ALGEBRA sem.1

Arkusz zadaniowy nr 1 dla studentów

1. Oblicz: a)

2

i , b)

5

i , c)

12

i , d)

3

i , e)

8

)

( i

− , f)

4

i

− , g)

271

i , h)

24

)

( i

−

.

2. Wykonaj poniższe działania i zapisz wynik w postaci kartezjańskiej):

a) (2+7i)+(4+2i), b) (4+3i)-(1+12i), c) (1-i)-(3+5i), d) (7-2i)+(3+4i),

e) (1-3i)(3+2i), f) (12-5i)(-i), g) i(3+7i), h) (2+5i)(6+i),

i)

i

3

4

3

−

, j)

i

3

2

, k)

i

i

+

+

3

2

7

, l)

)

)(

(

i

i

i

4

3

5

2

6

+

−

−

.

3. Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną liczby zespolonej

a)

i

i

z

+

−

=

4

4

, b)

3

1

3

i

i

z

+

+

=

, c) z=

(

)(

)

2

1

3

1

3

)

(

i

i

i

+

+

−

+

.

4. Znaleźć liczby zespolone a i b takie, by zachodziła równość

a)

2i

-

6

=

5i)

-

b(4

+

3i)

+

a(2

, b)

3i

-

1

5i)

-

b(3

2i)

a(1

=

+

+

.

5.

Zapisać w postaci trygonometrycznej następujące liczby:

a)

i

z

2

2

1

−

=

b)

i

z

3

3

2

−

−

=

, c)

i

z

2

3

2

3

+

−

=

, d)

i

z

2

4

−

=

6.

Oblicz wartość wyrażenia

3

2

2

3

1

z

z

z

⋅

, gdy

























+













=

8

sin

8

cos

2

1

π

π

i

z

,













+













=

5

5

2

π

π

sin

cos

i

z

,

























+













=

10

3

10

3

3

3

π

π

sin

cos

i

z

.

7.

Obliczyć a)

3

8

− , b)

i

4

3

+ , c)

3

i

, d)

3

i

− .

8. Rozwiązać równania:

a) z

2

-6z+10=0, b) z

2

-(5+2i)z+(7+11i)=0,

c) z

2

-(3+2i)z+(5+5i)=0, d) z

2

+(1+i)z+(10+11i)=0,

9. Rozwiąż równania:

a) 0

1

3

=

−

z

, b)

0

8

3

=

+

z

, c)

0

1

4

=

+

z

, d)

0

16

4

=

−

z

,

e)

(

)(

)

0

1

1

4

2

=

−

+ z

z

, f)

(

)(

)

0

2

27

2

3

=

−

−

i

z

z

.

10. Podane wielomiany rozłóż na czynniki w dziedzinie zespolonej

a) 1

3

+

= z

z

W

)

(

, b)

8

3

−

= z

z

W

)

(

, c)

1

4

−

= z

z

W

)

(

,

d) 16

4

+

= z

z

W

)

(

, e)

(

)(

)

5

2

9

2

2

+

+

+

=

z

z

z

z

W

)

(

.

11. Rozwiąż równanie wiedząc, że podana liczba jest jego pierwiastkiem

x

4

+3x

3

+x

2

-7x-30=0, x

1

=-1+2i

12.

Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiory punktów

a)

}

/

|

|:

{

2

1

≤

−

∈

=

i

z

C

z

A

, b)

.

}

/

arg

|

|:

{

3

0

3

2

π

≤

≤

∧

≥

+

∈

=

z

i

z

C

z

B

13. Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiory punktów :

a)

0

2

2 =

+

−

z

z

Im

, e)

0

1

1 =

+

−

z

z

Re

, f)

3

2

1

=

+

−

i

z

, g)

3

3

2

1

≤

−

+

≤

i

z

.