TEST CHI KWADRAT

Statystyka χ² z n stopniami swobody jest zdefiniowana jako suma kwadratów n niezależnych zmiennych o rozkładzie normalnym ze średnią 0 i wariancją 1.

Test χ²stosuje się wyłącznie do LICZEBNOŚCI !!!

Wyróżniamy 2 rodzaje testu χ²:

• test ZGODNOŚCI χ²:

sprawdzamy czy dana cecha ma np. rozkład NORMALNY lub czy rozkład danej cechy jest zgodny z rozkładem oczekiwanym (np. stosunek fenotypów).

H₀: rozkład jest określonego typu (np. 5 : 3 : 2)

H_A: rozkład nie jest określonego typu

• test NIEZALEŻNOŚCI χ²:

badamy zależność między dwoma cechami

H₀: brak zależności między cechami

H_A: występuje zależność między cechami

gdzie:

f_i - liczebności doświadczalne

F_i - liczebności oczekiwane

df = n - 1

n - liczba grup

df = (a - 1)(b - 1)

a - liczba poziomów jednej cechy (liczba wierszy)

b - liczba poziomów drugiej cechy (liczba kolumn)

Wartość statystyki testowej
porównujemy z wartościami odczytanymi z tablic rozkładu χ² dla α = 0,05 i 0,01 oraz odpowiednich stopni swobody (w zależności od rodzaju stosowanego testu).

Podejmowanie decyzji:

Poprawka YATES'a dla testu ZGODNOŚCI, gdy df = 1:

Przykład 1 (test zgodności):

Barwa upierzenia u kur rasy andaluzyjskiej uwarunkowana jest jedną parą genów Aa. Homozygoty dominujące są czarne, homozygoty recesywne są białe, natomiast heterozygoty - niebieskie. W pewnym stadzie wystąpiło 180 kur z upierzeniem czarnym, 825 z niebieskim oraz 995 kur o upierzeniu białym. Sprawdź, czy uzyskane w stadzie liczebności poszczególnych fenotypów można uznać za zgodne ze stosunkiem 1 : 4 : 5.

H₀: rozkład jest zgodny ze stosunkiem 1 : 4 : 5

H_A: rozkład nie jest zgodny z oczekiwanym

fi: (l. doświadczalne)	180	825	995	Σ = 2000	n = 3
oczekiwany stosunek	1	4	5	Σ = 10
Fi: (l. oczekiwane)	200 x 1 = 200	200 x 4 = 800	200 x 5 = 1000	2000 / 10 = 200

(df = 2) = 5,99

(df = 2) = 9,21

Odpowiedź:

Rozkład barwy upierzenia w badanym stadzie kur jest zgodny z oczekiwanym.

Zdanie 1:

W wyniku kojarzenia podwójnie heterozygotycznych świnek morskich otrzymano następujące fenotypy: 1300 czarnych kędzierzawych, 540 czarnych gładkich, 610 białych kędzierzawych oraz 750 białych gładkich. Sprawdź, czy otrzymane liczebności są zgodne z oczekiwanym rozkładem 9 : 3 : 3 : 1.

Zadanie 2:

Skojarzono czarne bezrożne buhaje z krowami o takim samym fenotypie i uzyskano: 22 cielęta bezrożne i czarne oraz 14 cieląt czarnych, ale rogatych. Sprawdź, czy rozkład fenotypów u potomstwa jest zgodny z oczekiwanym stosunkiem 3 : 1.

Zadanie 3:

W pewnej fabryce zaobserwowano następujący rozkład nieobecności:

dzień tygodnia	pn.	wt.	śr.	czw.	pt.
liczba nieobecnych	200	160	140	140	100

Zweryfikować hipotezę, że liczba nieobecnych pracowników jest jednakowa w każdym dniu tygodnia.

Przykład 2 (test niezależności):

Na podstawie liczebności podanych w tabeli poniżej zbadaj, czy umaszczenie królików zależy od ich płci.

Tabela KONTYNGENCJI:

płeć barwa futerka	SAMCE	SAMICE	suma w wierszach
BIAŁE	8 (44 x 70) / 150 = 20,53	36 (44 x 80) / 150 = 23,47	44
AGOUTI	12 (36 x 70) / 150 = 16,80	24 (36 x 80) / 150 = 19,20	36
HIMALAJSKIE	23 (35 x 70) / 150 = 16,33	12 (35 x 80) / 150 = 18,67	35
CZARNE	27 (35 x 70) / 150 = 16,33	8 (35 x 80) / 150 = 18,67	35
suma w kolumnach	70	80	Σ = 150

H₀: brak zależności między umaszczeniem i płcią królików

H_A: występuje zależność między umaszczeniem i płcią królików

df = (4 - 1)(2 - 1) = 3 x 1 =3

(df = 3) = 7,81

(df = 3) = 11,34

Odpowiedź:

Istnieje wysoce istotna zależność między płcią, a umaszczeniem królików.

Zadanie 4:

Na podstawie liczebności podanych w tabeli poniżej, sprawdź czy siwienie koni zależy od maści podstawowej.

siwienie maść podstawowa	TAK	NIE
KARE	8	52
GNIADE	34	36
KASZTANOWATE	58	12

Zadanie 5:

W tabeli poniżej zamieszczono liczbę studentów studiów dziennych i zaocznych zdających egzamin z doświadczalnictwa zootechnicznego oraz oceny, które otrzymali. Sprawdź, czy studenci studiów stacjonarnych lepiej zdają egzamin od swoich kolegów studiujących zaocznie.

ocena studia	bdb	+db	db	+dst	dst	ndst
dzienne	20	31	62	29	27	14
zaoczne	11	9	26	21	30	29

Zadanie 6:

Badano częstość występowania MASTITIS u krów młodych i starych. Na podstawie wyników przedstawionych poniżej, sprawdź czy występowanie choroby i wiek są cechami zależnymi.

	młode	stare
zdrowe	12	6
chore	5	10

odrzucamy H₀ na rzecz H_A

≤
^∗∗

≤
^∗ <

Brak podstaw do odrzucenia H₀

<

<
⇒ brak podstaw do odrzucenia H₀

>
i
>
⇒ odrzucamy H₀ na rzecz H_A