Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr seria 1
1. Czy dzia lanie ∗ jest laczne w zbiorze M , jeśli:
,
(1) M = N, x ∗ y = xy;
(2) M = N, x ∗ y = 2xy;
(3) M = Z, x ∗ y = x2 + y2;
x
(4) M =
∗
R , x ∗ y = x · y |x| ;
(5) M = N, x ∗ y = N W D(x, y);
(6) M = Z, x ∗ y = x − y;
(7) M = R, x ∗ y = sin x · sin y;
(8) M = R \ {−1}, x ∗ y = x + y + xy?
2. Niech M bedzie niepustym zbiorem. W zbiorze M × M = {(x, y) | x, y ∈ M } jest określone
,
dzia lanie ∗ wzorem (x, y) ∗ (z, t) = (x, t). Czy dzia lanie to jest laczne? Czy istnieja elementy
,
,
neutralne dzia lania ∗?
3. Ile dzia lań dwuargumentowych można określić w zbiorze k-elementowym? Ile z nich jest przemiennych?
4. Dla dowolnego zbioru M w zbiorze 2M (wszystkich podzbiorów zbioru M ) określamy różnice, symetryczna zbiorów nastepujacym wzorem:
,
,
,
A ÷ B = (A − B) ∪ (B − A).
Wykazać, że dzia lanie ÷ jest przemienne i laczne. Znaleźć element neutralny dzia lania ÷. Które
,
elementy sa odwracalne? Wykazać, że dzia lanie ∩ jest rozdzielne wzgledem ÷.
,
,
5∗. Dzia lanie ∗ w zbiorze liczb rzeczywistych ma w lasność (a ∗ b) ∗ c = a + b + c. Udowodnić, że a ∗ b = a + b.
6. Wykazać, że jeśli M = 2m | m, n ∈
oraz x ∗ y = x + y + xy dla x, y ∈ M , to (M, ∗) jest 2n+1
Z
grupa przemienna.
,
,
7. Podać przyk lady addytywnych grup liczbowych zawartych w grupie Q i zawierajacych grupe
,
,
Z. Czy ka żda addytywna grupa liczbowa zawarta w Q ma niezerowy przekrój z Z? Czy istnieja, w Q dwie niezerowe addytywne podgrupy, których przekrój zawiera tylko 0?
8. Opisać multiplikatywne grupy
∗
Z
za pomoca tabelki dla m = 6, 8, 12, 24.
m
,
9. Wyznaczyć rzad grupy multiplikatywnej
∗ , gdy m jest potega liczby pierwszej p.
,
Zm
,
,
10. Niech O(Π), OX(Π) beda odpowiednio: zbiorem wszystkich obrotów p laszczyzny Π oraz
,
,
zbiorem wszystkich obrotów p laszczyzny Π wokó l ustalonego punktu X ∈ Π. Czy zbiory te wraz z dzia laniem sk ladania obrotów sa grupami?
,
11∗. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne m takie, że w grupie
∗
Z
każdy element spe lnia
m
warunek x2 = 1.
12. Wykazać, że w grupach
∗
Z
dla m = 3, 5, 16 wszystkie elementy spe lniaja warunek x4 = 1.
m
,
Na tej podstawie wykazać, że jeśli p jest liczba pierwsza p ≥ 7, to 240 | p4 − 1.
,
,
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
13. Dane sa permutacje σ =
, τ =
.
,
2 8 9 4 3 7 6 1 5
3 4 5 8 7 1 9 6 2
Obliczyć σ ◦ τ, τ ◦ σ, σ−1, τ −1. Roz lożyć σ, τ na cykle roz laczne. Obliczyć σ35 ◦ τ −40. Roz lożyć
,
σ, τ na transpozycje.
14. Sporzadzić tabelki dzia lań dla grup izometrii w lasnych nastepujacych figur: a) prostokatny
,
,
,
,
trójat równoramienny, b) prostokat różny od kwadratu c) kwadrat. Wyznacz podgrupy tych
,
,
grup.
1