mgr Ewa Pªonkowska

05.10.2008

1 Liczby Zespolone

Liczby zespolone deniuje si¦ jako pary liczby rzeczywistych speªniaj¡cych pewne relacje.

Denicja 1.1 Posta¢ algebraiczna zmiennej zespolonej

z = a + bi

gdzie:
a = Rez

- cz¦±¢ rzeczywista (a ∈ R)

b = Rez

- cz¦±¢ urojona (b ∈ R)

i

-jednostka urojona.

UWAGA
i

2

= −1

, i

3

= −i

, i

4

= 1

Denicja 1.2 Posta¢ trygonometryczna zmiennej zespolonej

z = |z| (cos φ + i sin φ)

gdzie:
|z| =

√

a

2

+ b

2

- moduª liczby zespolonej

φ = arg z

- argumet

n

φ : cos φ =

a

|z|

, sin φ =

b

|z|

o

i

-jednostka urojona.

Denicja 1.3 Posta¢ biegunowa zmiennej zespolonej

z = |z| e

iφ

gdzie:
|z| =

√

a

2

+ b

2

- moduª liczby zespolonej

φ = arg z

- argumet,

n

φ : cos φ =

a

|z|

, sin φ =

b

|z|

o

i

-jednostka urojona.

1

http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/

mgr Ewa Pªonkowska

05.10.2008

Przykªad 1.1 Przedstaw liczb¦ zespolon¡ z = 1+i

√

3

w postaci trygonometrycznej i w postaci biegunowej.

Rozwi¡zanie:

• |z| =

√

1 + 3 = 2

,

• cos φ =

1
2

= 1

, sin φ =

√

3

2

= ⇒ φ =

π

3

,

zatem z = 2 cos

π

3

+ i sin

π

3

= 2e

π

3

Stwierdzenie 1.1 Równo±¢ liczb zespolonych:

•

Posta¢ algebraiczna z

1

= z

2

⇔ Imz

1

= Imz

2

i Rez

1

= Rez

2

•

Posta¢ trygonometryczna z

1

= z

2

⇔ |z

1

| = |z

2

|

i argz

1

= argz

2

•

Posta¢ biegunowa z

1

= z

2

⇔ |z

1

| = |z

2

|

i argz

1

= argz

2

Denicja 1.4 Liczba sprz¦»ona (z):

•

Posta¢ algebraiczna z = a + ib ⇒ z = a − ib

•

Posta¢ trygonometryczna

z = |z| (cos φ + i sin φ) ⇒ z = |z| (cos(−φ) + i sin(−φ)) = |z| (cos φ − i sin φ)

•

Posta¢ biegunowa z = |z| e

iφ

⇒ z = |z| e

−iφ

Stwierdzenie 1.2

• Rez = Rez

, Imz = −Imz

• |z| = |z|

, argz = −argz

• z · z = |z|

2

Stwierdzenie 1.3 Podstawowe dziaªania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej.
Niech z

1

= a

1

+ ib

1

oraz z

2

= a

2

+ ib

2

•

dodawanie z

1

+ z

2

= (a

1

+ a

2

) + i(b

1

+ b

2

)

•

odejmowanie z

1

− z

2

= (a

1

− a

2

) + i(b

1

− b

2

)

•

mno»enie z

1

·z

2

= (a

1

+ib

1

)·(a

2

+ib

2

) = a

1

a

2

+ia

1

b

2

+ib

1

a

2

+(i

2

)b

1

b

2

= (a

1

a

2

−b

1

b

2

)+(a

1

b

2

+a

2

b

1

)

•

dzielenie

z

1

z

2

=

(a

1

+ib

1

)

(a

2

+ib

2

)

=

(a

1

+ib

1

)

(a

2

+ib

2

)

·

(a

2

−ib

2

)

(a

2

−ib

2

)

=

(a

1

a

2

+b

1

b

2

)+i(b

1

a

2

−a

1

b

2

)

a

2
2

+b

2
2

, gdzie z

2

6= 0

Przykªad 1.2 Oblicz

3+2i

5−i

.

