1
Met.Numer. wykład 3
1
METODY NUMERYCZNE
dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH
Wykład 3.
Met.Numer. wykład 3
2
Plan
• Aproksymacja
• Interpolacja wielomianowa
• Przykłady
Met.Numer. wykład 3
3
Aproksymacja
Metody numeryczne zajmują się rozwiązywaniem zadań
matematycznych za pomocą działań arytmetycznych. Zachodzi
zatem potrzeba przybliżania wielkości nie arytmetycznych
wielkościami arytmetycznymi i badania błędów wywołanych
takimi przybliżeniami. Wybór przybliżenia zależy od tego,
którym z możliwych kryteriów posłużymy się w ocenie
skuteczności danego przybliżenia.
Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku?
Jak szybko można otrzymać rozwiązanie – jaka jest
szybkość zbieżności danej metody, np. procesu
iteracyjnego?
2
Met.Numer. wykład 3
4
Co to jest interpolacja ?
Dane są punkty (x
0
,y
0
), (x
1
,y
1
), ….(x
n
,y
n
). Znaleźć nieznaną
wartość y dla dowolnego x.
Met.Numer. wykład 3
5
Różnica pomiędzy
aproksymacją i interpolacją
interpolacja
aproksymacja
Met.Numer. wykład 3
6
Aproksymacja
Chcemy przybliżyć funkcję f(x) kombinacją (najczęściej
liniową) funkcji należących do pewnej szczególnej klasy.
Klasy funkcji:
dla N pierwszych wyrazów szeregu Taylora
...)
,
1
,
0
(
}
{
=
n
x
n
...)
,
1
,
0
(
)}
(
{
=
n
x
p
n
ogólniej: p
n
(x) jest wielomianem stopnia n
...)
2
,
1
,
0
(
)}
cos(
),
{sin(
=
n
nx
nx
wielomiany trygonometryczne
Największe znaczenie posiada aproksymacja wielomianowa
3
Met.Numer. wykład 3
7
Aproksymacja
Aproksymacja liniowa funkcji f(x)
klasy funkcji:
współczynniki stałe:
...)
,
1
,
0
(
)}
(
{
=
n
x
g
n
)
(
...
)
(
)
(
)
(
1
1
0
0
x
g
a
x
g
a
x
g
a
x
f
m
m
+
+
+
≈
Przybliżenia liniowe stosuje się ponieważ badanie aproksymacji
kombinacjami nieliniowymi funkcji przybliżających jest bardzo
trudne jak analiza większości zagadnień nieliniowych.
)
...,
,
1
,
0
(
m
i
a
i
=
Czasami stosuje się przybliżenia wymierne:
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
1
1
0
0
1
1
0
0
x
g
b
x
g
b
x
g
b
x
g
a
x
g
a
x
g
a
x
f
k
k
m
m
+
+
+
+
+
+
≈
Met.Numer. wykład 3
8
Aproksymacja
współczynniki są tak dobrane, aby w punktach
funkcja przybliżająca wraz z jej pierwszymi r
i
pochodnymi (r
i
jest
liczbą całkowitą nieujemną) była zgodna z f(x) i jej pochodnymi (z
dokładnością do błędów zaokrągleń)
)
...,
,
1
,
0
(
m
i
a
i
=
Kryteria wyboru stałych współczynników
•przybliżenie interpolacyjne
)
,
...
,
2
,
1
(
p
i
x
i
=
Trzy typy przybliżeń o dużym znaczeniu
Met.Numer. wykład 3
9
Aproksymacja
szukamy minimum wyrażenia będącego całką z kwadratu
różnicy pomiędzy f(x) i jej przybliżeniem w przedziale
<x
1
,x
2
> lub sumą ważoną kwadratów błędów rozciągniętą
na zbiór dyskretny punktów z przedziału <x
1
,x
2
>
)
...,
,
1
,
0
(
m
i
a
i
=
Kryteria wyboru stałych współczynników
•przybliżenie średniokwadratowe
•przybliżenie jednostajne
znalezienie najmniejszego maksimum różnicy między f(x) i
jej przybliżeniem w przedziale <x
1
,x
2
>
4
(
)
[
]
min
2
2
=
∑
+
−
=
n
i
i
i
b
ax
y
S
Met.Numer. wykład 3
10
4
6
8
10
12
14
16
0
20
40
60
f(x
i
)
y
i
x
i
y
x
f(x)=ax+b
a=3.23, b=-2.08
Metoda najmniejszych kwadratów
Regresja liniowa
Postulat metody
Met.Numer. wykład 3
11
Warunek minimum funkcji dwu zmiennych:
0
0
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
b
S
a
S
Otrzymujemy układ równań liniowych dla niewiadomych a i b
∑
=
+
∑
∑
=
∑
+
∑
i
i
i
i
i
i
y
bn
x
a
y
x
x
b
x
a
2
Rozwiązując ten układ równań uzyskuje się wyrażenia na
współczynniki a i b szukanej prostej f(x)=ax+b
Metoda najmniejszych kwadratów
Regresja liniowa
Met.Numer. wykład 3
12
W
y
x
x
y
x
b
W
y
x
y
x
n
a
i
i
i
i
i
i
i
i
i
∑
∑
∑
∑
−
=
∑
∑
∑
−
=
2
( )
2
2
∑
−
∑
=
i
i
x
x
n
W
gdzie: W (wyznacznik główny układu równań) wyraża się
wzorem
Metoda najmniejszych kwadratów
Regresja liniowa
5
Met.Numer. wykład 3
13
Z praw statystyki można wyprowadzić wyrażenia na odchylenia
standardowe u(a) i u(b) obu parametrów prostej a,b:
n
x
a
u
b
u
W
S
n
n
a
u
i
∑
=
−
=
2
2
)
(
)
(
2
)
(
Metoda najmniejszych kwadratów
Regresja liniowa
Met.Numer. wykład 3
14
Aproksymacja wielomianowa
Wspólną właściwością potęg zmiennej i wielomianów
trygonometrycznych (a także funkcji wykładniczych) jest to,
że w przybliżeniach korzystających z każdej z tych klas
przesunięcie układu współrzędnych zmienia współczynniki,
ale nie zmienia postaci przybliżenia.
Zastosowanie w obliczeniach wielomianów jako funkcji
przybliżających wiąże się z faktem, że maszyna cyfrowa
wykonuje w praktyce działania arytmetyczne.
Jeżeli P(x) jest wielomianem lub funkcją wymierną to
P(x+α) jest również tej postaci, a jeśli T(x) jest liniowym
lub wymiernym przybliżeniem zbudowanym z sinusów lub
cosinusów, to takie jest również T(x+α).
Met.Numer. wykład 3
15
Aproksymacja wielomianowa
mają taką zaletę, że przy zmianie skali zmiennej zmieniają
się tylko współczynniki, a nie zmienia się kształt
przybliżenia. Przykład: wielomian P(kx) jest również
wielomianem zmiennej x.
Przybliżenia funkcjami
Tej własności nie mają przybliżenia trygonometryczne, gdyż
dla niecałkowitego k na ogół sin(nkx) nie jest elementem
klasy
...)
,
1
,
0
(
}
{
=
n
x
n
...)
