Aleksander

Brzeziński

a.b

rzezinski@gik.p

w.edu.pl,

tel.

0607/211-589

STOCHASTYCZNE

MODELO

W

ANIE

SZEREGÓ

W

CZASO

WYCH

p

ro

cesy

auto

regresji

Kierunek:

Geo

dezja

i

Ka

rtografia

semestr:

II

2014/2015

notatki

do

wykładu

w

dniu

18.11.2014

r.

Zalecana

lektura:

Bendat

J.

S.,

A.

G.

Piersol,

1976,

Meto

dy

analizy

i

p

omia

ru

sygnał

ó

w

loso

wych,

PWN,

W

arsza

w

a

Bo

x

G.E.P

.,

G.M.

Jenkins,

1983,

Analiza

szeregó

w

czaso

wych,

p

rognozo

w

anie

i

stero

w

anie,

PWN

W

arsza

w

a

(o

ryg.

wyd.

z

1976

roku)

Ma

rple

Jr.

S.L.,

1987,

Digital

sp

ectral

analysis

with

applications,

Prentice-Hall,

Englew

o

o

d

Cliffs,

New

Jersey

,

USA

Gelb

A.

(ed.),

1986,

Applied

optimal

estimation,

MIT

Press,

Camb

ridge

MA

(ninth

p

rinting,

first

edition

1974)

Elemen

ty

teorii

pro

cesó

w

sto

c

hast

yczn

yc

h

Pro

cesy

loso

w

e

Pro

ces

loso

wy

zależny

o

d

czasu,

mamy

dostępny

zbió

r

realizacji

{

x

(t

)}

.

Pr

o

ces

stacjonarny

:

cha

rakteryst

yki

stat

yst

yczne

(gęstość

rozkł

adu,

moment

y,

itd.)

nie

zależą

o

d

czasu.

W

dalszym

ciągu

b

ędziemy

na

ogół

zakł

adać

stacjona

rność

p

ro

cesó

w.

F

unkcja

kor

elacji

(interkor

elacji)

dw

ó

ch

p

ro

cesó

w

{

x

(t

)}

,

{

y

(t

)}

jest

zdefinio

w

ana

ró

wna-

niem

φ

xy

(τ

)

=

E

[x

(t

)y

(t

+

τ

))]

,

(1)

w

któ

rym

E

ozancza

w

artość

o

czekiw

aną,

t

–

czas

a

τ

–

op

óźnienie

czaso

w

e.

P

o

dsta

wienie

y

=

x

daje

funkcję

autokor

elacji

φ

xx

(τ

)

=

E

[x

(t

)x

(t

+

τ

))]

.

(2)

Wł

asności

funk

cji

ko

relacji

(dla

zmiennych

rzeczywist

ych)

φ

xx

(0)

=

E

[x

2

]

(3)

φ

xx

(−

τ

)

=

φ

xx

(τ

)

(4)

φ

xy

(−

τ

)

=

φ

y

x

(τ

)

(5)

φ

xx

(0)

­

φ

xx

(τ

)

(6)

Er

go

dyczność

pr

o

cesu

:

zakł

adamy

,

że

pa

rametry

stat

yst

yczne

p

ro

cesu

loso

w

ego

można

wyde-

duk

ow

ać

p

op

rzez

uśrednianie

względem

czasu

p

ojedynczej

realizacji.

E

[x

]

=

lim

T

→∞

1

2

T

T

∫

−

T

x

(t

)dt.

(7)

E

[x

2

]

=

lim

T

→∞

1

2

T

T

∫

−

T

x

2

(t

)dt.

(8)

φ

xx

(τ

)

=

lim

T

→∞

1

2

T

T

∫

−

T

x

(t

)x

(t

+

τ

)dt.

(9)

φ

xy

(τ

)

=

lim

T

→∞

1

2

T

T

∫

−

T

x

(t

)y

(t

+

τ

)dt.

(10)

Zadanie

:

Wyk

azać

z

definicji,

że

p

ro

ces

x

(t

)

=

A

sin(

ω

t

+

θ

),

w

któ

rym

θ

jest

zmienną

loso

w

ą

o

rozkł

adzie

jednostajnym

na

p

rzedziale

[0

,2

π

],

jest

p

ro

cesem

stacjona

rnym

i

ergo

dycznym.

(Przykł

ad

2.2-2

z

książki

(Gelb,

1974)).

F

unkcja

gęstości

widmowej

Zdefiniujmy

ukł

ad

linio

wy

następującym

ró

wnaniem

y

(t

)

=

t

∫

−∞

x

(τ

)w

(t,

τ

)dτ

,

(11)

w

któ

rym

x

(t

),

y

(t

)

są

funk

cjami

na

w

ejściu

i

na

wyjściu,

natomiast

w

(t,

τ

)

jest

funkcją

wagową

ukł

adu.

Dla

ukł

adó

w

nie

zmieniających

się

w

czasie

w

(t,

τ

)

=

w

(t

−

τ

)

i

p

o

p

o

dsta

wieniu

o

raz

p

rost

ych

p

rzekształ

ceniach

otrzymujemy

wyrażenie

y

(t

)

=

∞

∫

0

w

(τ

)x

(t

−

τ

)dτ

,

(12)

któ

re

wyraża

op

erację

splotu

.

