LICZBY ZESPOLONE przygotował Grzegorz Urban
1. Sposób zapisu liczb zespolonych
z
a
i b
= + ⋅
- postać dwumianowa
(
)
z
z
i
= ⋅
+
cos
sin
ϕ
ϕ
- postać trygonometryczna
i
e
z
z
ϕ
⋅
=
- postać wykładnicza
gdzie:
z
a
b
=
+
2
2
- moduł liczby zespolonej
z
arg
=
ϕ
- argument główny liczby zespolonej -
)
π
ϕ
2
,
0
∈
cos
cos
ϕ
ϕ
=
⇒
=
a
z
a
z
sin
sin
ϕ
ϕ
=
⇒
=
b
z
b
z
2. Działania na liczbach zespolonych
a) Dodawanie i odejmowanie
(
) (
) (
) (
)
i
d
b
c
a
di
c
bi
a
+
+
+
=
+
+
+
(
) (
) (
) (
)
i
d
b
c
a
di
c
bi
a
−
+
−
=
+
−
+
b) MnoŜenie
1
°
(
) (
)
( ) (
)
=
+
+
−
+
=
+
+
+
=
+
⋅
+
i
bd
ad
bd
ac
bdi
bci
adi
ac
di
c
bi
a
1
2
(
) (
)
i
bd
ad
bd
ac
+
+
+
=
2
°
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
sin
cos
sin
cos
sin
cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
+
+
⋅
⋅
=
+
⋅
⋅
+
⋅
i
z
z
i
z
i
z
c) Dzielenie
1
°
( ) (
)
=
+
−
+
−
−
=
+
−
+
−
=
−
−
⋅
+
+
=
+
+
2
2
2
2
2
1
d
c
i
ad
bc
bd
ac
d
c
bdi
bci
adi
ac
di
c
di
c
di
c
bi
a
di
c
bi
a
(
) (
)
i
d
c
ad
bc
d
c
bd
ac
d
c
i
ad
bc
bd
ac
2
2
2
2
2
2
+
−
+
+
+
=
+
−
+
+
=
2
°
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
sin
cos
sin
cos
sin
cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
+
−
=
+
⋅
+
⋅
i
z
z
i
z
i
z
d) Potęgowanie - wzór de Moivre’a
e) Pierwiaskowanie
1
,
,
1
,
0
2
sin
2
cos
−
=
+
+
+
⋅
=
=
n
k
n
k
i
n
k
z
w
z
n
k
n
K
dla
π
ϕ
π
ϕ
(
)
[
]
(
)
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
n
i
n
z
i
z
z
n
n
n
sin
cos
sin
cos
+
⋅
=
+
⋅
=