2
,
1
,
0
(
)}
{sin(
=
n
nx
6
Met.Numer. wykład 3
16
Najczęściej wybiera się wielomiany gdyż można
łatwo:
obliczać ich wartości
różniczkować
całkować
Aproksymacja wielomianowa
Met.Numer. wykład 3
17
Z przybliżeń wielomianowych wywodzą się metody:
• interpolacji
• ekstrapolacji
• różniczkowania numerycznego
• kwadratur
• rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych
zwyczajnych
Powiązania pomiędzy tymi metodami są łatwo dostrzegalne,
gdyż metody interpolacyjne są podstawą wzorów różniczkowania
numerycznego, kwadratur i rozwiązywania numerycznego
równań różniczkowych.
Aproksymacja wielomianowa
Met.Numer. wykład 3
18
INTERPOLACJA WIELOMIANOWA
Założenie:
W przedziale [a,b] danych jest (n+1) różnych punktów x
0
, x
1
, …, x
n
,
które nazywamy węzłami interpolacji, oraz wartości pewnej funkcji
y = f(x) w tych punktach:
f(x
i
) = y
i
dla i = 0, 1, ..., n.
interpolacja
7
Met.Numer. wykład 3
19
Zadanie interpolacji:
Wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących
węzłami oraz oszacowanie błędu tych przybliżonych wartości.
1. W tym celu należy znaleźć funkcję F(x), zwaną funkcją
interpolującą, która będzie „przybliżać” funkcję f(x) w przedziale
[a,b].
2. Funkcja F(x) w węzłach interpolacji przyjmuje takie same wartości
co funkcja y = f(x).
3. W zagadnieniu interpolacji wielomianowej funkcja F(x) jest
wielomianem stopnia co najwyżej n.
INTERPOLACJA WIELOMIANOWA
Twierdzenie
Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej
n (n≥0), który w punktach x
0
, x
1
, …, x
n
przyjmuje wartości y
0
, y
1
, …,
y
n
.
Met.Numer. wykład 3
20
Interpolacja - metoda bezpośrednia
.
..........
..........
1
0
n
n
x
a
x
a
a
y
+
+
+
=
Przez n+1 punktów (x
0
,y
0
), (x
1
,y
1
), ….(x
n
,y
n
) przechodzi
dokładnie jeden wielomian stopnia n
gdzie a
0
, a
1
, …. a
n
są stałymi współczynnikami (R)
•Ułożyć n+1 równań aby znaleźć n+1 stałych
•Podstawić wartość x do wielomianu, aby znaleźć y
Met.Numer. wykład 3
21
Przykład
Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę
bezpośrednią dla dwóch punktów
t(s)
v(m/s)
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t
0
5
10
15
20
25
30
0
200
400
600
800
1000
p
red
ko
sc v
(m
/
s)
czas t(s)
dane
8
Met.Numer. wykład 3
22
Interpolacja liniowa
( )
t
a
a
t
v
1
0
+
=
( )
( )
78
.
362
15
15
1
0
=
+
=
a
a
v
( )
( )
35
.
517
20
20
1
0
=
+
=
a
a
v
93
.
100
0
−
=
a
914
.
30
1
=
a
A zatem
( )
20
15
,
914
.
30
93
.
100
≤
≤
+
−
=
t
t
t
v
( )
( )
m/s
393.7
16
30.914
100.93
16
v
=
+
−
=
(
)
0
0
, y
x
( )
x
f
1
(
)
1
1
, y
x
x
y
Rozwiązanie układu równań
Met.Numer. wykład 3
23
Nie można obecnie wyświetlić tego obrazu.
( )
2
2
1
0
t
a
t
a
a
t
v
+
+
=
( )
( )
( )
04
.
227
10
10
10
2
2
1
0
=
+
+
=
a
a
a
v
( )
( )
( )
78
.
362
15
15
15
2
2
1
0
=
+
+
=
a
a
a
v
05
.
12
0
=
a
733
.
17
1
=
a
3766
.
0
2
=
a
Interpolacja kwadratowa
(
)
0
0
, y
x
(
)
1
1
, y
x
(
)
2
2
, y
x
( )
x
f
2
y
x
( )
( )
( )
35
.
517
20
20
20
2
2
1
0
=
+
+
=
a
a
a
v
Rozwiązanie układu równań
( )
20
10
,
3766
.
0
733
.
17
05
.
12
2
≤
≤
+
+
=
t
t
t
t
v
( )
( )
( )
2
16
3766
.
0
16
733
.
17
05
.
12
16
+
+
=
v
m/s
19
.
392
=
Met.Numer. wykład 3
24
( )
20
10
,
3766
.
0
733
.
17
05
.
12
2
≤
≤
+
+
=
t
t
t
t
v
( )
s
m
v
/
19
.
392
16
=
Błąd względny
%
38410
.
0
100
19
.
392
70
.
393
19
.
392
=
×
−
=
∈
a
Interpolacja kwadratowa
0
5
10
15
20
25
30
0
200
400
600
800
1000
V(m
/
s)
t(s)
9
Met.Numer. wykład 3
25
( )
3
3
2
2
1
0
t
a
t
a
t
a
a
t
v
+
+
+
=
( )
( )
( )
( )
3
3
2
2
1
0
10
10
10
04
.
227
10
a
a
a
a
v
+
+
+
=
=
( )
( )
( )
( )
3
3
2
2
1
0
15
15
15
78
.
362
15
a
a
a
a
v
+
+
+
=
=
( )
( )
( )
( )
3
3
2
2
1
0
20
20
20
35
.
517
20
a
a
a
a
v
+
+
+
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
2
2
1
0
5
.
22
5
.
22
5
.
22
97
.
602
5
.
22
a
a
a
a
v
+
+
+
=
=
y
x
( )
x
f
3
(
)
3
3
, y
x
(
)
2
2
, y
x
(
)
1
1
, y
x
(
)
0
0
, y
x
Interpolacja sześcienna
Met.Numer. wykład 3
26
04
.
227
1000
100
10
3
2
1
0
=
+
+
+
a
a
a
a
78
.
362
3375
225
15
3
2
1
0
=
+
+
+
a
a
a
a
35
.
517
8000
400
20
3
2
1
0
=
+
+
+
a
a
a
a
97
.
602
625
.
11390
25
.
506
5
.
22
3
2
1
0
=
+
+
+
a
a
a
a
Interpolacja sześcienna
Zadanie domowe
Rozwiązać układ równań:
Podać i narysować v(t)
Met.Numer. wykład 3
27
( )
,
0054347
.
0
13204
.
0
266
.
21
2540
.
4
3
2
t
t
t
t
v
+
+
+
−
=
( )
s
m
v
/
06
.
392
16
=
%
033269
.
0
100
06
.
392
19
.
392
06
.
392
=
×
−
=
∈
a
Interpolacja sześcienna -rozwiązanie
2540
.
4
0
−
=
a
266
.
21
1
=
a
13204
.
0
2
=
a
0054347
.
0
3
=
a
5
.
22
10
≤
≤ t
Błąd względny
10
Met.Numer. wykład 3
28
Porównanie
Rząd wielomianu
1
2
3
(
)
m/s
16
=
t
v
393.7 392.19 392.06
błąd względny ---------- 0.38410
% 0.033269
%
Met.Numer. wykład 3
29
Obliczenia przemieszczenia
od t=11s do t=16s
( )
5
.
