Elementy matematyki

ELEMENTY MATEMATYKI

I. OPERACJE PODSTAWOWE

Wartość bezwzględna (moduł) liczby

1. | a | = a,

gdy

0

a

≥

,

2. | a | = - a, gdy a < 0.

3. | a + b | ≤ | a | + | b |,

4. | a – b | ≥ | a | - | b |,

5. | a · b | = | a | · | b |.

Potęgowanie i pierwiastkowanie

1. a

n

= a · a ·.....· a (n czynników), n – liczba naturalna

2. a

0

= 1,

3.

n

n

a

1

a

=

−

,

0

a

≠

4.

m

1

m

a

a

=

,

5.

m

n

m

n

a

a

=

,

6.

m

n

m

n

a

a

a

+

=

⋅

,

7.

m

n

m

n

a

a

:

a

−

=

,

8.

m

n

m

n

a

)

a

(

⋅

=

,

9.

n

n

n

b

a

)

b

a

(

⋅

=

⋅

,

Logarytmowanie, funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza jest zdefiniowana wzorem:

f ( x ) = a

x

gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Jeżeli a

x

= N to funkcję logatytm o

podstawie a (a > 0 i a ≠ 1) z liczby N definiuje się wzorem:

log

a

N = x

Funkcja logarytm jest zdefiniowana wyłącznie dla liczb dodatnich.

1. log

a

1 = 0,

Zakład Biofizyki CMUJ

1

Elementy matematyki

2. log

a

a = 1,

3. log

a

(M · N) = log

a

M + log

a

N,

4. log

a

(

N

r

)

= r · log

a

N,

5.

a

log

N

log

N

log

b

b

a

=

.

6. Jeżeli a ≈ 2,7182818... (ta liczba niewymierna jest ściśle zdefiniowana i oznaczana

symbolem e) to wprowadza się oznaczenie log

e

N = lnN i funkcję taką nazywamy

logarytmem naturalnym.

7. Jeżeli a=10 to wprowadza się oznaczenie log

10

N = logN i funkcję taką nazywamy

logarytmem dziesiętnym.

8.

0

N

gdy

,

N

log

a

→

−∞

→

,

9.

∞

→

∞

→

N

gdy

,

N

log

a

,

Funkcje trygonometryczne

Tabela 1 Miary kątów w stopniach i w

radianach

Miara kąta

α

w

stopniach

Miara kąta

α

w

radianach

0

0

0

30

0

6

π

45

0

4

π

90

0

2

π

180

0

π

360

0

2

π

Definicje funkcji trygonometrycznych na podstawie schematu trójkąta prostokątnego:

sin

α

= a/c

cos

α

= b/c

tg

α

= a/b

ctg

α

= b/a

Zakład Biofizyki CMUJ

2

α

c

a

b

.

Rys. 1 Schemat trójkąta prostokątnego

przyjęty do zdefiniowana
funkcji trygonometrycznych.

Elementy matematyki

1.

)

x

sin(

)

2

x

sin(

=

π

+

,

2.

)

x

cos(

)

2

x

cos(

=

π

+

,

3.

)

x

tg(

)

2

x

tg(

=

π

+

,

4.

1

x

cos

x

sin

2

2

=

+

,

5.

)

x

cos(

)

x

sin(

)

x

tg(

=

,

6.

)

x

cos(

)

y

sin(

)

y

cos(

)

x

sin(

)

y

x

sin(

±

=

±

,

7.

)

y

sin(

)

x

sin(

)

y

cos(

)

x

cos(

)

y

x

cos(



=

±

,

8.

2

y

x

cos

2

y

x

sin

2

)

y

sin(

)

x

sin(

−

+

=

+

,

9.

2

y

x

cos

2

y

x

cos

2

)

y

cos(

)

x

cos(

−

+

=

+

,

10. sin(-x)=-sin(x),

11. cos(-x)=cos(x),

12.

)

x

cos(

2

x

sin

=













π

±

,

13.

)

x

sin(

2

x

cos



=













π

±

.

Tabela 2

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów.

x

sin(x)

cos(x)

tg(x)

0

0

0

1

0

30

0

2

1

2

3

3

1

45

0

2

1

2

1

1

60

0

2

3

2

1

3

90

0

1

0

±

∞

Wykresy podstawowych funkcji

Zakład Biofizyki CMUJ

3

Elementy matematyki

0

2

4

6

8

10

0

1

2

3

4

y

x

y=x

0.5

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

y

y = x

x

0

2

4

6

8

10

0

20

40

60

80

100

x

y=x

2

y

0

2

4

6

8

10

0

1

2

3

4

y

x

y=x

-1

Rys. 2 Wykres funkcji liniowej. Funkcja liniowa opisuje m.in. związek drogi s

przebytej przez ciało i czasu t w ruchu jednostajnym: s = v · t, gdzie v to
prędkość ciała. Wykres przedstawiony na rysunku opisuje zatem np.
zależność drogi s od czasu t w ruchu jednostajnym z prędkością v=1m/s.

0

2

4

6

8

10

0

1

2

3

4

y

x

y=x

0.5

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

y

y=x

x

0

2

4

6

8

10

0

20

40

60

80

100

x

y = x

2

y

0

2

4

6

8

10

0

1

2

3

4

y

x

y=x

-1

Rys. 3 Wykres funkcji kwadratowej. Funkcja kwadratowa opisuje m.in. związek

drogi s przebytej przez ciało i czasu t w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

2

t

a

t

v

s

2

0

⋅

+

⋅

=

, gdzie a oznacza przyspieszenie ciała, a v

0

to początkowa

prędkość ciała. Wykres przedstawiony na rysunku opisuje zatem np.
zależność drogi s od czasu t w ruchu jednostajnie przyspieszonym z
prędkością początkową v

0

=0m/s, z przyspieszeniem a=1m/s

2

.

Zakład Biofizyki CMUJ

4

Elementy matematyki

0

2

4

6

8

10

0

1

2

3

4

y

x

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

y

y=x

x

0

2

4

6

8

10

0

20

40

60

80

100

x

y=x

2

y

0

2

4

6

8

10

0

1

2

3

4

y

x

y=x

-1

Rys. 4 Wykres funkcji pierwiastek kwadratowy. Funkcja pierwiastek kwadratowy

opisuje m.in. związek prędkości v ciała spadającego swobodnie z wysokości
h:

hg

2

v

=

, gdzie g oznacza przyspieszenie ziemskie.