Przyjmując,

że

x

(t

)

i

y

(t

)

są

realizacjami

p

ro

cesó

w

loso

wych,

możemy

otrzymać

z

ostatniego

ró

wnania

szereg

w

ażnych

zależności

między

momentami

tych

p

ro

cesó

w

E

[y

]

=

E

[x

]

∞

∫

0

w

(t

)dt

(13)

E

[y

2

]

=

∞

∫

0

dτ

1

w

(τ

1

)

∞

∫

0

dτ

2

w

(τ

2

)

φ

xx

(τ

1

−

τ

2

)

(14)

φ

y

y

(τ

)

=

∞

∫

0

dτ

1

w

(τ

1

)

∞

∫

0

dτ

2

w

(τ

2

)

φ

xx

(τ

+

τ

1

−

τ

2

)

(15)

φ

xy

(τ

)

=

∞

∫

0

w

(τ

1

)

φ

xx

(τ

−

τ

1

)

dτ

1

(16)

T

ransfo

rmata

F

ouriera

funk

cji

autok

orelacji

p

ro

cesu

loso

w

ego

{

x

(t

)}

Φ

xx

(ω

)

=

∞

∫

−∞

φ

xx

(τ

)

exp(

−

iω

τ

)dτ

,

(17)

jest

nazyw

ana

funkcją

gęstości

widmowej

mo

cy

tego

p

ro

cesu.

Oznacza

się

ją

z

reguły

skrótem

PSD

o

d

p

ower

sp

ectr

al

density

.

W

ostatnim

wzo

rze

i

oznacza

jednostk

ę

urojoną,

a

ω

jest

częstotliw

ością

kąto

w

ą

(w

radianach

na

jednostk

ę

czasu).

Zastoso

w

anie

o

dwrotnej

transfo

rmat

y

F

ouriera

p

ro

w

adzi

do

wzo

ru

φ

xx

(τ

)

=

1

2

π

∞

∫

−∞

Φ

xx

(ω

)

exp(

iω

τ

)

dω

.

(18)

P

o

dsta

wiając

τ

=

0

otrzymujemy

wzó

r

na

w

artość

średniokw

adrato

w

ą

p

ro

cesu

E

[x

2

]

=

φ

xx

(0)

=

1

2

π

∞

∫

−∞

Φ

xx

(ω

)

dω

.

(19)

Z

p

o

wyższego

wzo

ru

widzimy

,

że

określenie

“mo

c”

o

dnosi

się

do

drugiego

momentu

p

ro

cesu.

Całk

ow

anie

PSD

daje

całk

owitą

mo

c,

czyli

średnią

w

artość

kw

adratu

amplitudy

p

ro

cesu.

Ogra-

niczenie

całk

ow

ania

do

p

rzedziału

[ω

1

,ω

2

]

p

ro

w

adzi

do

oszaco

w

ania,

jak

a

część

mo

cy

p

ro

cesu

p

o

cho

dzi

z

tego

pasma

częstotliw

ości.

T

ransfo

rmata

F

ouriera

funk

cji

wzajemnej

ko

relacji

definiuje

funkcję

wzajemnej

gęstości

wid-

mowej

CPSD

(cr

oss

p

ower

sp

ectr

al

density

)

p

ro

cesó

w

loso

wych

{

x

(t

)}

i{

y

(t

)}

Φ

xy

(ω

)

=

∞

∫

−∞

φ

xy

(τ

)

exp(

−

iω

τ

)dτ

.

(20)

Biały

szum

Jest

on

zdefinio

w

any

jak

o

p

ro

ces,

któ

rego

funk

cja

gęstości

widmo

w

ej

jest

stał

a

Φ

nn

(ω

)

=

Φ

0

.

Odp

o

wiadająca

funk

cja

autok

orelacji

wyraża

się

wzo

rem

φ

nn

(τ

)

=

1

2

π

∞

∫

−∞

Φ

0

exp(

iω

τ

)

dω

=

Φ

0

δ

(τ

),

(21)

w

któ

rym

δ

(τ

)

oznacza

deltę

Diraca.

Ze

wzo

ru

na

w

artość

średniokw

adrato

w

ą

p

ro

cesu

loso

w

ego

otrzymujemy

E

[

n

2

]

=

φ

nn

(0)

=

Φ

0

δ

(0)

,

a

zatem

wielk

ość

niesk

ończoną.

Wynik

a

stąd,

że

biały

szum

nie

daje

się

fizycznie

zrealizo

w

ać.

Jest

to

abstrak

cyjny

tw

ór,

któ

ry

stano

wi

użyteczną

ap

roksymację

dla

wielu

rzeczywist

ych

sytuacji.

Szerok

ą

klasę

p

ro

cesó

w

sto

chast

ycznych

można

opisać

w

p

ostaci

ukł

adu

linio

w

ego,

któ

rego

w

ejściem

jest

biały

szum.

Uwaga

:

W

naturalny

sp

osób

wp

ro

w

adza

się

p

ro

cesy

loso

w

e

o

w

artościach

zesp

olonych.

Niektó

re

z

w

cześniejszych

definicji

wymagają

mo

dyfik

acji,

np.

funk

cja

ko

relacji

p

rzyjmie

p

ostać

φ

xy

(τ

)

=

E

[x

(t

)y

∗

(t

+

τ

))]

,

(22)

gdzie

y

∗

oznacza

sp

rzężenie

liczb

y

zesp

olonej

y

,

tzn.

(a

+

bi

)

∗

=

a

−

bi

.