C 01 p

ILOCZYNY WEKTORÓW

cos ( , )

a b ab

a b

� =

 Iloczyn skalarny dwu
wektorów:

(

) (

)

x x

y y

z z

x x

y y

z z

x x

y y

z z

a b

a i

b i

a b a b a b

� =

�

• W kartezjańskim układzie współrzędnych prostokątnych:

 Iloczyn skalarny dwu wektorów w układzie
współrzędnych
cylindrycznych ρ, φ, z:

(

) (

)

z z

a b

a i

b i

r r

j j

r r

j j

� =

�

a b

z z

a b a b

a b

r r

j j

� =

 Iloczyn skalarny dwu wektorów w układzie
współrzędnych
sferycznych r, θ, φ :

(

) (

)

r r

a b

a i

b i

q q

j j

q q

j j

� =

�

a b

r r

a b a b a b

a b

q q

� =

C 01 p

ILOCZYNY WEKTORÓW (2)

sin ( , )

a b ab

a b

� =

 Iloczyn wektorowy jest wektorem,
którego:

1. moduł wynosi

a b

�

2. kierunek jest prostopadły do płaszczyzny

rozpiętej na wektorach

a b

3. zwrot taki, że trójka uporządkowana ma taką

orientację jak przestrzeń, w której definiujemy iloczyn
wektorowy

, ,

a b a b

�

 Podstawowe własności iloczynu
wektorowego

• Podstawowe związki

(

)

a b

b a

� =-

�

a a

� =

r r

(

)

(

) 0

a a b

b a b

״ =

r r

(

)

(

)

ma b m a b

� =

�

(

)

a b c

a b a c

� + = � + �

r r

[(

) ]

(

)(

)

(

)

(

)

m n a b

m a b

n a b

� =

� +

�

C 01 p

ILOCZYNY WEKTORÓW (3)

• Związki wyrażone przez wektory
bazy

1 2 3

, ,

i i i

r r r

1 1

2 2

3 3

a a i a i

a i

1 1

2 2

3 3

b bi b i

i i

i i i i

a b

�

� =

r r r r r r

• Związki w kartezjańskich współrzędnych
prostokątnych

i i

� = � = � =

r r

� =

r r

i i

� =

r r

� =

r r

a b

� =

C 01 p

ILOCZYNY WEKTORÓW (4)

x x

y y

z z

a a i

a i

x x

y y

z z

b b i

b i

a b a

� =

(

)

(

)

(

)

y z

z y

z x

x z

x y

y x

a b a b i

a b

a b i

• Wybrane, podstawowe tożsamości
algebraiczne

(

)

(

)

(

)

A B C

B C A

C A B

״ =

r r

(

) (

)

(

)

A B C

C A B

A B C

� � = �

�

r r

C 01 p

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH


Współrzędne
sferyczne
(r, θ, φ):


Współrzędne

cylindryczne
(ρ, φ, z):

 Współrzędne
prostokątne
(x, y, z):

r xi

cos

x r

sin

y r

z z

sin cos

x r

sin sin

y r

cos

z r

C 01 p

TRANSFORMACJA WEKTORÓW

A i

= �

r r

• Obliczyć należy następujące iloczyny:

• Iloczyn skalarny wektora przez wersor to składowa tego wektora
w kierunku wersora.

• Powyższa cecha iloczynu skalarnego wektorów
pozwala

transformację

wektora

jednego

układu

współrzędnych

drugiego.

 Transformacja wektora
z współrzędnych prostokątnych do współrzędnych
cylindrycznych:

z z

A A i

A i

r r

j j

x x

y y

z z

A A i

A i

= �

r r

C 01 p

TRANSFORMACJA WEKTORÓW (2)

(

)

(

)

(

)

(

)

x x

y y

z z

x x

z z

A i

A i i

= � =

� =

� +

�

r r

i i

� =

r r

i i

� =

r r

i i

� =

r r

C 01 p

TRANSFORMACJA WEKTORÓW (3)

(

)

(

)

(

)

(

)

x x

y y

z z

x x

z z

A i

Ai i

A i i

= � =

� =

� +

�

r r

(cos

sin

) cos

i i

� = �

r r

i i

� =

r r

(cos

sin

) sin

i i

� = �

r r

cos

sin

cos

sin

C 01 p

TRANSFORMACJA WEKTORÓW (4)

(

)

(

)

(

)

(

)

x x

y y

z z

x x

z z

A i

A i i

= � =

� =

� +

�

r r

i i

� =

r r

i i

� =

r r

i i

� =

r r

cos

sin

C 01 p

TRANSFORMACJA WEKTORÓW (5)

(

)

(

)

(

)