Rozwi¡zanie:

3 + 2i

5 − i

·

5 + i

5 + i

=

15 + 3i + 10i − 2

25 + 1

=

13 + 13i

26

=

1 + i

2

Stwierdzenie 1.4 Podstawowe dziaªania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej.
Niech z

1

= |z

1

| (cos φ

1

+ i sin φ

1

)

oraz z

2

= |z

2

| (cos φ

2

+ i sin φ

2

)

•

mno»enie z

1

· z

2

= |z

1

| · |z

2

| (cos(φ

1

+ φ

2

) + i sin(φ

1

+ φ

2

))

•

dzielenie

z

1

z

2

=

|z

1

|

|z

2

|

(cos(φ

1

− φ

2

) + i sin(φ

1

− φ

2

))

, gdzie z

2

6= 0

Przykªad 1.3 Oblicz iloczyn z

1

· z

2

gdzie z

1

= 2 cos

π

2

+ i sin

π

2

i z

2

= 5 cos

π

3

+ i sin

π

3

.

Rozwi¡zanie:

z

1

·z

2

= 2



cos

π

2

+ i sin

π

2



·5



cos

π

3

+ i sin

π

3



= (2·5)·



cos



π

2

+

π

3



+ i sin



π

2

+

π

3



= 10



cos

5π

6

+ i sin

5π

6



2

http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/

mgr Ewa Pªonkowska

05.10.2008

Stwierdzenie 1.5 Podstawowe dziaªania na liczbach zespolonych w postaci biegunowej.
Niech z

1

= |z

1

| e

iφ

1

oraz z

2

= |z

2

| e

iφ

2

•

mno»enie z

1

· z

2

= |z

1

| · |z

2

| e

i(φ

1

+φ

2

)

•

dzielenie

z

1

z

2

=

|z

1

|

|z

2

|

e

i(φ

1

−φ

2

)

, gdzie z

2

6= 0

Przykªad 1.4 Oblicz iloraz

z

1

z

2

gdzie z

1

= 25e

π

2

i z

2

= 5e

π

3

.

Rozwi¡zanie:

z

1

z

2

=

15

5

· exp



π

2

−

π

3



= 5exp



π

6



Twierdzenie 1.1 Wzór de Moivre'a.
Niech z = |z| (cos φ + i sin φ) wtedy

z

n

= |z|

n

· (cos(nφ) + i sin(nφ))

Stwierdzenie 1.6 Pierwiastkowanie
Liczba zespolona z (z 6= 0) ma n pierwiastków z

0

, z

1

, ... , z

n−1

n − tego

stopnia postaci:

z

k

=

n

p|z| ·



cos

 φ + 2kπ

n



+ i sin

 φ + 2kπ

n



, k=0,1,...n-1

gdzie φ jest argumentem liczby z.

Przykªad 1.5 Znale±¢ pierwiasteki 6-tego stopnia z liczby z=16.
Rozwi¡zanie:
Liczba z w postaci algebraicznej

z = 16 + i · 0

wi¦c ,

• |z| = 16

,

• cos φ =

16
16

= 1

, sin φ =

0

16

= 0 ⇒ φ = 0

,

Liczba z w postaci trygonometrycznej

z = 16 = 16 · (cos 0 + i sin 0)

Zatem mamy 6 pierwiastków:
z

0

=

6

√

16 (cos 0 + i sin 0) = 2

2/3

z

1

=

6

√

16 cos

0+2π

6

+ i sin

0+2π

6

= 2

2/3



1
2

+ i

√

3

2



z

2

=

6

√

16 cos

0+4π

6

+ i sin

0+4π

6

= 2

2/3



−

1
2

+ i

√

3

2



z

3

=

6

√

16 cos

0+6π

6

+ i sin

0+6π

6

= −2

2/3

z

4

=

6

√

16 cos

0+8π

6

+ i sin

0+8π

6

= 2

2/3



−

1
2

− i

√

3

2



z

5

=

6

√

16 cos

0+10π

6

+ i sin

0+10π

6

= 2

2/3



1
2

− i

√

3

2



Twierdzenie 1.2 Wzór Eulera na pot¦gowanie.

(cos ϕ + i sin ϕ)

n

= cos (nϕ) + i sin (nϕ)

3

http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/