22
10
,
0054347
.
0
13204
.
0
266
.
21
2540
.
4
3
2
≤
≤
+
+
+
−
=
t
t
t
t
t
v
( ) ( )
( )
∫
=
−
16
11
11
16
dt
t
v
s
s
(
)
m
t
t
t
t
dt
t
t
t
1605
4
0054347
.
0
3
13204
.
0
2
266
.
21
2540
.
4
0054347
.
0
13204
.
0
266
.
21
2540
.
4
16
11
4
3
2
16
11
3
2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
−
=
∫
+
+
+
−
=
Met.Numer. wykład 3
30
( )
5
.
22
10
,
0054347
.
0
13204
.
0
266
.
21
2540
.
4
3
2
≤
≤
+
+
+
−
=
t
t
t
t
ν
( )
( )
(
)
5
.
22
10
,
016304
.
0
26408
.
0
266
.
21
0054347
.
0
13204
.
0
266
.
21
2540
.
4
2
3
2
≤
≤
+
+
=
+
+
+
−
=
=
t
t
t
t
t
t
dt
d
t
v
dt
d
t
a
( )
( )
( )
2
2
665
.
29
16
016304
.
0
16
26408
.
0
266
.
21
16
m/s
a
=
+
+
=
Obliczenia przyspieszenia
11
Met.Numer. wykład 3
31
Wzór interpolacyjny Newtona
Interpolacja liniowa: dane są punkty
szukamy
),
,
(
0
0
y
x
),
,
(
1
1
y
x
)
(
)
(
0
1
0
1
x
x
b
b
x
f
−
+
=
)
(
0
0
x
f
b
=
0
1
0
1
1
)
(
)
(
x
x
x
f
x
f
b
−
−
=
Met.Numer. wykład 3
32
Przykład
Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę Newtona
t(s)
v(m/s)
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t
0
5
10
15
20
25
30
0
200
400
600
800
1000
p
red
ko
sc v
(m
/
s)
czas t(s)
dane
Met.Numer. wykład 3
33
Interpolacja liniowa
)
(
)
(
0
1
0
t
t
b
b
t
v
−
+
=
78
.
362
)
(
,
15
0
0
=
=
t
v
t
35
.
517
)
(
,
20
1
1
=
=
t
v
t
78
.
362
)
(
0
0
=
= t
v
b
914
.
30
)
(
)
(
0
1
0
1
1
=
−
−
=
t
t
t
v
t
v
b
Wiadomo, że:
Znajdujemy:
A zatem:
20
15
),
15
(
914
.
30
78
.
362
)
(
)
(
0
1
0
≤
≤
−
+
=
=
−
+
=
t
t
t
t
b
b
t
v
Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany
jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej
12
Met.Numer. wykład 3
34
Interpolacja liniowa
)
(
)
(
0
1
0
t
t
b
b
t
v
−
+
=
Szukana prędkość w chwili t=16 s wynosi:
s
m
t
t
b
b
t
v
/
69
.
393
)
15
16
(
914
.
30
78
.
362
)
(
)
(
0
1
0
=
−
+
=
=
−
+
=
15
16
17
18
19
20
360
380
400
420
440
460
480
500
520
v(
m/
s)
czas t(s)
dane
Met.Numer. wykład 3
35
Interpolacja kwadratowa
)
)(
(
)
(
)
(
1
0
2
0
1
0
2
x
x
x
x
b
x
x
b
b
x
f
−
−
+
−
+
=
)
(
0
0
x
f
b
=
0
1
0
1
1
)
(
)
(
x
x
x
f
x
f
b
−
−
=
0
2
0
1
0
1
1
2
1
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
b
−
−
−
−
−
−
=
Dane są punkty
),
,
(
0
0
y
x
),
,
(
1
1
y
x
),
,
(
2
2
y
x
szukamy
Met.Numer. wykład 3
36
Interpolacja kwadratowa
Wiadomo, że:
78
.
362
)
(
,
15
1
1
=
=
t
v
t
35
.
517
)
(
,
20
2
2
=
=
t
v
t
04
.
227
)
(
,
10
0
0
=
=
t
v
t
04
.
227
)
(
0
0
=
= t
v
b
Znajdujemy:
148
.
27
10
15
04
.
227
78
.
362
)
(
)
(
0
1
0
1
1
=
=
−
−
=
−
−
=
t
t
t
v
t
v
b
37660
.
0
10
148
.
27
914
.
30
)
(
)
(
)
(
)
(
0
2
0
1
0
1
1
2
1
2
2
=
=
−
=
−
−
−
−
−
−
=
t
t
t
t
t
v
t
v
t
t
t
v
t
v
b
13
Met.Numer. wykład 3
37
Interpolacja kwadratowa
A zatem:
20
10
),
15
)(
10
(
37660
.
0
)
10
(
148
.
27
04
.
227
)
)(
(
)
(
)
(
1
0
2
0
1
0
≤
≤
−
−
+
−
+
=
=
−
−
+
−
+
=
t
t
t
t
t
t
t
t
b
t
t
b
b
t
v
dla t=16s:
s
m
t
t
b
t
b
b
v
/
19
.
392
)
15
16
)(
10
16
(
37660
.
0
)
10
16
(
148
.
27
04
.
227
)
16
)(
16
(
)
16
(
)
16
(
1
0
2
0
1
0
=
−
−
+
−
+
=
=
−
−
+
−
+
=
Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany
jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej
Met.Numer. wykład 3
38
a
∈
100
x
19
.
392
69
.
393
19
.
392
−
=
= 0.38502 %
Interpolacja kwadratowa
Błąd względny w odniesieniu do poprzedniej interpolacji
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
200
250
300
350
400
450
500
550
v(
m/
s)
czas t(s)
dane
Met.Numer. wykład 3
39
Ogólna formuła
)
)(
(
)
(
)
(
1
0
2
0
1
0
2
x
x
x
x
b
x
x
b
b
x
f
−
−
+
−
+
=
gdzie
A zatem
)
)(
](
,
,
[
)
](
,
[
]
[
)
(
1
0
0
1
2
0
0
1
0
2
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
f
x
f
−
−
+
−
+
=
)
(
]
[
0
0
0
x
f
x
f
b
=
=
0
1
0
1
0
1
1
)
(
)
(
]
,
[
x
x
x
f
x
f
x
x
f
b
−
−
=
=
0
2
0
1
0
1
1
2
1
2
0
2
0
1
1
2
0
1
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
]
,
[
]
,
[
]
,
,
[
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
b
−
−
−
−
−
−
=
−
−
=
=
iloraz różnicowy pierwszego rzędu
iloraz różnicowy drugiego rzędu
14
Met.Numer. wykład 3
40
(
) (
)
(
) (
)
n
n
n
n
y
x
y
x
y
x
y
x
,
,
,
,......,
,
,
,
1
1
1
1
0
0
−
−
)
)...(
)(
(
....