0

2

4

6

8

10

0

1

2

3

4

y

x

y=x

0.5

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

y

y=x

x

0

2

4

6

8

10

0

20

40

60

80

100

x

y=x

2

y

0

2

4

6

8

10

0

1

2

3

4

y

x

y = x

-1

Rys. 5 Wykres funkcji hiperbolicznej. Funkcja hiperboliczna opisuje m.in. związek

ciśnienia p i objętości V gazu doskonałego, poddawanego przemianie

izotermicznej:

V

kRT

p

=

, gdzie k jest liczbą moli gazu, R jest stałą gazową,

a T oznacza temperaturę przemiany.

Zakład Biofizyki CMUJ

5

x

x

y

2

1

=

=

Elementy matematyki

0

2

4

6

8

10

0

5000

10000

15000

20000

25000

x

y = e

x

y

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y=e

-x

y

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

y=e

-2(x-5)

2

x

0

2

4

6

8

10

-4

-2

0

2

y

x

y=ln(x)

Rys. 6 Wykres funkcji wykładniczej y = e

x

(oznacza się również e

x

= exp(x)).

Funkcja wykładnicza opisuje m.in. wzrost liczby zachorowań w począ-
tkowej fazie epidemii.

0

2

4

6

8

10

0

5000

10000

15000

20000

25000

x

y=e

x

y

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y = e

- x

y

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

y=e

-2(x-5)

2

x

0

2

4

6

8

10

-4

-2

0

2

y

x

y=ln(x)

Rys. 7 Wykres funkcji wykładniczej (argument ujemny). Prezentowana funkcja

opisuje m.in. prawo rozpadu promieniotwórczego: N = N

0

· e

-

λ

t

, gdzie N

oznacza liczbę jąder promieniotwórczych które nie uległy rozpadowi do
czasu t, N

0

to początkowa liczba jąder, a stała

λ

, zwana stałą rozpadu, jest

odwrotnością czasu połowicznego rozpadu pierwiastka promienio-
twórczego.

Zakład Biofizyki CMUJ

6

Elementy matematyki

0

2

4

6

8

10

0

5000

10000

15000

20000

25000

x

y=e

x

y

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y=e

-x

y

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

y=e

-2(x-5)

2

x

0

2

4

6

8

10

-2

0

2

y

x

y = log(x)

Rys. 8 Funkcja logarytm dziesiętny. Funkcja ta opisuje m.in. związek natężenia

dźwięku I (wyrażonego w W·m

-2

) z wrażeniem słuchowym

β

(wyrażonym

w belach):









=

β

0

I

I

log

, gdzie I

0

=10

-12

W·m

-2

.

0

2

4

6

8

10

0

5000

10000

15000

20000

25000

x

y=e

x

y

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y=e

-x

y

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

y = e

- 2 ( x - 5 )

2

x

0

2

4

6

8

10

-2

0

2

y

x

y=log(x)

Rys. 9 Funkcja Gaussa. Funkcja ta może opisywać m.in. rozkład częstości

występowania cech ilościowych w populacji. Jeżeli funkcję Gaussa

zapiszemy w postaci

























 −

−

⋅

=

2

0

s

x

x

exp

A

)

x

(

f

, to wartość oczekiwana

jest równa x

0

, a szerokość połówkowa jest równa

2

ln

s

2

⋅

⋅

.

Zakład Biofizyki CMUJ

7

wartość
oczekiwana

szerokość
połówkowa

Elementy matematyki

0

2

4

6

8

10

12

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

y

y=sin(x)

x

0

2

4

6

8

10

12

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

y=cos(x)

y

x

0

2

4

6

8

10

12

-4

-2

0

2

4

x

y=tg(x)

y

Rys. 10 Wykresy funkcji trygonometrycznych. Funkcje trygonometryczne sinus i

cosinus są używane m.in. w opisie zjawisk periodycznych.

II. ELEMENTY RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO I CAŁKOWEGO

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej y = f(x), oznaczana symbolami : y

'

,

,

dx

dy

f '(x),

( )

dx

x

df

jest to nowa funkcja zmiennej x, spełniająca następującą zależność:

( )

(

) ( )

.

x

x

f

x

x

f

x

'

f

∆

−

∆

+

≈

Powyższe przybliżenie jest tym dokładniejsze, im mniejszy jest przyrost

∆

x (Rysunek

11). Obliczanie pochodnej f '(x) nazywamy różniczkowaniem funkcji f(x).

Zakład Biofizyki CMUJ

8

Elementy matematyki

Interpretacja geometryczna pochodnej: Jeżeli wykresem funkcji y = f(x) w układzie

współrzędnych prostokątnych jest pewna krzywa, to wartość pochodnej f'(x) w punkcie o
współrzędnych (x,f(x)) równa się tg

α

, gdzie

α

jest kątem między osią OX i styczną do

krzywej w punkcie (x,f(x)); kąt ten liczy się od dodatniego kierunku osi OX w kierunku
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

5

10

15

y

x

0.18 0.21 0.24 0.27

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Rys. 11 Geometryczna interpretacja pochodnej funkcji.

Szereg wielkości fizycznych jest zdefiniowana jako pochodne innych wielkości, np.

prędkość v jest pochodną po czasie t drogi s przebytej w trakcie ruchu tj.

dt

ds

v

=

,

przyspieszenie a jest pochodną po czasie prędkości v, tj.

dt

dv

a

=

, moc P jest pochodną po

czasie pracy W wykonanej przez pewną siłę, tj.

dt

dW

P

=

, prąd dyfuzyjny j w

niejednorodnym roztworze pewnej substancji jest proporcjonalny do pochodnej stężenia

ρ

tej

substancji po współrzędnych przestrzennych x, tj.

dx

d

D

j

ρ

=

, gdzie D jest współczynnikiem

dyfuzji.
Prawa fizyki formułuje się w postaci tzw. równań różniczkowych, tj. równań wiążących ze
sobą różne wielkości oraz ich pochodne, np. druga zasada dynamiki Newtona może
przyjmować postać:

dt

dt

ds

d

m

dt

dv

m

ma

F













=

=

=

Zakład Biofizyki CMUJ

9

∆

x>0

∆

y<0

x

y

)

tg(

dx

dy

∆

∆

≈

α

=

.