(

)

x x

y y

z z

x x

z z

A i

A i i

= � =

� =

� +

�

r r

( sin

cos

)

sin

i i

� = �-

r r

i i

� =

r r

( sin

cos

) sin

i i

� = �-

r r

( sin )

cos

sin

cos

� � �

��

� � �

��

= -

� � �

��

�

� �

�

� �

cos

sin

cos

C 01 p

ANALIZA WEKTORÓW

( , , )

u u u

x y z

�

( , , ),

u x y z

 Operacje różniczkowe wektorowe we współrzędnych
krzywoliniowych

• W przestrzeni trójwymiarowej oprócz układu
współrzędnych
prostokątnych wprowadzamy układ krzywoliniowy za
pomocą
związków klasy C

( , , ),

u x y z

( , , )

u x y z

przy czym powyższy układ jest lokalnie odwracalny

( , , ),

x x u u u

( , , ),

y y u u u

( , , )

z z u u u

co wynika z założenia, że

C 01 p

ANALIZA WEKTORÓW

� � �

�

� � �

�

• Wektory styczne do linii współrzędnych układu
krzywoliniowego
są następujące:

o długościach (zwanych współczynnikami
Lamégo):

� � �

�

� � �

�

� � �

�

� � �

�

� � � � � �

�

� � � � � �

�

� � � � � �

�

� � � � � �

�

� � � � � �

�

� � � � � �

C 01 p

ANALIZA WEKTORÓW

• Zakładamy, że układ krzywoliniowy jest układem
ortogonalnym
o wektorach jednostkowych (wersorach) wektorów
stycznych

linii współrzędnych:

1 2 3

, ,

i i i

r r r

• Elementy skierowane we współrzędnych krzywoliniowych

d ,d

l s

r r

1 1

2 2

3 3

h ui

h u i

2 3

3 1

1 3

3 2

1 2

2 3

d d

s h h u u i

hh u u i

• Element objętości we współrzędnych krzywoliniowych

1 2 3

d d d

v hh h u u u

• Równanie linii sił pola

h u

gdzie

1 1

2 2

3 3

A Ai

A i

- pole wektorowe

C 01 p

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

• Wyznaczanie składowych wektora w układzie
współrzędnych
prostokątnych gdy znamy współrzędne wektora w
układzie
współrzędnych krzywoliniowych

h u

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

� � �

�

C 01 p

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

• Wyznaczanie składowych wektora w układzie
współrzędnych
krzywoliniowych gdy znamy współrzędne wektora w
układzie
współrzędnych prostokątnych

h u

�

��

� � �

�

� � �

��

� �

�

� �

� � �

�

� � �

��

� �

�

��

� �

�

C 01 p

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

 Transformacja współrzędnych z prostokątnych
(x, y, z)
do cylindrycznych (ρ, φ, z):

cos

sin

z z

cos

sin

�

� � � � � �

�

� � � � � �

sin

cos

�

� � � � � �

�

� � � � � �

�

� � � � � �

�

•

Współczynnikami

Lamégo:

C 01 p

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

• Wektor we współrzędnych prostokątnych wyrażony
przez
współrzędne wektora w układzie współrzędnych
cylindrycznych

x A

h z

�

��

� � �

�

� � �

��

� � �

�

� � �

�

� � �

��

� � �

�

� � �

��

� �

�

cos

sin

cos

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

h z

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �=

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

cos

sin

cos

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

• Wektor we współrzędnych cylindrycznych wyrażony
przez
współrzędne wektora w układzie współrzędnych
prostokątnych

C 01 p

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

 Transformacja współrzędnych z prostokątnych
(x, y, z)
do sferycznych (r, θ, φ):

sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

sin cos

sin sin

cos

�

� � � � � �

�

cos cos

cos sin

sin

�

� � � � � �

�

•

Współczynnikami

Lamégo:

sin sin

sin cos

sin

�

� � � � � �

�

� � � � � �

C 01 p

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

• Wektor we współrzędnych prostokątnych wyrażony
przez
współrzędne wektora w układzie współrzędnych
sferycznych

h r h

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

sin cos

cos cos

sin

sin sin

cos cos

cos

sin

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

��

h r

�

��

� � �

�

� � �

��

� �

�

� �

� � �

�

� � �

��

� �

�

��

� �

�

• Wektor we współrzędnych sferycznych wyrażony przez
współrzędne wektora w układzie współrzędnych
prostokątnych

sin cos

sin sin

cos

cos cos

cos sin

sin

cos

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

C 01 p

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

 Transformacja współrzędnych z cylindrycznych (ρ,
φ, z) do
sferycznych (r, θ, φ):

sin

cos

z r

sin

cos

�

� � � � � �

�

cos

sin

�

� � � � � �

�

•

Współczynnikami

Lamégo:

�

� � � � � �

�

� � � � � �

C 01 p

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

• Wektor we współrzędnych cylindrycznych wyrażony
przez
współrzędne wektora w układzie współrzędnych
sferycznych

h r h

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �=

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

sin

cos

sin

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

��

• Wektor we współrzędnych sferycznych wyrażony przez
współrzędne wektora w układzie współrzędnych
cylindrycznych

sin

0 cos

cos

sin

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

h z h z h z

�

��

� � �

�

� � �

��

� � �

�

� � �

�

� � �

��

� � �

�

� � �

��

� �

�

C 01 p

WEKTORY ZESPOLONE

• Wektor zespolony we współrzędnych
prostokątnych

( , , )

A x y z

A x y z i

( )

A r

A r i

lub

przy
czym

{

}

{

}

( ) Re

( )

( ) cos

( ) sin

A r

A r e

A r

j A r

{

}

{

}

( ) Re

( )

( ) cos

( ) sin

A r

A r e

A r

j A r

{

}

{

}

( ) Re

( )

( ) cos

( ) sin

A r

A r e

A r

j A r

C 01 p

WEKTORY ZESPOLONE (2)

• Wektory zespolone nie mają sensu fizycznego i nie
należy
przypisywać im własności geometrycznych.

• Działania na wektorach zespolonych definiuje się tak jak
na
wektorach rzeczywistych, przy czym w wyniku tam gdzie
mamy
kwadrat jednostki urojonej należy wstawić minus
jedność.

• Wektor zespolony spełnia
zależności:

( )

A r

A r A r

�

{

}

( )

A( ) Re ( )

A r

• Aby poznać własności fizyczne i geometryczne pól
należy
zawsze wyznaczyć wektory rzeczywiste.

C 01 p

WEKTORY ZESPOLONE (3)

• Obliczmy iloczyn wektorowy następujących wektorów
zespolonych:

( ) (

)

(

)

A r

x jy i

y jx i

= +

+ +

( ) (

)

(

)

B r

y jx i

x jy i

= -

+ +

C A B

= � =

r r

• Rzeczywisty wektor
:

{ }

C Re

C 01 p

WEKTORY ZESPOLONE (4)

• Obliczmy iloczyn wektorowy następujących wektorów
zespolonych:

( ) (

)

(

)

A r

x jy i

y jx i

= +

+ +

( ) (

)

(

)

B r

y jx i

x jy i

= -

+ +

(

)

( 2

2 )

j xy y

x i

j xy i

= -

(

)

(

)(

)

C A B

x jy y jx

x jy

y jx y jx i

y jx x jy

�

� �

�

= � = +

�

� �

�

r r

• Rzeczywisty wektor
:

{ }

C Re

y i

C 01 p

WEKTORY ZESPOLONE (5)

• Dany jest wektor
zespolony:

(

)

(

)

j t

j i e

ji e

w b

= +

B i

= � =

r r

• Obliczmy wektory:

C A B

= � =

r r

C 01 p

WEKTORY ZESPOLONE (6)

• Dany jest wektor
zespolony:

(

)

(

)

j t

j i e

ji e

w b

= +

B i

= �

r r

(

)

(

)

(

)

j t

C A B

j i

w b

�

= � =

= -

�

r r

• Obliczmy wektory:

C A B

= �

r r

(

)

(

)

0 1

)

j t

B i

A e

j i e

w b

�

� �

�

= � =

= -

+ +

�

r r

(

)

j t

j i e

w b

�

+ -

�

C 01 p

WEKTORY ZESPOLONE (7)

• Wyznaczmy wektory rzeczywiste
odpowiadające
wektorom zespolonym:

(

)

(

)

j t

j e

w b

= +

(

)

(

)

j t

j e

w b

+ +

A, B

r r

A Re{ } ?

B Re{ } ?

C 01 p

WEKTORY ZESPOLONE (8)

• Wyznaczmy wektory rzeczywiste
odpowiadające
wektorom zespolonym:

(

)

(

)

j t

j e

w b

= +

(

)

(

)

j t

j e

w b

+ +

A, B

r r

(

/4)

(

/2)

j t

w b p

2cos(

/4)

2sin(

/4)

w b

�

[

]

cos(

/2)

sin(

/2)

w b

A Re{ }

2cos(

/4)

cos(

/2)

w b

B Re{ } cos(

/ 2)

2cos(

/4)

w b

C 01 p

OPERATORY RÓŻNICZKOWE









div

 Operatory różniczkowe:

 gradient



 dywergencja



 rotacja



 laplasjan skalarny
 laplasjan wektorowy











rot

























)

(

�

;

r xi

( )

( , , )

U U r

U x y z

�

gdzie

- skalarna funkcja położenia

( )

( , , )

A A r

A x y z

�

- wektorowa funkcja położenia

( , , )

A x y z

A x y z i

Operator nabla:

�

D=Ѻ��Ѻ++

�

Operator Laplace’a:

grad U

��

(

)

(

)

