16.11.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
2 1 1
Pr(A)= , Pr(B A)= , Pr(C A )" B)= ,
5 4 2
6 1
Pr(A *" B)= , Pr(C B)= .
10 3
Ile wynosi Pr(A B )" C) ?
2
(A)
3
3
(B)
5
1
(C)
2
3
(D)
10
(E)
1
 16.11.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2. Niech U1, U2 , , Un
(a, b) = min{ , , , } oraz
X U1 U2 U
n
Y = max{ , , , } Corr(X , Y ) wynosi:
U1 U2 Un
1
(A) -
n
1
(B)
n
1
(C)
n -1
2
(b - a)
(D)
n -1
(E) 0
2
 16.11.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3. Niech (X1, Y1), ... , (X , Yn )
n
(µ , µY )
X
1 Á
îÅ‚ Å‚Å‚
i macierzy kowariancji
ïÅ‚Á 1śł .
ðÅ‚ ûÅ‚
n n
Å„Å‚1 1 üÅ‚
,
Statystyka minòÅ‚ Å" X Å"
żł
" i "Yi
n
ółn i=1 i=1 þÅ‚
min{µ , µY }:
X
(A) Á
(B) Á = 0
(C) Á = 1
(D) Á = 1
(E) nigdy
3
 16.11.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4. Zmienna losowa X
Å„Å‚ 1 1
2 Å‚Å‚
ôÅ‚ Å" expîÅ‚- Å"(ln x - µ) dla x > 0
ïÅ‚ śł
f (x) =
òÅ‚
X 2
2Ä„ x ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚
0 poza tym
ół
Pr(X d" q)= 0.6 oraz Pr(X d" r)= 0.4
(A) E(X )= q Å" r Å" e
(B) E(ln X )= q Å" r
(C)
q + r
(D) E(X )=
2
(E) E(X )= q Å" r
4
 16.11.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5. Zmienne losowe X1, X , , X
2 n
Å„Å‚
e- x dla x > 0
f (x) =
òÅ‚
0 poza tym
ół
Zmienna losowa N
Pr( = )= (1- q qk k = 0, 1,
N k )Å"
N
Niech S = X
" i
i=
1
0
X = 0 ).
" i
i=1
s > 0
(A) Var(N S = s)= E(N S = s)-1
(B) Var(N S = s)= E(N S = s)
2
(C) Var(N S = s)= Var(N)-[
E(N S = s)]
(D) Var(N S = s)= s Å" q2
(E) Var(N S = s)= s Å" q
5
 16.11.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6. Zmienne losowe X1, X , X , X
2 3 4
2 2 2 2 2
normalny N(0, Ã ) Pr(X1 - 5 Å" X < 5Å" X - X ) wynosi:
2 3 4
4
(A)
5
4 1
ëÅ‚1- öÅ‚
(B) Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
2
5 Ã
íÅ‚ Å‚Å‚
5
(C)
6
1
(D)
2
2
5 + Ã
(E)
2
6 + Ã
6
 16.11.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7. Niech X1, X , , X100
2
µ . Estymujemy µ
"
"
µ przybiera
11
(A)
4
(B) 2
5
(C)
2
(D) 3
(E)
7
 16.11.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8. Niech X1, X , , X
2 n
Å„Å‚
p p-1
ôÅ‚ Å" x Å" e-Å"x dla x > 0
f (x) = p, > 0
òÅ‚
“(p)
ôÅ‚
0 poza tym
ół
 p jest nieznane. Jednostajnie najmocniejszy
test hipotezy
H0 : p = 2 przeciw hipotezie alternatywnej:
H1 : p > 2
Ä…
(A) ma obszar krytyczny postaci X1 + X + + X > k
2 n
(B) ma obszar krytyczny postaci ln X1 + ln X + + ln X > k , gdzie k
2 n
parametru i liczby Ä…

(C) ma obszar krytyczny postaci ln X1 + ln X + + ln X > k , gdzie k
2 n
liczby Ä… 
2 2 2
(D) ma obszar krytyczny postaci X1 + X + + X > k
2 n
(E) nie istnieje
8
 16.11.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9. Niech X1, X , , X
2 n
odcinku (a, b), gdzie 0 d" a < b
H0 : a = 0 przeciw hipotezie alternatywnej:
H1 : a > 0 .
2 n n
X 1 1 2
(A) > k , gdzie: X = Å" X , s2 = Å" - X )
" i "(X i
s2 n n -1
i=1 i=1
M
(B) > k , gdzie: M = max(X1, X , , X ), s = s2
2 n
s
m
(C) > k , gdzie: m = min(X1, X , , X )
2 n
X
m
(D) > k , gdzie m oraz M
M
M - m
(E) > k , gdzie m oraz M
m
9
 16.11.1996 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10. {e1, e2 , e3, e4 , } i macierz
0 0 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1 0 0 0
ïÅ‚ śł
.
ïÅ‚ śł
0.5 0.2 0 0.3
ïÅ‚ śł
0 1 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
[0.5 0 0.5 0]. Z jakim
e4 ?
(A) 0.7
(B) 0.8
(C) 0.9
(D) 0.65
(E) 0
10
 16.11.1996 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r.
Arkusz odpowiedzi*
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Punktacjaf&
1C
2B
3D
4A
5A
6C
7A
8B
9D
10 D
*
Arkuszu odpowiedzi.
f&
11