)
(
)
(
1
1
0
0
1
0
−
−
−
−
+
+
−
+
=
n
n
n
x
x
x
x
x
x
b
x
x
b
b
x
f
gdzie
]
[
0
0
x
f
b
=
]
,
[
0
1
1
x
x
f
b
=
]
,
,
[
0
1
2
2
x
x
x
f
b
=
M
]
,....,
,
[
0
2
1
1
x
x
x
f
b
n
n
n
−
−
−
=
]
,....,
,
[
0
1
x
x
x
f
b
n
n
n
−
=
Ogólna formuła
Mając (n+1) punktów
Met.Numer. wykład 3
41
Wielomian 3-ciego stopnia, mając dane
),
,
(
0
0
y
x
),
,
(
1
1
y
x
),
,
(
2
2
y
x
i
),
,
(
3
3
y
x
ma postać
)
)(
)(
](
,
,
,
[
)
)(
](
,
,
[
)
](
,
[
]
[
)
(
2
1
0
0
1
2
3
1
0
0
1
2
0
0
1
0
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
f
x
f
−
−
−
+
−
−
+
−
+
=
0
b
0
x
)
(
0
x
f
1
b
]
,
[
0
1
x
x
f
2
b
1
x
)
(
1
x
f
]
,
,
[
0
1
2
x
x
x
f
3
b
]
,
[
1
2
x
x
f
]
,
,
,
[
0
1
2
3
x
x
x
x
f
2
x
)
(
2
x
f
]
,
,
[
1
2
3
x
x
x
f
]
,
[
2
3
x
x
f
3
x
)
(
3
x
f
Interpolacja sześcienna
Met.Numer. wykład 3
42
Interpolacja sześcienna
Zadanie domowe
Znaleźć równanie na prędkość i obliczyć v(16s) na podstawie
interpolacji sześciennej Newtona :
Znaleźć współczynniki b
i
)
)(
)(
(
)
)(
(
)
(
)
(
2
1
0
3
1
0
2
0
1
0
t
t
t
t
t
t
b
t
t
t
t
b
t
t
b
b
t
v
−
−
−
+
−
−
+
−
+
=
Dane
78
.
362
)
(
,
15
1
1
=
=
t
v
t
35
.
517
)
(
,
20
2
2
=
=
t
v
t
04
.
227
)
(
,
10
0
0
=
=
t
v
t
97
.
602
)
(
,
5
.
22
3
3
=
=
t
v
t
Znaleźć drogę przebytą w czasie od 11s do 16 s. Znaleźć
przyspieszenie w chwili t=16 s.
15
Met.Numer. wykład 3
43
Rozwiązanie
b
0
= 227.04; b
1
= 27.148; b
2
= 0.37660; b
3
= 5.4347*10
-3
0
b
10
0
=
t
04
.
227
1
b
148
.
27
2
b
,
15
1
=
t
78
.
362
37660
.
0
3
b
914
.
30
3
10
4347
.
5
−
x
,
20
2
=
t
35
.
517
44453
.
0
248
.
34
,
5
.
22
3
=
t
97
.
602
Met.Numer. wykład 3
44
Rząd wielomianu
1
2
3
v(t=16)
m/s
393.69 392.19 392.06
Błąd względny
przybliżenia
---------- 0.38502
%
0.033427 %
Porównanie
Met.Numer. wykład 3
45
Interpolacja z równo-odległymi węzłami
ih
x
x
i
+
=
0
Dane są wartości funkcji f(x
i
)=y
i
dla i=0,1,…n w punktach
rozmieszczonych w jednakowych odstępach:
)
).....(
)(
(
!
...
)
)(
(
!
2
)
(
!
1
)
(
1
1
0
1
2
0
2
0
0
−
−
−
−
Δ
+
+
+
−
−
Δ
+
−
Δ
+
=
n
o
n
n
o
o
I
n
x
x
x
x
x
x
h
n
y
x
x
x
x
h
y
x
x
h
y
y
x
N
Pierwszy wielomian interpolacyjny Newtona ma postać:
gdzie ∆
k
f(x
0
) jest różnica progresywna k-tego rzędu
16
Met.Numer. wykład 3
46
Interpolacja z równo-odległymi węzłami
Wielomian interpolacyjny Newtona jest korzystny w pobliżu
początku tablicy. W pobliżu końca tablicy stosujemy
)
).....(
)(
(
!
...
)
)(
(
!
2
)
(
!
1
)
(
1
1
0
1
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
h
n
y
x
x
x
x
h
y
x
x
h
y
y
x
N
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
II
n
−
−
−
Δ
+
+
+
−
−
Δ
+
−
Δ
+
=
−
−
−
−
drugi wielomian interpolacyjny Newtona z różnicami wstecznymi
Met.Numer. wykład 3
47
Różnice progresywne
i
i
i
i
y
y
y
y
Δ
−
Δ
=
Δ
Δ
=
Δ
+1
2
)
(
i
i
i
i
i
y
y
x
f
h
x
f
y
−
=
−
+
=
Δ
+1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
−
−
=
−
−
=
∇
i
i
i
i
i
y
y
h
x
f
x
f
y
Różnice wsteczne
1
2
)
(
−
∇
−
∇
=
∇
∇
=
∇
i
i
i
i
y
y
y
y
Met.Numer. wykład 3
48
Inaczej:
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
gdzie:
ω’
n
(x
j
) jest wartością pochodnej wielomianu ω
n
(x) punkcie x
j
będącym zerem tego wielomianu
( )
( )
∑
∑
=
=
=
−
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
=
n
j
j
n
j
n
j
n
j
x
x
j
n
j
n
j
n
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
f
x
W
j
0
0
)
(
'
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
)
)...(
)(
(
)
(
1
0
n
n
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
ω
Ogólnie:
)
)...(
)(
)...(
)(
(
)
)...(
)(
)...(
)(
(
)
(
)
(
1
1
1
0
1
1
1
0
0
n
j
j
j
j
j
j
j
n
j
j
n
j
j
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
W
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
−
+
−
=
∑
17
Met.Numer. wykład 3
49
Przykład
Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę interpolacji
wielomianem Lagrange’a dla dwóch punktów
t(s)
v(m/s)
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t
0
5
10
15
20
25
30
0
200
400
600
800
1000
p
red
ko
sc v
(m
/
s)
czas t(s)
dane
Met.Numer. wykład 3
50
Interpolacja liniowa wielomianem
Lagrange’a
78
.
362
)
(
,
15
0
0
=
=
t
v
t
35
.
517
)
(
,
20
1
1
=
=
t
v
t
Wiadomo, że:
Znajdujemy:
A zatem:
Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany
jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
0
0
1
0
t
v
t
L
t
v
t
L
t
v
t
L
t
v
i
i
i
+
=
∑
=
=
1
0
1
1
0
0
0
0
)
(
t
t
t
t
t
t
t
t
t
L
j
j
j
j
−
−
=
∏
−
−
=
≠
=
0
1
0
1
1
0 1
1
)
(
t
t
t
t
t
t
t
t
t
L
j
j
j
j
−
−
=
∏
−
−
=
≠
=
35
.
517
15
20
15
78
.
362
20
15
20
)
(
)
(
)
(
1
0
1
0
0
1
0
1
−
−
+
−
−
=
=
−
−
+
−
−
=
t
t
t
v
t
t
t
t
t
v
t
t
t
t
t
v
Met.Numer. wykład 3
51
s
m
v
/
7
.
