LICZBY ZESPOLONE

Zadanie 1 Wykonać działania. Wyniki przedstawić w postaci kartezjańskiej:

a) 4 + 3i · (5 − 7i)

f ) (3 − 2i) · i + 2i − 8

k) (2 + 4i) · (1 − 2i) + 4 − 6i

b)

i+2

2−3i

· 5i − 2

g)

(3−4i)

2

(−2+i)

2

l)

(4+2i)

2

(3−i)(2+i)

c) (1 − i)

2

− 3(3 + i)(2 − i)

h) (2 − i)

3

− (3 + 2i)(−1 − 3i)

m) 1 − i

3

· (4 − 3i)

2

d)

(5−2i)

2

(3−i)(2+2i)

i) 2 − i ·

(−1−3i)

2

(1−i)

2

n) (1 + i)

2

· (3 − 2i)

e) (3 + 2i)

2

− (1 − i) (2 + 3i)

j)

(2−i)(3+4i)

−2−i

o)

(1+2i)(−2−i)

2

(2+i)(5−2i)

Zadanie 2 Zapisać podane liczby zespolone w postaci trygonometrycznej:

a) z = −1 + i

d) z = 4i

g) z = −2

√

3 − 2i

b) z = −

√

3 + i

e) z =

√

2

2

− i

√

2

2

h) z = −2 − 2i

c) z =

√

3

2

+

1
2

i

f ) z = −3 − 3

√

3i

i) z = −1 + i

√

3

Zadanie 3 Wykonać potęgowanie. Wyniki zapisać w postaci kartezjańskiej:

a)



1
2

− i

√

3

2



5

d) (−2 − 2i)

13

g) (2 − 2i)

10

b) (−1 + i)

32

e)



−1 − i

√

3



17

h)



−

√

3 + i



7

c)



−1 + i

√

3



21

f )



√

3

2

−

1
2

i



11

i) i

43

Zadanie 4 Obliczyć:

a)

√

−16i

d)

q

1 + i

√

3

g)

q

−2 + 2

√

3 · i

b)

3

√

8

e)

3

√

−1

h)

3

√

8i

c)

4

√

16

f )

4

√

−1

i)

√

3 + 4i

Zadanie 5 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania. Wyniki zapisać w postaci kartezjań-

skiej:

a) (1 + i) z

2

− (4i − 2) z − 4 = 0

b) (z

2

− 6z + 10) (z − 4i)

3

= 0

c) (iz

2

+ (8 − i)z − 4 − 16i) (iz − 4 + i)

4

= 0

d) (iz

2

+ 2z + 3i)

4

(z

4

+ 16) = 0

e) (z

2

+ (2 + 2i) z + 1 + 2i) (z

2

− 4i) = 0

f) (iz

2

+ (4 − 2i) z + i − 4) (z

2

− 2z + 10) = 0

IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA

1

LICZBY ZESPOLONE

Zadanie 6 Sprawdzić, które z pierwiastków równania zespolonego należą do podanego zbioru:

a) (z

2

− 2z − 3iz + 3i + 1) (z

2

− 16) = 0,

A = {z ∈ C : |z| = 4}

b) (iz

2

+ (2 + i) z + 1 − i) (z − 3i + 2)

2

(z

2

+ 1) = 0,

A = {z ∈ C : Rez · Imz ­ 0}.

c) ((3 − i) z

2

+ (3 + 2i) z + i) (iz

2

+ 4z − 3i) = 0,

A = {z ∈ C :

Rez

Imz

­

1
2

}.

d) (z

3

+ 64) (z

2

+ 3iz + 5) (iz − 1)

3

= 0,

A = {z ∈ C : Argz =

kπ

2

, k ∈ Z}.

e) (z

2

+ 4z + 13) (z

2

+ 16) (iz + 5i − 2)

2

(z − i) = 0,

A = {z ∈ C : Imz − Rez ­ 1}.

Zadanie 7 Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory:

a) A = {z ∈ C : Rez ¬ 5 ∧ Imz > −3}.

b) B = {z ∈ C : 2 ¬ |z| ¬ 4 ∧ Imz < Rez}.

c) C = {z ∈ C : |z − 2 + 3i| ¬ 3 ∧ Imz > 0}.

d) D = {z ∈ C : |z − 4| ¬ 4 ∧ −

π

4

< Argz ¬

π

4

}.

e) E = {z ∈ C : |z + i| ­ 3 ∧ |z − i| ¬ 5}.

f) F = {z ∈ C : |z| − 2Rez ­ 0 ∧ Rez · Imz ¬ 0}

g) G = {z ∈ C : |Imz| ¬ 2 ∧ Rez · Imz ­ 0}

h) H = {z ∈ C : 2Rez + Imz ­ 0 ∧ Rez ­ 2}

i) I = {z ∈ C : |z − 2i| ¬ 2 ∧ Rez ­ Imz − 2}

IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA

2

ODPOWIEDZI

1. a) 25 + 15i, b) −

66
13

+

5

13

i, c) −21 + i, , d)

11
10

−

61
20

i, e) 11i, f) −6 + 5i, g) 3 − 4i, h) −1,

i) −2 + 3i, j) −5, k) 14 − 6i, l) 2 + 2i, m) 25 + 7i, n) 4 + 6i, o) −

10
29

+

25
29

i.

2. a) z =

√

2



cos

3π

4

+ i sin

3π

4



, b) z = 2



cos

5π

6

+ i sin

5π

6



, c) z = cos

π

6

+ i sin

π

6

,

d) z = 4



cos

π

2

+ i sin

π

2



, e) z = cos

7π

4

+i sin

7π

4

, f) z = 6



cos

4π

3

+ i sin

4π

3



, g) z = 4



cos

7π

6

+ i sin

7π

6



,

h) z = 2

√

2



cos

5π

4

+ i sin

5π

4



, i) z = 2



cos

2π

3

+ i sin

2π

3



.

3. a)

1
2

+ i

√

3

2

, b) 2

16

, c) 2

21

, d) 2

19

(1 + i), e) 2

16



−1 + i

√

3



, f)

√

3

2

+

1
2

i, g) −2

15

i,

h) 2

6



√

3 − i



, i) −i.

4. a) ±2

√

2(−1 + i); b) 2, −1 ± i

√

3; c) ±2, ±2i; d) ±

√

2

2

(

√

3 + i); e) −1,

1
2

± i

√

3

2

; f)

±

√

2

2

(1 + i), ±

√

2

2

(1 − i); g) ±(1 + i

√

3); h) ±

√

3 + i, −2i; i) ±(2 + i);

5. a) 2i, 1 + i; b) 4i, 3 − i, 3 + i; c) 1 + 4i, 4i, −1 − 4i; d) −i, 3i, ±

√

2(1 + i), ±

√

2(1 − i);

e) −1 − 2i, −1,

√

2 + i

√

2, −

√

2 − i

√

2; f) 1 − 3i, 1 + 3i, 1, 1 + 4i;

6. a) z = 4, z = −4; b) z = i, z = −i; c) z = −

1
2

−

1
2

i, z = −

1
5

−

2
5

i; d) z = −4, z = −i; e)

z = −2 + 3i, z = 4i, z = i, z = −5 − 2i;

IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA

3