α

Elementy matematyki

gdzie F to siła, a m masa ciała.
Zmiana stężenia c

A

substancji A w przebiegu prostej reakcji typu

B

A

k

 →



, gdzie k jest stałą

szybkości reakcji opisana jest równaniem:

A

A

kc

dt

dc

−

=

Podstawowe reguły różniczkowania

Oznaczenia: u,v,w,...- funkcje zmiennej niezależnej x; u',v', w',...- pochodne tych

funkcji względem x.
1. Pochodna sumy algebraicznej dwóch lub kilku funkcji jest równa sumie algebraicznej

pochodnych każdej z tych funkcji:

(u + v – w + ...)' = u' + v' – w' + ... ;

2. Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie:

(uv)' = u'v + uv',

3. Stały czynnik można wynosić przed znak pochodnej

(cu)' = cu';

4. Pochodną ilorazu oblicza się według wzoru

.

v

'

uv

'

vu

v

u

2

'

−

=













6. Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. Jeżeli y = f(u) i u =

ϕ

(x), to

dx

)

x

(

d

du

)

u

(

df

dx

dy

ϕ

⋅

=

;

Przykładowo wychylenie x ciała z położenia równowagi w trakcie ruchu drgającego

(np. ciało zaczepione na sprężynie, poruszające się bez tarcia w płaszczyźnie poziomej) jest
opisane wzorem:

)

t

2

sin(

A

x

φ

+

πν

=

;

gdzie A jest amplitudą ruchu,

ν

- częstotliwością drgań, t – czasem, a

φ

– kątem fazowym.

Prędkość v w ruchu drgającym dana jest wzorem (pochodne funkcji elementarnych są podane
w Tabeli 3):

)

t

2

cos(

A

2

dt

dx

v

φ

+

πν

πν

=

=

.

Zakład Biofizyki CMUJ

10

Elementy matematyki

Tabela 3

Pochodne funkcji elementarnych.

Funkcja

Pochodna

stała

0

x

n

n x

n - 1

x

1

2

x

1

−

x

x

2

1

e

x

e

x

x

ln

x

1

sin(x)

cos(x)

cos(x)

-sin(x)

tg(x)

x

cos

1

2

Całka nieoznaczona i oznaczona funkcji

Funkcją pierwotną danej funkcji f(x) jednej zmiennej nazywamy taką funkcję F(x),

której pochodna jest równa f(x) tzn. F'(x)=f(x). Jeśli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x),
to każda funkcja F(x)+C, gdzie C jest dowolną stałą jest również funkcją pierwotną funkcji
f(x). Wyrażenie ogólne F(x)+C dla wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji f(x)
nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) i oznaczamy:

∫

=

+

dx

)

x

(

f

C

)

x

(

F

.

Jeśli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) to całka oznaczona funkcji f(x) w

przedziale od a do b jest określona wzorem:

)

a

(

F

)

b

(

F

dx

)

x

(

f

b

a

−

=

∫

.

Zakład Biofizyki CMUJ

11

Elementy matematyki

X

Y

0

a

b

∫

b

a

d x

)

x

(

f

Rys. 12 Geometryczna interpretacja całki oznaczonej.

Jeśli dana funkcja f(x) przedstawiona jest w postaci krzywej we współrzędnych XY, to

wartość całki oznaczonej funkcji f(x) w granicach od a do b jest równa polu ograniczonemu
krzywą y = f(x), osią 0X i dwiema rzędnym, stałą rzędną w punkcie x = a i stałą rzędną w
punkcie x = b (Rysunek 12).

Szereg wielkości fizycznych definiuje się jako całki z innych wielkości fizycznych,

np. praca W jest całką z siły F na drodze S, tj.

∫

⋅

=

S

ds

F

W

, masa M substancji

niejednorodnej zawartej w objętości V jest całką z gęstości

ρ

tej substancji, tj.

∫

⋅

ρ

=

V

dV

M

,

natężenie I promieniowania rentgenowskiego po przejściu przez ośrodek niejednorodny

wzdłuż drogi S jest równe

















µ

−

⋅

=

∫

S

0

dx

)

x

(

exp

I

I

, gdzie

µ

(x) jest współczynnikiem

osłabienia w punkcie o współrzędnej x na drodze S, a I

0

jest natężeniem promieniowania

przed wejściem do ośrodka pochłaniającego to promieniowanie.

III. TRANSFORMATA FOURIERA, SZEREGI FOURIERA.

Każdą funkcję okresową f(x), o okresie T (tzn. taką, że f(x)=f(x+T)), można przedstawić w
postaci tzw. szeregu Fouriera (pod warunkiem, że spełnia ona kilka dodatkowych warunków
– musi być ograniczona i przedziałami ciągła):

∑

∑

∞

=

∞

=

ω

+

ω

+

=

1

n

n

1

n

n

0

)

x

n

sin(

b

)

x

n

cos(

a

a

2

1

)

x

(

f

,

gdzie

ω

=2

π

/T. Symbol

∑

∞

=

1

n

n

W , gdzie W

n

jest dowolnym wyrażeniem zależnym od n,

oznacza nieskończoną sumę W

1

+W

2

+W

3

+.... Współczynniki a

n

i b

n

wyznacza się ze wzorów:

Zakład Biofizyki CMUJ

12

Elementy matematyki

,...

3

,

2

,

1

n

.

dx

)

x

n

sin(

)

x

(

f

T

2

b

...

3

,

2

,

1

,

0

n

,

dx

)

x

n

cos(

)

x

(

f

T

2

a

T

0

n

T

0

n

=

ω

=

=

ω

=

∫

∫

Szereg Fouriera można zapisać również w postaci:

∑

∞

=

ϕ

+

ω

+

=

1

n

n

n

0

)

x

n

sin(

A

a

2

1

)

x

(

f

,

gdzie

2
n

2
n

n

b

a

A

+

=

, a

n

n

n

b

/

a

)

tg(

=

ϕ

. Znajdowanie współczynników szeregu Fouriera

danej funkcji f(x) nosi nazwę analizy harmonicznej.