393
)
35
.
517
(
2
.
0
)
78
.
362
(
8
.
0
)
35
.
517
(
15
20
15
16
)
78
.
362
(
20
15
20
16
)
16
(
=
=
+
=
−
−
+
−
−
=
Interpolacja liniowa wielomianem
Lagrange’a
15
16
17
18
19
20
360
380
400
420
440
460
480
500
520
v(
m/
s)
czas t(s)
dane
18
Met.Numer. wykład 3
52
Interpolacja kwadratowa
Dane są punkty
),
,
(
0
0
y
x
),
,
(
1
1
y
x
)
,
(
2
2
y
x
szukamy
∏
−
−
=
≠
=
2
0
)
(
i
j
j
j
i
j
i
t
t
t
t
t
L
( )
( )
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
0
0
2
0
t
v
t
L
t
v
t
L
t
v
t
L
t
v
t
L
t
v
i
i
i
+
+
=
=
∑
=
=
Met.Numer. wykład 3
53
Interpolacja kwadratowa
Wiadomo, że:
78
.
362
)
(
,
15
1
1
=
=
t
v
t
35
.
517
)
(
,
20
2
2
=
=
t
v
t
04
.
227
)
(
,
10
0
0
=
=
t
v
t
Znajdujemy:
(
)(
)
(
)(
)
2
0
1
0
2
1
2
0
0
0
0
)
(
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
L
j
j
j
j
−
−
−
−
=
∏
−
−
=
≠
=
(
)(
)
(
)(
)
2
1
0
1
2
0
2
1
0 1
1
)
(
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
L
j
j
j
j
−
−
−
−
=
∏
−
−
=
≠
=
(
)(
)
(
)(
)
1
2
0
2
1
0
2
2
0 2
2
)
(
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
L
j
j
j
j
−
−
−
−
=
∏
−
−
=
≠
=
A zatem:
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
0
2
0
1
2
1
2
0
1
0
0
2
0
2
1
0
1
t
v
t
t
t
t
t
t
t
t
t
v
t
t
t
t
t
t
t
t
t
v
t
t
t
t
t
t
t
t
t
v
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
=
Met.Numer. wykład 3
54
Interpolacja kwadratowa
dla t=16s:
Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany
jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej i metodą
Newtona.
s
m
v
/
19
.
392
)
35
.
517
)(
12
.
0
(
)
78
.
362
)(
96
.
0
(
)
04
.
227
)(
08
.
0
(
)
35
.
517
(
)
15
20
(
)
15
16
(
)
10
20
(
)
10
16
(
)
78
.
362
(
)
20
15
(
)
20
16
(
)
10
15
(
)
10
16
(
)
04
.
227
(
)
20
10
(
)
20
16
(
)
15
10
(
)
15
16
(
)
16
(
=
+
+
−
=
=
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
=
19
Met.Numer. wykład 3
55
Interpolacja kwadratowa
Błąd względny w odniesieniu do poprzedniej interpolacji
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
200
250
300
350
400
450
500
550
v(
m/
s)
czas t(s)
dane
%
38502
.
0
100
19
.
392
70
.
393
19
.
392
=
×
−
=
∈
a
Met.Numer. wykład 3
56
Interpolacja sześcienna
Zadanie domowe
Znaleźć równanie na prędkość i obliczyć v(16s) na podstawie
interpolacji sześciennej Lagrange’a
Dane
78
.
362
)
(
,
15
1
1
=
=
t
v
t
35
.
517
)
(
,
20
2
2
=
=
t
v
t
04
.
227
)
(
,
10
0
0
=
=
t
v
t
97
.
602
)
(
,
5
.
22
3
3
=
=
t
v
t
Znaleźć drogę przebytą w czasie od 11s do 16 s. Znaleźć
przyspieszenie w chwili t=16 s.
Porównać wyniki z uzyskanymi na podstawie interpolacji metodą
bezpośredniej i Newtona.
Met.Numer. wykład 3
57
Rząd wielomianu
1
2
3
v(t=16)
m/s
393.69 392.19 392.06
Błąd względny
przybliżenia
---------- 0.38502
%
0.033427 %
Porównanie
20
Met.Numer. wykład 3
58
Niech dane będą punkty: 0, 1, 3, 6. Znaleźć wielomian interpolacyjny
Lagrange’a, który będzie przybliżać funkcję
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
⋅
=
x
x
f
6
sin
2
)
(
π
Rozwiązanie:
Wartości funkcji f(x) w węzłach interpolacji są następujące:
Można pokazać, że wielomian interpolacyjny Lagrange’a przyjmuje
postać:
( )
( )
( )
( )
.
0
6
,
2
3
,
1
1
,
0
0
3
2
1
0
=
=
=
=
=
=
=
=
f
y
f
y
f
y
f
y
( )
15
17
90
11
90
2
3
3
x
x
x
x
W
+
−
−
=
Wzór interpolacyjny Lagrange’a -
przykład
Met.Numer. wykład 3
59
funkcja f(x)
Wielomian interpolacyjny „przybliża” funkcję f(x) tylko pomiędzy
skrajnymi węzłami, tzn. w przedziale [0,6].
Im mniejsze odległości między węzłami, tym lepsze przybliżenie
uzyskujemy
-15
-10
-5
0
5
10
15
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
y
x
2sin(
π/6∗
x)
( )
15
17
90
11
90
2
3
3
x
x
x
x
W
+
−
−
=
wielomian
interpolacyjny W
3
(x)
Wzór interpolacyjny Lagrange’a -
przykład
Met.Numer. wykład 3
60
Z jaką dokładnością wielomian interpolacyjny W
n
(x) przybliża
funkcję f(x) w pozostałych punktach leżących wewnątrz przedziału
<a, b>?
∏ −
⋅
+
≤
−
=
+
>
∈<
n
i
i
n
b
a
x
n
x
x
n
x
f
x
W
x
f
0
)
1
(
,
)
(
)!
1
(
)
(
sup
)
(
)
(
Oszacowanie błędu wzoru
interpolacyjnego
Zakładamy, że funkcja f(x) w rozpatrywanym przedziale <a, b>
ma pochodne do rzędu (n+1) włącznie.
zależy od wyboru węzłów interpolacji
21
Met.Numer. wykład 3
61
Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych-spline
Motywacja
Wady interpolacji wielomianowej:
Pogorszenie wyników interpolacji przy zwiększaniu liczby węzłów.
Przykład:
Zjawisko Rungego (przykład źle uwarunkowanego zadania):
Interpolacja wielomianami wysokich stopni przy stałych odległościach
węzłów prowadzi do poważnych odchyleń od interpolowanej funkcji
zwłaszcza na końcach przedziału. Interpolacja na środkowych
częściach przedziału jest natomiast bardzo dobra i użyteczna
Przykład:
x
x
f
=
)
(
2
25
1
1
)
(
x
x
f
+
=
Met.Numer. wykład 3
62
Interpolacja wielomianowa szczególnych funkcji
x
x
f
=
)
(
Met.Numer. wykład 3
63
Zjawisko Rungego
22
Met.Numer. wykład 3
64
Interpolacja za pomocą liniowych
funkcji sklejanych
Mając dane punkty:
)
,
(
),
,
),...(
,
(
),
,
(
1
1
1
1
0
0
n
n
n
n
y
x
y
x
y
x
y
x
−
−
prowadzimy linie proste pomiędzy punktami.
