7.12.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Niech n rzutach.
Sn
Pr(S5 = 3 S10 = 7) jest równe:
3
(A)
7
5
(B)
12
5
ëÅ‚ öÅ‚ 1
(C) ìÅ‚
ìÅ‚3÷Å‚ Å" 25
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
21
(D)
50
5
ëÅ‚ öÅ‚ 1
ìÅ‚ Å"
ìÅ‚3÷Å‚ 25
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
(E)
10
ëÅ‚ öÅ‚ 1
ìÅ‚ ÷Å‚ Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
3 210
íÅ‚ Å‚Å‚
1
 7.12.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2. X
Å„Å‚
 Å" e-Å"x dla x > 0
f (x) =
òÅ‚
X
0 poza tym
ół
Niech [x x n
n d" x N = [X + 0.5]
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
(C) +
ïÅ‚ 2śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
(D) +
ïÅ‚ śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
(C)
[]+ 2
e0.5Å"
(D)
e -1
1
(E)
e -1
2
 7.12.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3. , , ,
X1 X X
2 n
µ
2
Å„Å‚
ôÅ‚Ã 2 dla i = j
COV(X , X )=
Ã
òÅ‚
i j
dla i `" j
ôÅ‚
ół 2
n n
2 1
2
)
Niech S (c)= c Å" - X , gdzie X = Å" X .
"(X i " i
n
i= i=
1 1
2 2
S (c) Ã c jest równe:
2
(A)
n -1
2
(B)
1
n -1+
n
1
(C)
n
2
(D)
n
1
(E)
n -1
3
 7.12.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4. Zmienne losowe X i Y X
oczekiwanej 0 i wariancji 0.5. Y
2
Pr(Y > X ) wynosi:
1
(A)
2
1
(B)
2Ä„
e
(C)
Ä„
1
(D)
e
2
(E)
2
4
 7.12.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
= Å" + µi ,
Yi a xi i = 1, 2, 3, 4,
gdzie µi
2
à x1, x2 , x3, x4
[0, 3], natomiast a
â (x1, x2 , x3, x4 )
(A) (0, 1, 2, 3)
(B) (0, 0, 3, 3)
(C) (0, 3, 3, 3)
(D) (3, 3, 3, 3)
3 3 3 3
ëÅ‚ öÅ‚
(E) , , ,
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
5
 7.12.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6. , , ,
N1 N2 Nk
kolejnych k Ni
 Å" , gdzie
mi mi
i  nieznanym parametrem.
Ć
 parametru  dany jest wzorem:
k
Ni
Ć
(A)  =
"
mi
i=1
k
"Ni
i=1
Ć
(B)  =
k
"mi
i=1
k
1
Ć
(C)  = Å"
"Ni
k
i=1
k
Å" mi
"Ni
i=1
Ć
(D)  =
k
"mi
i=1
k
Å" mi
"Ni
i=1
Ć
(E)  =
k
6
 7.12.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7. X
1
f¸ (x) = Å" e- x-¸ , x " R ,
2
gdzie ¸
hipotezy
H0 : ¸ = 0 przeciw hipotezie alternatywnej:
H1 : ¸ > 0
Ä… , gdzie Ä… < 0.5 , oparty na pojedynczej obserwacji X.
Funkcja mocy tego testu ²(¸ ) ¸ równego:
(A) - lnÄ…
3
(B) ln - lnÄ…
4
3
öÅ‚
(C) - lnëÅ‚ Å"Ä… ÷Å‚
ìÅ‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä…
(D) - ln
4
(E) - ln(2 Å"Ä…)
7
 7.12.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8. Niech X1, X , , X8
2
¸ ¸
¸ , to znaczy:
[a, b], gdzie a = a(X1, X , , X ), b = b(X1, X , , X8 ),
2 8 2
Pr(¸ < a X1, X , , X )= 0.05 = Pr(¸ > b X1, X , , X8).
2 8 2
8
1
X = Å" [ , ]
X a b
" i
8
i=1
(A) [X - 0.548, X + 0.548]
(B) [X - 0.427, X + 0.427]
8 8
îÅ‚
(C) X - 0.548, X + 0.548Å‚Å‚
ïÅ‚9 śł
9
ðÅ‚ ûÅ‚
8 8
îÅ‚
(D) X - 0.427, X + 0.427Å‚Å‚
ïÅ‚9 śł
9
ðÅ‚ ûÅ‚
(E) [X - 0.427, X + 0.548]
8
 7.12.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9. {e1, e2 , e3} i macierz
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
3 3 3śł
ïÅ‚
0 1 0 .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 1 1
ðÅ‚ 6 3 2ûÅ‚
e1 . Niech T
e2
losowej T wynosi:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) "
2
(E)
3
9
 7.12.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10. X , X , , X
(1) (2) (400)
2
wariancji Ã
X d" X d" d" X . Niech m
(1) (2) (400)
Pr(X d" m) wynosi:
(220)
(A) 0.0149
(B) 0.0049
(C) 0.0532
(D) 0.0256
20
(E) ÅšëÅ‚ öÅ‚ , gdzie Åš
ìÅ‚ ÷Å‚
Ã
íÅ‚ Å‚Å‚
10
 7.12.1996 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r.
Arkusz odpowiedzi*
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Punktacjaf&
1B
2D
3A
4E
5D
6B
7A
8C
9C
10 D
*
Arkuszu odpowiedzi.
f&
11