Przykład 1
Na rysunku 13 przedstawiono wykresy prostych sygnałów sinusoidalnych, ich złożenie oraz
odpowiadające im widma fourierowskie. Widmo fourierowskie jest wykresem zależności
amplitudy od częstotliwości i stanowi graficzną metodę prezentacji szeregu Fouriera danej
funkcji. W przypadku funkcji okresowych widma fourierowskie mają postać dyskretną, tj.
składają się z przeliczalnej liczby punktów nie leżących na osi X. W przypadku funkcji
harmonicznych widmo składa się z dokładnie jednego punktu (Rysunek 13, pierwsze trzy
linie). W przypadku funkcji, których szereg fourierowski zawiera więcej niż jeden wyraz
widmo fourierowskie zbudowane jest odpowiednio z większej liczby punktów (Rysunek 13,
czwarta linia). Widma fourierowskie można tworzyć także dla funkcji nieokresowych. Szereg
Fouriera zastępowany jest wówczas całką Fouriera, a widmo fourierowskie przedstawia
funkcję ciągłą.

Przykład 2
W poprzednim przykładzie przedstawiono widma fourierowskie szeregów zbudowanych ze
skończonej liczby wyrazów. W przykładzie bieżącym zaprezentowany jest szereg nieskończony
i widmo funkcji okresowej o okresie T, określonej wzorem:











<<

<<

<<

=

T

4

3

t

T

4

1

T

t

T

4

3

,T

4

1

t

0

dla

dla

0

2

)t(

f

,

Funkcję taką można rozwinąć w szereg Fouriera:













+

π

+

π

−

π

π

+

=

...

T

t

2

5

cos

5

1

T

t

2

3

cos

3

1

T

t

2

cos

4

1

)

t

(

f

.

Zakład Biofizyki CMUJ

13

Elementy matematyki

Na rysunku 14 przedstawiono wykres funkcji f(t) dla T=1 (górny wykres, lewa strona), widmo
fourierowskie funkcji f(t) (górny wykres, prawa strona) oraz wykresy sumy pierwszych pięciu
f

5

(t) i dziesięciu f

10

(t) wyrazów powyższego szeregu (dolne wykresy).

Przykład 3
Wykresy przedstawione na rysunku 15 wykonano w oparciu o cyfrową rejestrację dwóch
głosek "a" wypowiedzianych przez tą samą osobę głosem, którego wysokość różniła się o
oktawę. Bezpośrednio rejestrowaną wielkością jest wielkość wychylenia membrany
mikrofonu, przetworzona na sygnał elektryczny. Lewa strona, przedstawiająca wychylenie
membrany w zależności od czasu, ilustruje fakt, że dźwięk jest sygnałem periodycznym. Prawe
wykresy to widma fourierowskie zarejestrowanych dźwięków. Z porównania wykresów widać,
że słyszana oktawa różnicy wysokości dźwięków odpowiada podwojeniu częstotliwości.

0

1

2

3

-10

-5

0

5

10

czas [s]

y

1

=2sin(2

π

x)

w

yc

h

yl

e

n

ie

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

częstotliwość [Hz]

a

m

p

lit

u

d

a

0

1

2

3

-10

-5

0

5

10

czas [s]

y

2

=3sin(4

π

x)

w

yc

h

y

le

n

ie

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

a

m

p

lit

u

d

a

częstotliwość [Hz]

Zakład Biofizyki CMUJ

14

Elementy matematyki

0

1

2

3

-10

-5

0

5

10

czas [s]

y

3

=4sin(6

π

x)

w

yc

h

yl

e

n

ie

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

częstotliwość [Hz]

a

m

p

lit

u

d

a

0

1

2

3

-10

-5

0

5

10

czas [s]

y

4

=y

1

+y

2

+y

3

w

yc

h

yl

e

n

ie

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

a

m

p

lit

u

d

a

częstotliwość [Hz]

Rys. 13 Sygnały periodyczne (lewa kolumna) i ich

transformaty fourierowskie (prawa kolumna).

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

f(

t)

t

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

a

m

p

lit

u

d

a

częstotliwość [Hz]

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

f

5

(t

)

t

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

f

1

0

(t

)

t

Rys. 14 Sumowanie składowych harmonicznych sygnału okresowego pozwala uzyskać tym

dokładniejsze przybliżenie sygnału oryginalnego, im większa ilość składowych
zostanie wysumowana. Na rysunku przedstawiono sygnał prostokątny i jego widmo
fourierowskie (górne wykresy) oraz wykresy sum pierwszych pięciu i pierwszych
dziesięciu składowych harmonicznych sygnału prostokątnego.

Zakład Biofizyki CMUJ

15

Elementy matematyki

1.500

1.505

1.510

1.515

1.520

50

100

150

200

w

y

c

h

y

le

n

ie

czas

0

500

1000

1500

2000

0

5

10

15

20

"A" niskie

częstotliwość [Hz]

a

m

p

li

t

u

d

a

1.500

1.505

1.510

1.515

1.520

50

100

150

200

w

y

c

h

y

le

n

ie

czas

0

500

1000

1500

2000

0

5

10

15

20

"A" wysokie

częstotliwość [Hz]

a

m

p

li

t

u

d

a

1.500

1.505

1.510

1.515

1.520

50

100

150

200

w

y

c

h

y

le

n

ie

czas

0

500

1000

1500

2000

0

5

10

15

20

"A" niskie

częstotliwość [Hz]

a

m

p

li

t

u

d

a

1.500

1.505

1.510

1.515

1.520

50

100

150

200

w

y

c

h

y

le

n

ie

czas

0

500

1000

1500

2000

0

5

10

15

20

"A" wysokie

częstotliwość [Hz]

a

m

p

li

t

u

d

a

Rys. 15 Przykłady dźwięków mowy przedstawionych w dziedzinie czasu (lewa kolumna) i

w dziedzinie częstotliwości (prawa kolumna).

IV. ELEMENTY RACHUNKU BŁĘDÓW

Źródła i rodzaje błędów

Celem pomiaru jest ustalenie wartości liczbowej miary danej wielkości fizycznej.

Każdy pomiar fizyczny obarczony jest niemożliwym do uniknięcia błędem pomiarowym.
Pomiary wielkości fizycznych są bezużyteczne, jeśli w ich wyniku nie zostanie oszacowana
wielkość błędu pomiarowego. Ze względu na sposób w jaki błędy wpływają na wynik
pomiaru dzielimy je na błędy systematyczne, przypadkowe i grube.
Błędy systematyczne zawsze w ten sam sposób wpływają na wyniki pomiarów wykonanych
za pomocą tej samej metody i aparatury pomiarowej. Przy zmianie warunków pomiaru
według określonej prawidłowości błąd systematyczny zachowuje stałą wartość lub zmienia
się w sposób prawidłowy. Minimalna wartość błędu systematycznego jest określona
dokładnością stosowanego przyrządu t.j. połową wartości najmniejszej działki skali przyrządu

∆

x. Wynik pojedynczego pomiaru wielkości fizycznej zapisujemy zatem w postaci x

±

½·

∆

x.