Met.Numer. wykład 3
65
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
1
0
1
0
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
−
−
−
+
=
1
0
x
x
x
≤
≤
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
−
−
−
+
=
2
1
x
x
x
≤
≤
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
−
−
−
−
−
−
−
+
=
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
.
.
.
n
n
x
x
x
≤
≤
−1
nachylenie prostej
pomiędzy węzłami
Interpolacja za pomocą liniowych
funkcji sklejanych
Met.Numer. wykład 3
66
Mając dane punkty:
)
,
(
),
,
),...(
,
(
),
,
(
1
1
1
1
0
0
n
n
n
n
y
x
y
x
y
x
y
x
−
−
zapisujemy różne funkcje kwadratowe pomiędzy każdą parą
punktów.
Interpolacja kwadratowa za pomocą
funkcji sklejanych
23
Met.Numer. wykład 3
67
1
1
2
1
)
(
c
x
b
x
a
x
f
+
+
=
1
0
x
x
x
≤
≤
2
1
x
x
x
≤
≤
.
.
.
n
n
x
x
x
≤
≤
−1
Znaleźć współczynniki
Interpolacja kwadratowa za pomocą
funkcji sklejanych
2
2
2
2
)
(
c
x
b
x
a
x
f
+
+
=
n
n
n
c
x
b
x
a
x
f
+
+
=
2
)
(
i
i
i
c
b
a
,
,
n
i
,...,
2
,
1
=
Mamy 3n niewiadomych czyli potrzebujemy 3n równań
Met.Numer. wykład 3
68
1
0
1
2
0
1
0
)
(
c
x
b
x
a
x
f
+
+
=
.
.
.
Interpolacja kwadratowa za pomocą
funkcji sklejanych
n
n
n
n
n
n
c
x
b
x
a
x
f
+
+
=
2
)
(
Każda parabola przechodzi przez dwa sąsiednie punkty,
czyli mamy 2n równań
1
1
1
2
1
1
1
)
(
c
x
b
x
a
x
f
+
+
=
n
n
n
n
n
n
c
x
b
x
a
x
f
+
+
=
−
−
−
1
2
1
1
)
(
.
.
.
i
i
i
i
i
i
c
x
b
x
a
x
f
+
+
=
−
−
−
1
2
1
1
)
(
i
i
i
i
i
i
c
x
b
x
a
x
f
+
+
=
2
)
(
Met.Numer. wykład 3
69
.
.
.
Interpolacja kwadratowa za pomocą
funkcji sklejanych
Dodatkowe warunki otrzymujemy żądając ciągłości
pierwszych pochodnych w n-1 wewnętrznych punktach
węzłowych:
1
1
2
b
x
a
+
1
1
2
1
c
x
b
x
a
+
+
dla
2
2
2
2
c
x
b
x
a
+
+
2
2
2
b
x
a
+
)
(x
f
)
(
' x
f
a zatem
2
1
2
1
1
1
2
2
b
x
a
b
x
a
+
=
+
n
n
n
n
n
n
b
x
a
b
x
a
+
=
+
−
−
−
−
1
1
1
1
2
2
24
Met.Numer. wykład 3
70
.
.
.
Interpolacja kwadratowa za pomocą
funkcji sklejanych
Prowadzi to do n-1 równań postaci:
Całkowita liczba równań wynosi 2n+(n-1)=3n-1
0
2
2
2
1
2
1
1
1
=
−
−
+
b
x
a
b
x
a
0
2
2
1
1
1
1
=
−
−
+
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
b
x
a
b
x
a
0
2
2
3
2
3
2
2
2
=
−
−
+
b
x
a
b
x
a
.
.
.
0
2
2
1
1
=
−
−
+
+
+
i
i
i
i
i
i
b
x
a
b
x
a
Potrzebne jedno równanie może przyjąć postać np.
0
1
=
a
Pierwsza funkcja sklejana jest liniowa.
Met.Numer. wykład 3
71
Przykład
Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę interpolacji
za pomocą kwadratowych funkcji sklejanych
t(s)
v(m/s)
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t
0
5
10
15
20
25
30
0
200
400
600
800
1000
p
red
ko
sc v
(m
/
s)
czas t(s)
dane
Met.Numer. wykład 3
72
,
)
(
1
1
2
1
c
t
b
t
a
t
v
+
+
=
10
0
≤
≤ t
,
2
2
2
2
c
t
b
t
a
+
+
=
15
10
≤
≤ t
,
3
3
2
3
c
t
b
t
a
+
+
=
20
15
≤
≤ t
,
4
4
2
4
c
t
b
t
a
+
+
=
5
.
22
20
≤
≤ t
,
5
5
2
5
c
t
b
t
a
+
+
=
30
5
.
22
≤
≤ t
Rozwiązanie
25
Met.Numer. wykład 3
73
,
)
(
1
1
2
1
c
t
b
t
a
t
v
+
+
=
10
0
≤
≤ t
0
)
0
(
)
0
(
1
1
2
1
=
+
+
c
b
a
04
.
227
)
10
(
)
10
(
1
1
2
1
=
+
+
c
b
a
Każda funkcja sklejana przechodzi przez
dwa sąsiednie punkty
0
5
10
15
20
25
30
0
200
400
600
800
1000
pre
d
k
o
sc
v(
m
/
s)
czas t(s)
dane
Met.Numer. wykład 3
74
04
.
227
)
10
(
)
10
(
2
2
2
2
=
+
+
c
b
a
78
.
362
)
15
(
)
15
(
2
2
2
2
=
+
+
c
b
a
78
.
362
)
15
(
)
15
(
3
3
2
3
=
+
+
c
b
a
35
.
517
)
20
(
)
20
(
3
3
2
3
=
+
+
c
b
a
67
.
901
)
30
(
)
30
(
5
5
2
5
=
+
+
c
b
a
35
.
517
)
20
(
)
20
(
4
4
2
4
=
+
+
c
b
a
97
.
602
)
5
.
22
(
)
5
.
22
(
4
4
2
4
=
+
+
c
b
a
97
.
602
)
5
.
22
(
)
5
.
22
(
5
5
2
5
=
+
+
c
b
a
t(s)
v(m/s)
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
Dalsze równania
Jest 10 równań, 15
poszukiwanych
współczynników
Met.Numer. wykład 3
75
,
)
(
1
1
2
1
c
t
b
t
a
t
v
+
+
=
10
0
≤
≤ t
,
2
2
2
2
c
t
b
t
a
+
+
=
15
10
≤
≤ t
(
)
(
)
10
2
2
2
2
10
1
1
2
1
=
=
+
+
=
+
+
t
t
c
t
b
t
a
dt
d
c
t
b
t
a
dt
d
(
)
(
)
10
2
2
10
1
1
2
2
=
=
+
=
+
t
t
b
t
a
b
t
a
( )
( )
2
2
1
1
10
2
10
2
b
a
b
a
+
=
+
0
20
20
2
2
1
1
=
−
−
+
b
a
b
a
Żądanie ciągłości pochodnych
26
Met.Numer. wykład 3
76
0
)
10
(
2
)
10
(
2
2
2
1
1
=
−
−
+
b
a
b
a
0
)
15
(
2
)
15
(
2
3
3
2
2
=
−
−
+
b
a
b
a
0
)
20
(
2
)
20
(
2
4
4
3
3
=
−
−
+
b
a
b
a
0
)
5
.