D �� = ��

� =��

C 01 p

OPERATORY RÓŻNICZKOWE - GRADIENT

 Gradient w kartezjańskich współrzędnych
prostokątnych

�

� =

�

 Gradient we współrzędnych
cylindrycznych

r j

�

� =

�

 Gradient we współrzędnych
sferycznych

sin

q j

�

� =

�

C 01 p

STRUMIEŃ WIELKOŚCI WEKTOROWEJ

s n s

r r

• Elementarny strumień wielkości wektorowej

przez
element powierzchni reprezentowanej przez
wektor
(normalny do powierzchni i skierowany na zewnątrz
zamkniętej powierzchni) jest równy

iloczynowi

składowej
normalnej wektora przez pole powierzchni

A s A n s A s

F = � = � =

• Strumień wektora

przez

powierzchnię

A s

F =

�

r r

C 01 p

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA

lim

A s

�

�� =

�

r r

�

 Dywergencję wektora , w oparciu o twierdzenie
Gaussa

A s

�

r r

�

przy
czym

- strumień wektora wypływający z
obszaru
o objętości V

S - powierzchnia zamknięta ograniczająca objętość V

• Jeżeli w punkcie przestrzeni znajduje się skalarne źródło pola ,
to dywergencja jest różna od zera.

• Pole wektorowe, którego dywergencja jest różna od
zera,

jest

polem źródłowym



• Pole wektorowe o zerowej dywergencji jest

polem

bezźródłowym

albo

solenoidalnym



możemy przedstawić
jako:

d ,

A V

A s

��

�

r r

�

׹�

�� =

C 01 p

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – DYWERGENCJA (2)

 Dywergencja w kartezjańskich współrzędnych
prostokątnych

A i

�

�� =

�

r r

 Dywergencja we współrzędnych
cylindrycznych

(

)

r j

�

�� =

�

 Dywergencja we współrzędnych
sferycznych

(

)

(sin

)

sin

r A

q j

�

�� =

�

C 01 p

CYRKULACJA (KRĄŻENIE) POLA WEKTOROWEGO

A l

� =

�

• Niech będzie dowolnym polem wektorowym, a

niech będzie styczną
do
krzywej

wtedy całkę

krzywoliniową

cyrkulacją pola wektorowego po krzywej
zamkniętej.

nazywamy

C 01 p

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA

(

)

lim

A l

A n

�

Ѵ�=

�

r r

�

 Rotację wektora , w oparciu o twierdzenie
Stokesa

A l

�

przy
czym

- cyrkulacja pola wektorowego po
zamkniętej
dodatnio zorientowanej krzywej L

S - powierzchnia płaska

• Jeżeli rotacja pola wektorowego w określonym obszarze
jest

różna od zera

, to pole nazywa się

wirowym

• Pole wektorowe, którego rotacja jest

równa zero

w danym obszarze,

jest polem

bezwirowym

lub

potencjalnym

L – linia zamknięta będąca brzegiem
powierzchni S

możemy przedstawić w postaci:

(

) d

A n s

A l

Ѵ�=�

�

- wersor normalny do powierzchni
płaskiej S

�Ѵ�

r r

�Ѵ=

r r

C 01 p

OPERATORY RÓŻNICZKOWE – ROTACJA (2)

 Rotacja w kartezjańskich współrzędnych
prostokątnych

 Rotacja we
współrzędnych
cylindrycznych

 Rotacja we
współrzędnych
sferycznych

�

� � �

�

� � �

�

sin

�

Document Outline

Slide 1
Slide 2
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
Slide 32
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Materialy pomocnicze prezentacja maturalna
Materialy pomocnicze do cwiczen Statystyka cz I
obciazenia wiatr snieg materiały pomocnicze z budownictwa ogólnego
Materiał pomocniczy, Szkoła, wypracowania, ściągi
sciaga z ESP, Uczelnia, Technologia budowy maszyn, Materiały pomocnicze
Materiały pomocne przy nauce podsumowanie powyższych wykładów wersja mini
Materialy pomocnicze cardan AG Nieznany
Materialy pomocnicze 4 id 28534 Nieznany
Ciania PKM, Materiały pomocnicze do projektowania
Kruszarka Jednowalcowa, Uczelnia, Technologia budowy maszyn, Materiały pomocnicze
A.Materiały pomocnicze, BMR, Broń Jądrowa
Motyw dziecka, Materiały pomocnicze, Motywy literackie
Materialy, MBM PWR, Materiałoznawstwo, Materiały pomocnicze
cwiczenie nr 1 materialy pomocn Nieznany
cwiczenie nr 3 materialy pomocn Nieznany
Materiały pomocnicze LAB1
Materialy pomocnicze do testu II Gospodarka finansowa zakl

więcej podobnych podstron

C01 materialy pomocnicze

Document Outline