Błędy przypadkowe ujawniają się najczęściej w przypadku wielokrotnego pomiaru danej
wielkości przyrządem, którego dokładność jest bardzo duża (a więc błąd systematyczny
pomiaru jest mały). W takim przypadku może się zdarzyć, że różnice między wynikami
kolejnych pomiarów będą znacznie przewyższać błąd systematyczny. Wiele przyczyn może
spowodować powstanie błędu przypadkowego. Może on wynikać z własności przedmiotu
mierzonego, np. przy pomiarze średnicy drutu może być efektem wahań średnicy. Innym jego
źródłem są własności samego przyrządu pomiarowego, którego wskazania zależą od
przypadkowych drgań budynku, ruchów powietrza, tarcia w łożyskach, docisku (np.
mikromierza). Błędy przypadkowe mogą mieć za przyczynę również podłoże fizjologiczne

Zakład Biofizyki CMUJ

16

Elementy matematyki

np. zdolność do określenia równości oświetlenia poszczególnych części pola widzenia lub
usłyszenia maksimum natężenia dźwięku. Błędów przypadkowych nie można wyeliminować,
lecz można określić ich wpływ na wynik ostateczny.

Błędy grube lub pomyłki wynikają z niestaranności eksperymentatora. Celem
wyeliminowania takich błędów należy powtórzyć pomiary. Efektem popełnienia błędu
grubego podczas ćwiczeń na Pracowni Biofizyki i umieszczenia wyników obarczonych
grubym błędem w sprawozdaniu może być brak zaliczenia ćwiczenia.

Wynik jakiegokolwiek pomiaru wielkości x podawany jest w następujący sposób:

(wartość zmierzona x) = x

np

±δ

x.

Zapis ten oznacza, że:

•

w wyniku eksperymentu otrzymano liczbę x

np

jako najlepsze przybliżenie wartości

mierzonej,

•

z rozsądnym prawdopodobieństwem szukana wielkość należy do przedziału (x

np

-

δ

x,x

np

+

δ

x).

Liczba

δ

x zwana jest niepewnością lub błędem pomiaru x.

Przykład 1.
W wyniku pomiaru pewnej wielkości otrzymano liczbę 53,73 jako oszacowanie średniej i
liczbę 0.3 jako oszacowanie niepewności. Prawidłowy sposób przedstawienia wyniku to:

53,7

±

0,3.

Jeśli niepewność równa jest 3, to ten sam rezultat należałoby zapisać jako

54

±

3,

jeśli zaś niepewność wynosi 30, to odpowiedź powinna brzmieć:

50

±

30.

Jest jeden wyjątek od przedstawionej powyżej reguły. Jeśli pierwsza cyfra niepewności jest
mała (1 lub być może 2), to mogłoby być właściwe pozostawienie w odpowiedzi jeszcze jednej
cyfry znaczącej. Przykładowo, wynik taki jak

zmierzona długość = 27,6

±

1 cm

jest zupełnie rozsądny. W tym przypadku należałoby się zgodzić, że jego zaokrąglenie do 28

±

1 powodowałoby utratę informacji.
Liczby używane w obliczeniach powinny mieć jedną cyfrę znaczącą więcej niż te podawane
ostatecznie. Zmniejsza to niedokładności wprowadzone podczas zaokrąglania liczb. Końcowy
wynik powinien być zaokrąglony tak, aby usunąć tę dodatkową (i nieznaczącą) cyfrę.

Rozkłady empiryczne

Zakład Biofizyki CMUJ

17

Elementy matematyki

Rezultaty eksperymentu polegającego na wielokrotnym pomiarze pewnej wielkości

można przedstawić przy pomocy wykresu rozkładu wyników pomiaru, nazywanego
histogramem.

Przykład 2
W trakcie eksperymentu dokonano rejestracji sygnału EKG, a następnie wyznaczono czas R-
R między kolejnymi załamkami R sygnału. W wyniku analizy sygnału zbudowano następujący
rozkład wyników pomiaru czasu R-R:

Przedział wartości
czasu R-R (sekundy)

0,75-0,8 0,8-0,85 0,85-0,9 0,9-0,95

0,95-

1,00

1,00-

1,05

1,05-1,1

Liczba obserwacji w
przedziale

3

38

55

174

92

29

4

Wykres przedstawiający ilość zaobserwowanych wartości czasu R-R w kolejnych
przedziałach jest histogramem rozkładu wyników eksperymentu (Rysunek 16).

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10

0

50

100

150

przedział wartości czasu R-R

Li

cz

ba

z

lic

ze

ń

Rys. 16 Typowy histogram czasów R-R.

Przykład 3
W trakcie eksperymentu dokonano rejestracji sygnału EKG osoby z mocno zaznaczoną
arytmią oddechową. Wyznaczono czas R-R między kolejnymi punktami R sygnału, wyniki
przedstawiono w postaci histogramu (Rysunek 17).

Zakład Biofizyki CMUJ

18

Elementy matematyki

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0

10

20

lic

zb

a

zli

cz

eń

przedział wartości czasu R-R

Rys. 17 Histogram R-R sygnału EKG, w którym zaznacza się

wyraźnie arytmia oddechowa.

Przykład 4
W izbie przyjęć notowano ilość zachorowań tygodniowo na pewną chorobę. Obserwacje
prowadzone przez długi okres pozwoliły na stworzenie następującego wykresu rozkładu
częstości zachorowań. Histogram ten jest wyraźnie asymetryczny (Rysunek 18).

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

5

10

15

20

lic

zb

a

ty

go

dn

i w

k

tó

ry

ch

za

no

to

w

an

o

da

ną

li

cz

bę

z

ac

ho

ro

w

ań

liczba zachorowań

Rys. 18

Typowy histogram częstości zachorowań w jednostce czasu
(tu tygodniowo) – nie dotyczy przypadków epidemii.