22
(
2
)
5
.
22
(
2
5
5
4
4
=
−
−
+
b
a
b
a
dla t=10s
dla t=15s
dla t=20s
dla t=22.5s
4 dodatkowe równania
Żądanie ciągłości pochodnych - cd
0
1
=
a
ostatnie równanie
Met.Numer. wykład 3
77
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
−
−
−
−
−
0
0
0
0
0
67
.
901
97
.
602
97
.
602
35
.
517
35
.
517
78
.
362
78
.
362
04
.
227
04
.
227
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
45
0
1
45
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
40
0
1
40
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
30
0
1
30
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
20
0
1
20
1
30
900
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
5
.
22
25
.
506
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
5
.
22
25
.
506
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
20
400
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
20
400
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
15
225
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
15
225
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
10
100
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
10
100
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
Ostateczny układ 15 równań na 15 niewiadomych
Met.Numer. wykład 3
78
i
a
i
b
i
c
i
a
i
b
i
c
i
1
0
22.704
0
2
0.8888
4.928
88.88
3
-0.1356
35.66
-141.61
4
1.6048
-33.956
554.55
5
0.20889
28.86
-152.13
Wartości współczynników
Proszę sprawdzić czy podane wartości są prawidłowe
27
Met.Numer. wykład 3
79
,
704
.
22
)
(
t
t
v
=
10
0
≤
≤ t
,
88
.
88
928
.
4
8888
.
0
2
+
+
=
t
t
15
10
≤
≤ t
,
61
.
141
66
.
35
1356
.
0
2
−
+
−
=
t
t
20
15
≤
≤ t
,
55
.
554
956
.
33
6048
.
1
2
+
−
=
t
t
5
.
22
20
≤
≤ t
,
13
.
152
86
.
28
20889
.
0
2
−
+
=
t
t
30
5
.
22
≤
≤ t
Ostateczne rozwiązanie
Met.Numer. wykład 3
80
a) Prędkość w chwili t=16s
,
704
.
22
)
(
t
t
v
=
10
0
≤
≤ t
,
88
.
88
928
.
4
8888
.
0
2
+
+
=
t
t
15
10
≤
≤ t
,
61
.
141
66
.
35
1356
.
0
2
−
+
−
=
t
t
20
15
≤
≤ t
,
55
.
554
956
.
33
6048
.
1
2
+
−
=
t
t
5
.
22
20
≤
≤ t
,
13
.
152
86
.
28
20889
.
0
2
−
+
=
t
t
30
5
.
22
≤
≤ t
( )
( )
( )
m/s
24
.
394
61
.
141
16
66
.
35
16
1356
.
0
16
2
=
−
+
−
=
v
Prędkość w określonym punkcie
Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość
prędkości z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji
wielomianowej
Met.Numer. wykład 3
81
,
704
.
22
)
(
t
t
v
=
10
0
≤
≤ t
,
88
.
88
928
.
4
8888
.
0
2
+
+
=
t
t
15
10
≤
≤ t
,
61
.
141
66
.
35
1356
.
0
2
−
+
−
=
t
t
20
15
≤
≤ t
,
55
.
554
956
.
33
6048
.
1
2
+
−
=
t
t
5
.
22
20
≤
≤ t
,
13
.
152
86
.
28
20889
.
0
2
−
+
=
t
t
30
5
.
22
≤
≤ t
16
)
(
)
16
(
=
=
t
t
v
dt
d
a
b) Acceleration at t=16
Przyspieszenie w określonym punkcie
28
Met.Numer. wykład 3
82
Funkcja kwadratowa sklejana prawdziwa w punkcie t=16s jest
dana jako
)
61
.
141
66
.
35
1356
.
0
(
)
(
2
−
+
−
=
t
t
dt
d
t
a
,
66
.
35
2712
.
0
+
−
=
t
66
.
35
)
16
(
2712
.
0
)
16
(
+
−
=
a
2
m/s
321
.
31
=
,
( )
,
61
.
141
66
.
35
1356
.
0
2
−
+
−
=
t
t
t
v
20
15
≤
≤ t
Przyspieszenie w określonym punkcie
Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość
przyspieszenia z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji
wielomianowej
Met.Numer. wykład 3
83
c) Znaleźć drogę przebytą przez rakietę od t=11s do t=16s.
,
704
.
22
)
(
t
t
v
=
10
0
≤
≤ t
,
88
.
88
928
.
4
8888
.
0
2
+
+
=
t
t
15
10
≤
≤ t
,
61
.
141
66
.
35
1356
.
0
2
−
+
−
=
t
t
20
15
≤
≤ t
,
55
.
554
956
.
33
6048
.
1
2
+
−
=
t
t
5
.
22
20
≤
≤ t
,
13
.
152
86
.
28
20889
.
0
2
−
+
=
t
t
30
5
.
22
≤
≤ t
( ) ( )
∫
=
−
16
11
)
(
11
16
dt
t
v
S
S
Droga z profilu prędkości
Met.Numer. wykład 3
84
( )
,
88
.
88
928
.
4
8888
.
0
2
+
+
=
t
t
t
v
15
10
≤
≤ t
,
61
.
141
66
.
35
1356
.
0
2
−
+
−
=
t
t
20
15
≤
≤ t
( ) ( )
∫
∫
∫
+
=
=
−
16
11
15
11
16
15
)
(
)
(
)
(
11
16
dt
t
v
dt
t
v
dt
t
v
S
S
∫
∫
−
+
−
+
+
+
=
16
15
2
15
11
2
)
61
.
141
66
.
35
1356
.
0
(
)
88
.
88
928
.
4
8888
.
0
(
dt
t
t
dt
t
t
m
9
.
1595
=
Droga z profilu prędkości
Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość
przebytej odległości z wartością otrzymaną za pomocą
interpolacji wielomianowej
29
Met.Numer. Wykład 4
85
Błąd wzoru interpolacyjnego
∏ −
⋅
+
≤
−
=
+
>
∈<
n
i
i
n
b
a
x
n
x
x
n
x
f
x
W
x
f
0
)
1
(
,
)
(
)!
1
(
)
(
sup
)
(
)
(
)
(
sup
)
1
(
,
1
x
f
M
n
b
a
x
n
+
>
∈<
+
=
Przyjmujemy oznaczenia:
)
)...(
)(
(
)
(
1
0
n
n
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
ω
Kres górny modułu (n+1)-szej pochodnej funkcji f(x) na przedziale
<a,b
>
Met.Numer. Wykład 4
86
Błąd wzoru interpolacyjnego
)
(
)!
