Liczby zespolone

Płaszczyzna zespolona. Rozpatrujemy układ współrzędnych, w którym na osi pionowej jednostkę oznaczamy literą i. Oś poziomą nazwiemy osią rzeczywistą (symbol: Re), zaś oś pionową - osią urojoną (symbol: Im)

Płaszczyznę z takim układem współrzędnych nazwiemy płaszczyzną zespoloną.

Każdemu punktowi tej płaszczyzny przyporządkujemy liczbę zespoloną

Uwagi

1. Często piszemy też:

2. Liczbę rzeczywistą x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej
i oznaczamy
. Zatem:

3. Liczbę rzeczywistą y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej
i oznaczamy
. Zatem:

4. Jeżeli
, to piszemy krótko:
(zamiast:
)

5. Jeżeli
, to piszemy krótko:
(zamiast:
)

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych

Liczby zespolone dodajemy i odejmujemy podobnie jak wielomiany rzeczywiste, np.:

Mnożenie liczb zespolonych

Liczby zespolone mnożymy podobnie jak wielomiany rzeczywiste z tym, że przyjmujemy dodatkową umowę, że

Przykład 1.

Przykład 2.

Liczbę
podniesiemy do kwadratu:

Można też było zastosować wzór skróconego mnożenia

Zapamiętaj:

Wolno stosować wzory skróconego mnożenia.

Zadanie.
,
, Oblicz:

a)
b)
c)

Liczba sprzężona do liczby zespolonej
jest to liczba
, np.:

jeżeli
to

Dzielenie liczb zespolonych

Aby wykonać dzielenie
(gdzie
), mnożymy licznik i mianownik przez liczbę
(czyli liczbę sprzężoną do mianownika).

Przykład

Zadanie.
,
, Oblicz: a)
b)

Moduł i argument liczby zespolonej .

Modułem liczby zespolonej nazywamy odległość punktu przedstawiającego tę liczbę na płaszczyźnie zespolonej od początku układu.

Oznaczenie:
albo

Argumentem liczby zespolonej nazywamy miarę kąta skierowanego od osi rzeczywistej do promienia wodzącego tego punktu.

Oznaczenie:
albo

Z twierdzenia Pitagorasa i trygonometrii wynikają związki:

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest to zapis tej liczby w postaci

Przykład. Liczbę
zapisać w postaci trygonometrycznej

Mamy:

Zatem:

, więc

Zatem:

Potęgowanie liczb zespolonych

W przypadku wykładnika 2 lub 3 możemy korzystać ze wzorów skróconego mnożenia, ale w przypadku dużych wykładników naturalnych wygodniej jest zapisać podstawę w postaci trygonometrycznej i skorzystać ze wzoru Moivre'a:

Przykład. Obliczymy

W poprzednim przykładzie liczbę
zapisaliśmy w postaci trygonometrycznej:

Stosujemy wzór Moivre'a:

=

Zadanie. Oblicz: a)
b)

Potęgi liczby i Obliczmy kilka potęg liczby i:

itd.

Zauważmy cykliczność wyników. Cykl ma długość 4.

Zatem np.

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

jest to taka liczba zespolona w, że
.

Jeżeli
, to jedyną taką liczbą jest 0.

Jeżeli
, to istnieje n takich liczb. Znajdujemy je ze wzoru:
dla

Przypomnienie:

Przykład. Obliczmy

Z rysunku odczytujemy:
. Stopień pierwiastka
, zatem są dwie takie liczby.

Podstawiając
otrzymamy:

Podstawiając
otrzymamy:

Sprawdźmy (dla przykładu), że istotnie np.
:

Zadanie. Znajdź: a)
b)
c)

Pierwiastki kwadratowe (zespolone) z liczb rzeczywistych ujemnych

Zauważmy, że każda liczba rzeczywista różna od zera ma dwa pierwiastki zespolone (stopnia 2). Można je znaleźć tak jak w poprzednim przykładzie - ze wzoru. Można je jednak prosto odgadnąć.

Przykład: Obliczyć
.

Wiemy, że są dwie takie liczby. Ponieważ
, a
, zatem jedną z nich jest
. Ponieważ także
, zatem

Rozwiązywanie równań kwadratowych w zbiorze liczb zespolonych.

Jak wiadomo w zbiorze liczb rzeczywistych równanie kwadratowe
, dla którego wyróżnik
jest ujemny - nie ma rozwiązań.

Inaczej jest w zbiorze liczb zespolonych - tam także takie równanie ma 2 rozwiązania.

Przykład. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie

Obliczmy:

Zatem
lub
.

Rozważmy najpierw przypadek
.

Wówczas - ze znanych wzorów - mamy:

;

Zauważmy, że gdybyśmy wzięli
, otrzymalibyśmy te same wyniki.

Zatem równanie ma 2 rozwiązania:
.

Sprawdzenie. Podstawmy do lewej strony danego równania w miejsce niewiadomej z liczbę
:

Sprawdź samodzielnie, że również liczba
spełnia dane równanie.

Zadanie. Rozwiąż równanie:

a)
b)
c)

---