Statystyka opisowa

Zakład Biofizyki CMUJ

19

Elementy matematyki

Podstawowa ilościowa analiza wyników eksperymentu prowadzi do określenia liczb

dających opis zbiorowości, nazywanych parametrami statystycznymi. Parametry statystyczne
tak charakteryzują zbiorowość, że porównywanie różnych zbiorowości statystycznych można
sprowadzić do porównań parametrów statystycznych. Podstawowe zadania tych parametrów
to:
1. Określenie przeciętnego rozmiaru i rozmieszczenia wartości zmiennej. Dokonujemy tego

przez obliczenie miar położenia, przy czym najczęściej stosowaną miarą położenia są
wartości średnie. Średnią arytmetyczną definiujemy następującym wzorem:

n

x

...

x

x

x

x

n

1

x

n

3

2

1

n

1

i

i

+

+

+

+

=

=

∑

=

,

gdzie x

1

, x

2

, ..., x

n

to ciąg zmierzonych wartości zmiennej.

2. Określenie granic obszaru zmienności wartości zmiennej. Dokonujemy tego przez

obliczenie miar zmienności. W praktyce najczęściej stosowanymi miarami zmienności
są wariancja i odchylenie standardowe. Wariancją zmiennej X nazywamy średnią
arytmetyczną kwadratów odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od średniej
arytmetycznej całej zbiorowości:

(

)

∑

=

−

=

σ

n

1

i

2

i

2

x

x

n

1

Pierwiastek kwadratowy z wariancji nazywany jest odchyleniem standardowym i wyraża się
wzorem:

(

)

∑

=

−

=

σ

n

1

i

2

i

x

x

n

1

Rozkłady modelowe

W miarę jak liczba wykonanych pomiarów zwiększa się, histogram może zbliżać się

do pewnej określonej ciągłej krzywej, nazywanej rozkładem granicznym. W przypadku
wielokrotnego pomiaru, obciążonego błędami przypadkowymi rozkładem granicznym jest
rozkład Gaussa (rozkład normalny) zdefiniowany wzorem:









σ

−

−

π

σ

=

2

2

2

)

x

x

(

exp

2

1

)

x

(

f

Zakład Biofizyki CMUJ

20

Elementy matematyki

gdzie

σ

i

x

są parametrami rozkładu. Współczynnik umieszczony po prawej stronie

powyższego równania przed funkcją exp() został wybrany w ten sposób, aby
prawdopodobieństwo P(x

∈

<a,b>) otrzymania wyniku x pomiaru w przedziale <a,b>

spełniało równość:

∫

=

>

∈<

b

a

dx

)

x

(

f

)

b

,

a

x

(

P

Rozkładem Gaussa (rysunek 19) przybliża się szereg ilościowych cech

fizjologicznych, anatomicznych itp. na przykład rozkład wysokości lub masy ciała w
populacji, czy rozkład ilości punktów uzyskanych na egzaminie poprawkowym z biofizyki.
Cechą rozkładu Gaussa jest to, że wartość średnia wyników pomiarów, podlegających temu
rozkładowi zbliża się w miarę wzrostu liczby pomiarów do parametru

x

rozkładu, a

odchylenie standardowe wyników zbliża się do parametru

σ

rozkładu.

Rozkładem granicznym opisującym wyniki eksperymentu polegającego na zliczaniu

zdarzeń występujących losowo, ale z określoną przeciętną częstotliwością jest rozkład
Poissona. W odróżnieniu od rozkładu Gaussa, który jest funkcją określoną na zbiorze liczb
rzeczywistych, dziedziną rozkładu Poissona jest z definicji zbiór liczb naturalnych. Rozkład
Poissona jest określony wzorem:

)

exp(

!

N

)

N

(

P

N

λ

−

⋅

λ

=

λ

gdzie

λ

jest parametrem rozkładu. P

λ

(N) jest równa prawdopodobieństwu, że w zadanej

jednostce czasu zdarzenie zajdzie dokładnie N razy. Rozkład Poissona (Rysunek 19) opisuje
m.in. eksperyment polegający na zliczaniu liczby rozpadów promieniotwórczych w jednostce
czasu, liczby wyjazdów karetki pogotowia do pacjentów w ciągu jednego dnia lub ilość
podejść do egzaminu z biofizyki w ciągu semestru. Parametr

λ

rozkładu Poissona jest

oczekiwaną średnią liczbą zliczeń w wybranym przedziale czasu. Rozkład Poissona ze
średnią liczbą zliczeń

λ

ma odchylenie standardowe

λ

.

-6

-4

-2

0

2

4

6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

f(

x)

x

Zakład Biofizyki CMUJ

21

Elementy matematyki

Rys. 19

Rozkład Gaussa dla parametrów

x

= 0 i

σ

= 1.

0

2

4

6

8

10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

P

(N

)

N

Rys. 20

Rozkład Poissona z oczekiwaną liczbą zliczeń w
jednostce czasu równą 4. Odchylenie standardowe
tego rozkładu jest równe

2

=

λ

=

σ

.

Przenoszenie niepewności

Większości wielkości fizycznych nie da się określić na podstawie bezpośredniego

pomiaru. Zawsze jednak jest możliwe wyznaczenie wielkości interesującej ekperymentatora
poprzez bezpośredni pomiar innych wielkości, powiązanych związkiem funkcyjnym z
szukaną wielkością. Przykładowo aby znaleźć powierzchnię prostokąta, trzeba zmierzyć
długości jego boków l oraz h, i na tej podstawie obliczyć powierzchnię A, korzystając ze
związku A = l·h. Prawie wszystkie interesujące doświadczenia składają się z dwóch etapów,
bezpośredniego pomiaru i następujących po nim obliczeń.

Kiedy pomiar dzieli się na dwa etapy, wówczas ocena niepewności również przebiega

dwuetapowo. Po pierwsze należy ocenić niepewności wielkości mierzonych bezpośrednio,
następnie zaś stwierdzić, w jaki sposób owe niepewności "przenoszą się" w trakcie obliczeń
na niepewność ostatecznego wyniku.

W przypadku gdy poszukiwana wielkość – oznaczana dalej symbolem q – jest funkcją

tylko jednej mierzonej wielkości – oznaczanej dalej x – tzn. q=q(x) (np. objętość sześcianu
jest równa trzeciej potędze długości boku sześcianu), to jeśli x

np

jest najlepszym

oszacowaniem x, wówczas najlepszym oszacowaniem q jest q(x

np

). Jeśli ekstremalne (tj.

najmniejsza i największa) prawdopodobne wartości x równe są x

np.

+

δ

x, to odpowiadające im

ekstremalne wartości q równe są q(x

np.