1
(
)
(
)
(
1
x
n
M
x
W
x
f
n
n
n
ω
⋅
+
≤
−
+
4
)
4
(
103
,
100
4
100
6
)
(
sup
=
=
>
∈<
x
f
M
x
4
)
4
(
6
)
(
,
103
,
100
,
3
),
ln(
)
(
x
x
f
b
a
n
x
x
f
−
=
=
=
=
=
Przykład:
Ocenić, z jaką dokładnością można obliczyć wartość ln 100,5 przy
użyciu wzoru interpolacyjnego Lagrange’a, jeżeli dane są wartości:
ln 100, ln 101, ln 102, ln 103
9
4
10
344
,
2
5
,
2
5
,
1
5
,
0
5
,
0
!
4
100
6
)
5
,
100
(
5
,
100
ln
−
⋅
≈
⋅
⋅
⋅
⋅
≤
−W
Met.Numer. Wykład 4
87
Optymalny dobór węzłów interpolacji
)
(
)!
1
(
)
(
)
(
1
x
n
M
x
W
x
f
n
n
n
ω
⋅
+
≤
−
+
Wielkość błędu zależy od wyboru węzłów interpolacji poprzez ω
n
.
Na M
n+1
nie mamy wpływu.
Jak wybrać węzły interpolacji x
i
, aby:
)
(
sup
,
x
n
b
a
x
ω
>
∈<
miało jak najmniejszą wartość
Zagadnienie zostało sformułowane przez rosyjskiego matematyka
P.L. Czebyszewa jako zagadnienie znajdowania wielomianu
algebraicznego najlepiej przybliżającego zero na zadanym
przedziale.
30
Met.Numer. Wykład 4
88
Wielomiany Czebyszewa
x
x
arc
x
T
=
=
)
cos
cos(
)
(
1
)
cos
cos(
)
(
x
arc
n
x
T
n
=
)
(
)
(
2
)
(
2
1
x
T
x
xT
x
T
n
n
n
−
−
−
=
Wielomiany Czebyszewa
(pierwszego rodzaju):
Można pokazać, że wielomian T
n
(x) jest identyczny z pewnym
wielomianem algebraicznym „zawężonym” do przedziału <-1,1>.
wzór rekurencyjny
1
)
(
0
=
x
T
1
2
)
cos
2
cos(
)
(
2
2
−
=
=
x
x
arc
x
T
x
x
x
arc
x
T
3
4
)
cos
3
cos(
)
(
3
3
−
=
=
Met.Numer. Wykład 4
89
Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są rozwiązaniem
równania różniczkowego:
0
)
(
)
(
)
(
)
1
(
2
2
2
2
=
+
−
−
x
T
n
dx
x
dT
x
dx
x
T
d
x
n
n
n
Wielomiany Czebyszewa
Definiuje się je poprzez wzór Rodriguesa:
( )
(
)
[
]
2
1
2
2
1
!
)!
1
2
(
1
1
)
(
−
−
−
−
−
=
n
n
n
n
n
x
dx
d
n
x
x
T
2
1
1
)
(
x
x
w
−
=
Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są ortogonalne w
przedziale <-1,1> z wagą:
Met.Numer. Wykład 4
90
Optymalny dobór węzłów interpolacji
1
,...,
2
,
1
,
0
),
2
1
2
cos(
−
=
+
=
n
m
n
m
x
m
π
Każdy wielomian Czebyszewa stopnia n ma n różnych pierwiastków w
punktach:
Współczynnik przy najwyższej potędze w T
n
(x) jest równy 2
n-1
.
zawartych między -1 i +1
)
)...(
)(
(
)
(
2
1
)
(
1
0
1
1
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
T
x
T
−
−
−
=
=
+
∗
+
Szukamy wielomianu, który przy najwyższej potędze ma
współczynnik równy jedności
gdzie x
m
(m=0, 1, 2, …, n) są pierwiastkami wielomianu T
n+1
31
Met.Numer. Wykład 4
91
Optymalny dobór węzłów interpolacji
)
(
sup
,
x
n
b
a
x
ω
>
∈<
)
)...(
)(
(
)
(
2
1
)
(
1
0
1
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
T
x
−
−
−
=
=
+
ω
Wyrażenie:
wówczas:
w przedziale <-1,1> ma najmniejszą wartość dla wielomianu:
n
n
x
x
2
1
)
(
sup
1
,
1
=
>
−
∈<
ω
)!
1
(
2
)
(
)
(
1
+
≤
−
+
n
M
x
W
x
f
n
n
n
Jeżeli w przedziale <-1,1> za węzły interpolacji przyjmiemy zera
wielomianu Czebyszewa, to
Met.Numer. Wykład 4
92
Optymalny dobór węzłów interpolacji
W dowolnym przedziale <a,b> oszacowanie błędu wynosi:
Nowe węzły x
m
nie są rozmieszczone w równych odstępach lecz
są zagęszczone przy końcach przedziału.
przy wyborze węzłów
1
2
1
1
2
)
(
)!
1
(
)
(
)
(
+
+
+
−
+
≤
−
n
n
n
n
a
b
n
M
x
W
x
f
(
)
a
b
x
a
b
z
−
−
−
=
2
1
n
m
a
b
n
m
a
b
x
m
,...,
2
,
1
,
0
,
)
(
)
2
2
1
2
cos
)
(
2
1
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+
+
+
−
=
π
(
)
[
]
)
(
2
1
a
b
z
a
b
x
+
+
−
=
Proste transformacje liniowe sprowadzają
x z przedziału <a,b> do z należącego do
<-1,1>
Met.Numer. Wykład 4
93
Podsumowanie interpolacji
Przeczytać i przeanalizować rozdział 1.2.8 Uwagi końcowe,
Z.Fortuna, B.Macukow, J.Wąsowski, Metody numeryczne
1. Przy obliczaniu wartości wielomianu interpolacyjnego w
jednym lub kilku punktach problem wyboru postaci wzoru
interpolacyjnego nie jest istotny.
2. Rodzaj wybranego wzoru i rozmieszczenie węzłów ma wpływ
jedynie na błąd obliczeń.
3. O czasochłonności obliczeń decyduje liczba mnożeń i dzieleń.
Wnioski:
dla wielomianu Lagrange’a stanowi to n
2
+4n+2
dla wielomianu Newtona 1/2 n
2
+3/2 n
2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2013 wyklad1id 28365 Nieznany
2013 wyklad2id 28366 Nieznany
Badania operacyjne wyklad 2 id Nieznany
GIELDA NA EGZAMIN 2013 id 19029 Nieznany
historia gospodarcza wyklady id Nieznany
zezwolenie okresowe 2013 dn id Nieznany
Demografia społeczna wykład 2 10 2013, wykład 3 $ 10 2013
Chemia ogolna wyklady 5 6 2012 Nieznany
Inzynieria wyklad wprowadzajacy Nieznany
Lista1 PDE 2013 id 270304 Nieznany
Ocena zgodnosci wyklad 4 akredy Nieznany
OE egz1 2013 id 333220 Nieznany
10 03 2013 Wid 10701 Nieznany
cennik 09 2013 id 109720 Nieznany
FINANSE PUBLICZNE - 22.10.2013, Wykłady(4)
7 05 2013 grammaire contrastive Nieznany (2)
09 wykladid 8098 Nieznany
Materialoznawstwo Wyklad6 Diese Nieznany
więcej podobnych podstron