Zadania z przedmiotu

Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr

seria 1

1. Czy dzia lanie ∗ jest l

,

aczne w zbiorze M , je´sli:

(1) M = N, x ∗ y = x

y

;

(2) M = N, x ∗ y = 2xy;
(3) M = Z, x ∗ y = x

2

+ y

2

;

(4) M = R

∗

, x ∗ y = x · y

x

|x|

;

(5) M = N, x ∗ y = N W D(x, y);
(6) M = Z, x ∗ y = x − y;
(7) M = R, x ∗ y = sin x · sin y;
(8) M = R \ {−1}, x ∗ y = x + y + xy?

2. Niech M b

,

edzie niepustym zbiorem. W zbiorze M × M = {(x, y) | x, y ∈ M } jest okre´slone

dzia lanie ∗ wzorem (x, y) ∗ (z, t) = (x, t). Czy dzia lanie to jest l

,

aczne? Czy istniej

,

a elementy

neutralne dzia lania ∗?

3. Ile dzia la´

n dwuargumentowych mo˙zna okre´sli´

c w zbiorze k-elementowym? Ile z nich jest

przemiennych?

4. Dla dowolnego zbioru M w zbiorze 2

M

(wszystkich podzbior´

ow zbioru M ) okre´slamy r´

o˙znic

,

e

symetryczn

,

a zbior´

ow nast

,

epuj

,

acym wzorem:

A ÷ B = (A − B) ∪ (B − A).

Wykaza´

c, ˙ze dzia lanie ÷ jest przemienne i l

,

aczne. Znale´

z´

c element neutralny dzia lania ÷. Kt´

ore

elementy s

,

a odwracalne? Wykaza´

c, ˙ze dzia lanie ∩ jest rozdzielne wzgl

,

edem ÷.

5

∗

. Dzia lanie ∗ w zbiorze liczb rzeczywistych ma w lasno´s´

c (a ∗ b) ∗ c = a + b + c. Udowodni´

c, ˙ze

a ∗ b = a + b.

6. Wykaza´

c, ˙ze je´sli M =



2m

2n+1

| m, n ∈ Z

oraz x ∗ y = x + y + xy dla x, y ∈ M , to (M, ∗) jest

grup

,

a przemienn

,

a.

7. Poda´

c przyk lady addytywnych grup liczbowych zawartych w grupie Q i zawieraj

,

acych grup

,

e

Z. Czy ka ˙zda addytywna grupa liczbowa zawarta w Q ma niezerowy przekr´

oj z Z? Czy istniej

,

a

w Q dwie niezerowe addytywne podgrupy, kt´orych przekr´oj zawiera tylko 0?

8. Opisa´

c multiplikatywne grupy Z

∗
m

za pomoc

,

a tabelki dla m = 6, 8, 12, 24.

9. Wyznaczy´

c rz

,

ad grupy multiplikatywnej Z

∗
m

, gdy m jest pot

,

eg

,

a liczby pierwszej p.

10. Niech O(Π), O

X

(Π) b

,

ed

,

a odpowiednio: zbiorem wszystkich obrot´

ow p laszczyzny Π oraz

zbiorem wszystkich obrot´

ow p laszczyzny Π wok´

o l ustalonego punktu X ∈ Π. Czy zbiory te wraz

z dzia laniem sk ladania obrot´

ow s

,

a grupami?

11

∗

. Wyznaczy´

c wszystkie liczby naturalne m takie, ˙ze w grupie Z

∗
m

ka˙zdy element spe lnia

warunek x

2

= 1.

12. Wykaza´

c, ˙ze w grupach Z

∗
m

dla m = 3, 5, 16 wszystkie elementy spe lniaj

,

a warunek x

4

= 1.

Na tej podstawie wykaza´

c, ˙ze je´sli p jest liczb

,

a pierwsz

,

a p ≥ 7, to 240 | p

4

− 1.

13. Dane s

,

a permutacje σ =

 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 8 9 4 3 7 6 1 5



, τ =

 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 4 5 8 7 1 9 6 2



.

Obliczy´

c σ ◦ τ, τ ◦ σ, σ

−1

, τ

−1

. Roz lo˙zy´

c σ, τ na cykle roz l

,

aczne. Obliczy´

c σ

35

◦ τ

−40

. Roz lo˙zy´

c

σ, τ na transpozycje.

14. Sporz

,

adzi´

c tabelki dzia la´

n dla grup izometrii w lasnych nast

,

epuj

,

acych figur: a) prostok

,

atny

tr´

oj

,

at r´

ownoramienny, b) prostok

,

at r´

o˙zny od kwadratu c) kwadrat. Wyznacz podgrupy tych

grup.

1