±

δ

x). Korzystając z przybliżenia:

u

dx

dq

)

x

(

q

)

u

x

(

q

+

≈

+

,

(dla dowolnego przyrostu u) można przepisać ekstremalne wartości jako

.

x

dx

dq

)

x

(

q

np

δ

±

Zakład Biofizyki CMUJ

22

Elementy matematyki

W powyższym wzorze wartość bezwzględna pozwala na uwzględnienie sytuacji, gdy

dq/dx jest ujemne. Zaprezentowany wynik oznacza, że niepewność oszacowania q wynosi

δ

q

≈



dq/dx

δ

x.

W przypadku, gdy q jest funkcją dwóch zmiennych tzn q = q(x, y) i jeśli x

np

i y

np

są

najlepszymi przybliżeniami x i y, to spodziewamy się, że najlepsze przybliżenie q równe jest

q

np

= q(x

np,

y

np

).

Maksymalna niepewność wyznaczenia wartości q(x,y) równa jest:

.

y

y

q

x

x

q

q

δ

∂

∂

+

δ

∂

∂

≈

δ

gdzie

δ

x jest niepewnością wyznaczenia wielkości x,

δ

y jest niepewnością wyznaczenia

wielkości y, a symbole

x

q

∂

∂

i

y

q

∂

∂

(wprowadzane w przypadku funkcji wielu zmiennych)

oznaczają odpowiednio pochodną funkcji q(x,y) po zmiennej x i pochodną funkcji q(x,y) po
zmiennej y. (Pochodną funkcji q(x,y) po zmiennej x oblicza się zgodnie z regułami podanymi
w rozdziale Elementy rachunku różniczkowego i całkowego, traktując zmienną y tak jak stałą.
Podobnie postępuje się w celu obliczenia pochodnej funkcji q(x,y) po zmiennej y – wówczas
zmienną x traktuje się tak jak stałą: np. pochodna funkcji q(x,y) = x

2

·y po zmiennej x jest

równa

y

x

2

x

q

⋅

⋅

=

∂

∂

, a pochodna po y jest równa

2

x

y

q

=

∂

∂

).

Jeśli niepewności

δ

x i

δ

y są niezależne i przypadkowe, to powyższa suma

zastępowana jest przez pierwiastek z sumy kwadratów. Jeśli funkcja q zależy od więcej niż
dwóch zmiennych, to po prostu dodajemy kolejne wyrażenie odpowiadające każdej następnej
zmiennej. Podsumowując, można sformułować następującą regułę:

Jeśli wielkości x, ...,z zmierzone z niepewnościami

δ

x, ...,

δ

z służą do obliczenia

wartości funkcji q(x, ..., z) i jeśli niepewności wyznaczenia x, ...,z są niezależne i
przypadkowe, to niepewność wyznaczenia wartości funkcji q równa jest

.

z

z

q

...

x

x

q

q

2

2













δ

∂

∂

+

+













δ

∂

∂

=

δ

W żadnym jednak wypadku niepewność ta nie jest większa niż zwykła suma:

.

z

z

q

...

x

x

q

q

δ

∂

∂

+

δ

∂

∂

≤

δ

Przykład 5
W celu wyznaczenia gęstości odczynnika ustalono z pomocą wagi jego masę m=19,236g oraz
przy pomocy menzurki objętość V=23,5cm

3

. Wyznaczono gęstość

ρ

=m/V. Jako niepewności

oszacowania przyjęto minimalne działki skali przyrządów:

δ

m=0,001g i

δ

V=0,1cm

3

.

Ponieważ błędy wynikające z dokładności skali są błędami systematycznymi, a nie
przypadkowymi, w celu oceny niepewności wyznaczenia gęstości odczynnika skorzystano ze
wzorów:

Zakład Biofizyki CMUJ

23

Elementy matematyki

.

V

m

V

,

V

1

m

,

V

V

m

m

2

=

∂

ρ

∂

=

∂

ρ

∂

δ

∂

ρ

∂

+

δ

∂

ρ

∂

=

δρ

W wyniku eksperymentu otrzymano wynik

ρ

=0,819

±

0,004 g/cm

3

.

Przykład 6
Celem eksperymentu jest wyznaczenie średniej powierzchni S pewnych komórek. Komórki te
mają w przybliżeniu kształt eliptyczny w związku z czym aby obliczyć ich pole należy najpierw
wyznaczyć ich największą i najmniejszą średnicę – oznaczane odpowiednio symbolami a i b –
oraz skorzystać ze związku S=

π

ab. W wyniku wielokrotnego pomiaru wielkości a oszacowano

wartość średnią – 0,0143mm i odchylenie standardowe

δ

a=0,0021mm. . W wyniku

wielokrotnego pomiaru wielkości b oszacowano wartość średnią – 0,0318mm i odchylenie
standardowe

δ

b=0,0043mm. Niepewności

δ

a i

δ

b wyznaczono w wyniku wielokrotnego

powtórzenia niezależnych pomiarów, są więc oszacowaniem błędów przypadkowych. Wobec
tego w celu określenia niepewności S należy skorzystać ze związków:

.

a

b

S

,

b

a

S

,

)

b

(

b

S

)

a

(

a

S

S

2

2

2

2

π

=

∂

∂

π

=

∂

∂

δ

∂

∂

+

δ

∂

∂

=

δ

W wyniku eksperymentu otrzymano zatem wynik S=(1,4

±

0,3)10

-3

mm

2

.

Metoda najmniejszych kwadratów

W praktyce codziennej mamy bardzo często do czynienia z sytuacjami, w których dla

poznania rzeczywistości konieczne jest badanie kilku wielkości równocześnie, ze zwróceniem
szczególnej uwagi na ich wzajemne powiązania ze sobą. Przykładowo można badać zależność
pomiędzy stanem pacjenta a ilością zaaplikowanego leku.

Metoda statystyczna zajmująca się opisem zależności pomiędzy dwoma lub więcej

zmiennymi nosi nazwę analizy korelacji i regresji. Korelacja oznacza fakt współzależności
zmiennych, czyli istnienie powiązania pomiędzy nimi. Siłę i kierunek powiązania określa się
za pomocą współczynnika korelacji. Termin regresja odnosi się natomiast do modelu
matematycznego (przedstawionego w postaci równania matematycznego lub wykresu)
opisującego wspomnianą współzależność.

