹¢ sum¦ i iloczyn wielomianów

x

3

+ 2 i x

2

− 1 + i,

i x

2

+ 3 x

2

− (1 + i) x

0

w pier±cieniu C [x] wielomianów nad ciaªem C liczb zespolonych.

47. Na przykªadzie odpowiednio dobranych wielomianów o wspóªczynnikach z pier±-

cienia Z/8 pokaza¢,»e stopie« iloczynu dwu wielomianów mo»e by¢ mniejszy od

sumy stopni czynników.

48. Wykaza¢, »e wielomiany 1 − x oraz 1 − x

3

okre±laj¡ w ciele Z/3 jedn¡

i t¦ sam¡ funkcj¦.

49. Znale¹¢ warto±ci wielomianów

x

5

+ 3x

4

− x

2

+ 1,

3x

5

+ 2x

4

− 2x

2

+ x

− 3,

6

w pier±cieniu Z/6, dla x = 3.

50. Przedstawi¢ wielomian

x

4

+ 3x

3

+ x

2

+ x + 2

z pier±cienia wielomianów nad pier±cieniem Z/4 w postaci iloczynu wielomianów

stopnia pierwszego.

51. Obliczy¢ ilorazy i reszty powstaªe z dzielenia podanych wielomianów w R [x].

a) P (x) = 6x

4

+ 3x

2

− x − 3, Q (x) = x

2

− 1,

b) P (x) = x

3

+ 3x

2

− x − 2, Q (x) = x

2

− 2x + 3.

c) P (x) = 2x

7

+ 3x

4

− x + 1, Q (x) = x

3

+ x

4

+ x + 1.

52. Wyznaczy¢ iloraz i reszt¦ z dzielenia wielomianu f przez g w Z [x] oraz
Z/8 [x] ,

gdy

f (x) = 5x

3

+ 2x

2

− x − 7,

g(x) = x

2

+ 3x

− 1.

53. Znale¹¢ wszystkie pierwiastki caªkowite podanych wielomianów:

a) x

3

− 2x

2

+ 5x + 8,

b) x

4

− 7x

3

+ 4x

2

+ 3,

c) 4x

4

− 4x

3

− 7x

2

− x − 2.

54. Znale¹¢ wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:

a) 24x

3

− 10x

2

− 3x + 1,

b) 4x

4

+ x

2

− 3x + 1.

55. Nie wykonuj¡c dzielenia znale¹¢ reszt¦ z dzielenia wielomianu W przez wielo-

mian U, je»eli

W (x) = x

100

− 2x

51

− 3x

2

+ 1,

U (x) = x

2

− 1.

56. Policzy¢ najwi¦kszy wspólny dzielnik wielomianów

8x

5

− 2x

4

− 2x

3

+ 8x

2

− 7x + 2,

x

4

− 4x + 3 ∈ R [x] .

57. Dane s¡ wielomiany

f (x) = 3 (x

− 1)

4

(x + 1)

3

x

2

+ 1

,

g (x) =

−6 (x − 1)

2

(x + 1)

7

x

2

+ 1

2

x

2

+ 4

.

Znale¹¢ najwi¦kszy wspólny dzielnik i najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±¢ tych wielo-

mianów.

7