Liczby zespolone
Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych (a, b), dla których zostały określone: równość, dodawanie i mnożenie w taki sposób, że dla każdego a, b, c, d € R: 1. (a, b)=(c, d) a=c i b=d, 2. (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d), 3. (a, b)*(c, d)=(ac-bd, ad+bc). Czyli Z={(a, b):a€R ^ b€R ^ 1, 2, 3}. Uwaga! Działania po prawej stronie są działaniami w R, po lewej są nowo zdefiniowane działania.
Twierdzenia: 1. W zbiorze liczb zespolonych prawdziwe są następujące własności: w1. Przemienność dodawania i mnożenia, w2. Łączność dodawania i mnożenia, w3. Rozdzielność mnożenia względem dodawania, w4. Istnienie elementu neutralnedo dodawania i mnożenia, w5. Można wprowadziś działania odejmowania i dzielenia.
Przyjrzyjmy się szczególnym liczbą zespolonym: 1. Pary w których następnik jest zerem (dla każdego a€R): (a, 0)±(b, 0)=(a±b, 0), (a, 0)*(b, 0)=(ab-0*0, a*0+b*0)=(ab, 0), (a, 0)/(b, 0)=(0*0+ab/b^2+0^2, 0*b+a*0/b^2+0^2)=a/b, 0). Każdą parę (a, 0) można utożsamiać z jej poprzednikiem (a, 0)=a, 2. Parę (0, 1) wyróżniono szczególnie-oznaczając symbolem i (0, 1)=i. i2=(0, 1)*(0, 1)=(0*0-1*1), 0*1+1*0)=(-1, 0)=-1, dla każdego b€R bi=(b, 0)*(0, 1)=(b*0-0*1, 0*0+b*1)=(0, b). Dowolną liczbę zespoloną (a, b) można przedstawić w postaci z=(a, b)=(a, 0)+(0, b)=a+bi. Postać algebraiczna liczby z=a+bi, gdzie a (ReZ) – część rzeczywista liczby Z (a€R), b (ImZ) – część urojona (b€R), i – jednostka urojona(i€!R), bi – liczba urojona (bi€!R).
Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej (z1=a1+b1i, z2=a2+b2i): dodawanie (z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=a1+a2+(b1+b2)i), odejmowanie (z1-z2=(a1+b1i)-(a2+b2i)=a1-a2+(b1-b2)i), mnożenie (z1*z2=(a1+b1i)*(a2+b2i)=a1a2-b1b2+(a1b2+a2b1)i), dzielenie (z1/z2=a1a2+b1b2/a2^2+b2^2+ b1a2-a1b2/a2^2+b2^2i). Zauważmy, że wyniki działań na liczbach w postaci algebraicznej są zgodne z wynikami działań na liczbach zespolonych w postaci par liczbowych.
Modułem liczby zespolonej z=a+bi=(a, b) nazywamy liczbę rzeczywistą |z|=√(a2+b2). Własności: w1. dla każdego z€Z |z|=0 z=0=0+0i=(0, 0), w2. dla każdego z€Z |z|>=0, w3. dla każdego z1, z2 € Z |z1*z2|=|z1|*|z2|, w4. dla każdego z1, z2 € Z |z1/z2|=|z1|/|z2|, w5. dla każdego z1, z2 € Z |z1+z2|=<|z1|+|z2|, w6. dla każdego z1, z2 € Z ||z1|-|z2||=<|z1-z2|. Uwaga! Nie określa się relacji większości (mniejszości) w Z. Nie można porównać liczb zespolonych.
Liczbą sprzężoną (sprzężeniem) liczby zespolonej z=a+bi nazywamy liczbę zespoloną z=a-bi. Własności: w1. Dla każdego z1, z2 € Z z1±z2= z1±z2, w2. Dla każdego z1, z2 € Z z1*z2= z1*z2, w3. Dla każdego z1, z2 € Z z1/z2= z1/z2, w4. Dla każdego z€Z (z)=z, w5. Dla każdego z€Z z*z=|z|2, w6. Dla każdego z€Z z=z=>z€R, w7. Dla każdego z€Z z+z=2ReZ, w8. Dla każdego z€Z z-z=2ImZ.
Interpretacja geometryczna – płaszczyzna Gaussa: Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w układzie współrzędnych jako punkt o współrzędnych (a, b). |z| - odległość punktu (a, b) od początku układu. Punkty na osi ReZ są obrazami liczb rzeczywistych, na osi Im – urojonych. Pierwiastki n-tego stopnia wk=n√r(cosβ+2kπ/n+isinβ+2kπ/n). Postać wykładnicza z=r(cosβ+isinβ)=reiβ (r=|z|, β=ArgZ). Pierwiastkowanie Liczbę w nazywamy pierwiastkiem naturalnego stopnia n z liczby z jeżeli wn=z.
Postać trygonometryczna: z=a+bi, r=|z|=√(a2+b2), cosβ=a/r, sinβ=b/r => z=a+bi=r(a/r+b/ri)=r(cosβ+sinβi)
Wzór Moivre’a – zn=rn(cos(β)+isin(β))