Wykorzystywane zależności pomiędzy zmiennymi mającymi charakter losowy zwane

są niekiedy modelami matematycznymi lub zależnościami statystycznymi (stochastycznymi).
Przykładem takiej zależności jest np. związek masy ciała i wysokości ciała Zależności
funkcyjne (deterministyczne) pomiędzy mierzonymi wielkościami są natomiast konsekwencją
podstawowych praw fizyki. Przykładem takiej zależności jest związek wartości indukcji pola
magnetycznego i odległości od środka cewki, indukujacej pole magnetyczne. Element
losowości jest wprowadzany do takich zależności np. przez proces pomiaru.

Zakład Biofizyki CMUJ

24

Elementy matematyki

Wykresy, które reprezentują obrazowo związek pomiędzy zmiennymi, nazywane są

wykresami rozrzutu. Załóżmy, że próba jest badana ze względu na dwie zmienne X i Y. W
prostokątnym układzie współrzędnych na osi odciętych zaznaczamy zmienną niezależną X, a
na osi rzędnych wartości zmiennej zależnej Y. Punkty, odpowiadające poszczególnym
wartościom cech, tworzą korelacyjny wykres rozrzutu. Analizę zależności powinno się
rozpoczynać od jego sporządzenia. Wzrokowa ocena umożliwia często określenie siły i
rodzaju zależności. Rysunek 21 przedstawia wykresy rozrzutu w przypadku gdy między
zmiennymi występuje:

1. korelacja liniowa dodatnia;
2. korelacja liniowa ujemna;
3. brak korelacji;
4. korelacja krzywoliniowa.

Rzadko zdarza się, że zaznaczone punkty leżą dokładnie na linii prostej (pełna

korelacja), częściej spotykana konfiguracja składa się z wielu zaznaczonych punktów
leżących mniej więcej wzdłuż konkretnej krzywej. Gdy korelacja staje się coraz mniej
doskonała, wówczas punkty zaczynają się rozpraszać na płaszczyźnie XY. Taka sytuacja
występuje w przypadku [3] na rysunku 21. Korelacja dodatnia występuje wtedy, gdy
wzrostowi wartości jednej cechy odpowiada wzrost średnich wartości drugiej cechy
(przypadek [1] na rysunku 21). Korelacja ujemna występuje wtedy, gdy wzrostowi jednej
cechy odpowiada spadek średnich wartości drugiej cechy (przypadek [2] na rysunku 21).

Natężenie współzależności dwóch zmiennych można wyrazić liczbowo za pomocą

współczynnika korelacji liniowej Pearsona. Współczynnik ten (oznaczony symbolem r

xy

i

przyjmujący wartości z przedziału [-1, 1] jest miernikiem siły związku prostoliniowego
między dwiema cechami mierzalnymi. Wzór na współczynnik korelacji liniowej Pearsona ma
postać:

(

)(

)

(

) (

)

∑

∑

∑

=

=

=

−

−

−

−

=

n

1

i

i

n

1

i

i

i

n

1

i

i

xy

y

y

x

x

y

y

x

x

r

,

gdzie

y

,

x

- to średnie wartości cech x i y.

1

2

Zakład Biofizyki CMUJ

25

Elementy matematyki

3

4

Rys. 21

Wykresy rozrzutu dla przypadku korelacji liniowej dodatniej (1),
korelacji liniowej ujemnej (2), braku korelacji (3) i korelacji
krzywoliniowej (4).

Znak współczynnika korelacji informuje nas o kierunku korelacji, natomiast jego

bezwzględna wartość – o sile związku. Mamy oczywiście równość r

xy

= r

yx

. Gdy |r

xy

|

jest

bliskie jedności, to zależność korelacyjna przechodzi w zależność funkcyjną (funkcja
liniowa). Jeśli natomiast |r

xy

| jest bliskie zeru, oznacza to brak związku korelacyjnego między

badanymi zmiennymi X i Y (przypadek [3] na rysunku 21).

Funkcja regresji to analityczny wyraz przyporządkowania średnich wartości zmiennej

zależnej Y konkretnym wartościom zmiennej niezależnej X. Najprostsze zależności między
zmiennymi to te, które mają postać liniową. Krzywe regresji będące liniami prostymi
nazywamy prostymi regresji. Mają one następującą postać:

b

ax

y

+

=

.

Parametry równania regresji z próby szacuje się metodą najmniejszych kwadratów.

Metoda najmniejszych kwadratów polega na takim oszacowaniu parametrów wyżej
wymienionych funkcji, by dla danych z próby spełniony był warunek :

wyrażenie

(

)

(

)

∑

∑

=

=

−

−

=

−

n

1

i

n

1

i

2

i

2

i

i

b

ax

y

y

y

ma osiągnąć minimum,

gdzie y

i

oznaczają wartości empiryczne zmiennej Y, a

i

y

wartości teoretyczne wyznaczone

na podstawie równania

b

ax

y

+

=

.

Wartości współczynników a i b wyznacza się z wzorów:

(

)(

)

(

)

∑

∑

=

=

−

−

−

=

n

1

i

2

i

n

1

i

i

i

x

x

y

y

x

x

a

x

a

y

b

−

=

.

Można udowodnić, że błędy – odchylenia standardowe wartości średnich wielkości a i b
wyrażają się wzorami :

Zakład Biofizyki CMUJ

26

Elementy matematyki

∑

∑

∑

=

=

=













−

ε

−

=

σ

n

1

i

2

n

1

i

i

2
i

n

1

i

2
i

a

x

x

n

n

2

n

1

,

x

x

n

x

2

n

1

n

1

i

2

n

1

i

i

2
i

n

1

i

2
i

n

1

i

2
i

b

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=













−

ε

−

=

σ

w których

.

y

b

y

x

a

y

n

1

i

i

n

1

i

i

i

n

1

i

n

1

i

2
i

2
i

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

−

−

=

ε

Przykład 7
Wykonano pomiar gęstości kręgu lędźwiowego L3 w grupie 16 osób przy pomocy dwóch
urządzeń - densytometru i tomografu rentgenowskiego. Wyniki przedstawiono na rysunku 22.

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Y = a * X + b

a = 162 ± 34
b = -67 ±34

r

xy

2

= 0.783

B

M

D

(

m

g

H

A

/c

m

3

)

BMD (g/cm

2

)

Rys. 22

Wykres zależności wyników pomiarów gęstości kości,
wykonanych przy pomocy różnych metod diagnostycznych.

Zakład Biofizyki CMUJ

27

Elementy matematyki

Zakład Biofizyki CMUJ

28