Testy zgodności

Testami zgodności

nazywamy testy

służące do weryfikacji hipotez o typie
rozkładu badanej cechy (np. do
weryfikacji hipotezy, że rozkład badanej
cechy jest normalny). W hipotezach
sprawdzanych tego typu testami nie
precyzuje się żadnych przypuszczeń
dotyczących wartości parametrów
rozkładu, a jedynie postaci (kształtu)
rozkładu. Dlatego tego rodzaju testy
zalicza się do grupy

testów

nieparametrycznych

.

Testy zgodności

Test zgodności χ

2

Test χ

2

służy do weryfikacji hipotezy zerowej H

0

następującej postaci:
H

0

: rozkład zmiennej losowej (cechy) X w

badanej
populacji jest rozkładem określonego

typu
przy hipotezie alternatywnej, będącej

zaprzeczeniem hipotezy zerowej tzn.
H

A

: ~(rozkład X jest rozkładem.........)

Test ten opiera się na porównaniu rozkładu cechy

w próbie (czyli rozkładu empirycznego) z

założonym rozkładem cechy w populacji (czyli z

rozkładem teoretycznym).

Testy zgodności

Oznaczenia:

k – liczba przedziałów klasowych ( lub klas)

n

i

– liczba obserwacji w i–tym przedziale

klasowym

(w i–tej klasie)

p

i

– prawdopodobieństwo teoretyczne uzyskania

wyniku w i-tym przedziale klasowym (klasie)
– liczebność próby

Statystyka o wartościach

ma rozkład χ

2

z (k-1)

stopniami swobody

n

i

– liczebność empiryczna

np

i

– liczebność hipotetyczna, oczekiwana







k

1

i

i

n

n













k

1

i

i

2

i

i

2

0

p

n

)

p

n

n

(

χ

Testy zgodności

Aby zweryfikować hipotezę H

0

obliczamy wartość

statystyki χ

2

oraz ustalamy poziom istotności  :

jeżeli

χ

0

2

> χ



2

to

odrzucamy H

0

i

przyjmujemy H

A

jeżeli

χ

0

2

< χ



2

to

nie ma podstaw do

odrzucenia H

0

Jeżeli cecha X przyjmuje k-wartości x

1

, x

2

, ... x

k

(k-klas) to

gdzie

n

i

– liczba obserwacji w próbie o

wartości x

i

(liczebność obserwowana)

N

i

– oczekiwana liczba obserwacji w próbie

o

wartości x

i









k

1

i

i

2

i

i

2

0

N

)

N

n

(

χ

Testy zgodności

Przykład: W stadzie urodziło się
238 cieląt czarnych i 262 cielęta
czerwone. Czy można przyjąć, że
stosunek umaszczenia czarnego :
czerwonego jest jak 1:1?
Zweryfikować hipotezę na poziomie
istotności = 0,05.
H

0

: N

czarne

: N

czerwone

= 1 : 1

H

A

: N

czarne

: N

czerwone

 1 : 1

N

czarne

- liczba cieląt czarnych

N

czerwone

- liczba cieląt czerwonych

Testy zgodności

Liczebności obserwowane: n

1

= 238 n

2

=

262
Liczebności oczekiwane: N

1

= 250

N

2

=250

=3,841 dla 1-go stopnia swobody

zatem nie ma podstaw do odrzucania H

0

czyli

przyjmujemy,

że

stosunek

umaszczenia

czarnego do czerwonego jest jak 1 : 1

152

1

250

250

262

250

250

238

N

N

n

2

2

2

1

i

i

2

i

i

2

0

,

)

(

)

(

)

(





















2

05

0,



2

05

,

0

2

0

χ

841

,

3

152

,

1

χ







χ

2

– test niezależności

Populacja jest równocześnie badana ze względu
na dwie cechy X i Y (niekoniecznie mierzalne)
Cecha X o r wartościach (tzw.

kategoriach

)

Cecha Y o s wartościach (tzw.

kategoriach

)

Z populacji losujemy próbę o liczebności n.
Wyniki przedstawiamy w tabeli zwanej

tablicą

kontyngencji r



s

, w której n

ij

oznacza

liczebność podklasy (i,j) tzn. liczba elementów
próby w klasie ( i ) dla cechy X oraz w klasie ( j
) dla cechy Y

χ

2

– test niezależności

1 (y

1

) 2 (y

2

)

.....

.....

s (y

s

) suma

1 (x

1

)

n

11

n

12

.....

.....

n

1s

n

1

.

2 (x

2

)

n

21

n

22

.....

.....

n

2s

n

2

.

...

.....

.....

.....

.....

.....

...

.....

.....

.....

.....

.....

r (x

r

)

n

r1

n

r2

…..

…..

n

rs

n

r

.

suma

n.

1

n.

2

.....

.....

n.

s

n..

























s

1

j

j

r

1

i

i

r

1

i

ij

j

s

1

j

ij

i

.

n

.

n

..

n

n

.

n

n

.

n

X Y

Tablica kontyngencji rs

χ

2

– test niezależności

Testujemy hipotezę:
H

0

: cechy X i Y są niezależne

H

A

: cechy X i Y są cechami

zależnymi

x

i

– wartość (kategoria) dla cechy X

y

j

– wartość (kategoria) dla cechy Y

χ

2

– test niezależności

1.

obliczamy liczebności oczekiwane

:

na podstawie tablicy kontyngencji

2. obliczamy wartość:

która jest wartością statystyki χ

2

z (r-

1)(s-1) stop-
niami swobody

..

n

n

n

N

j

i

ij









 





 

r

1

i

s

1

j

ij

2

ij

ij

2

0

N

N

n

)

(



χ

2

– test niezależności

3. testujemy H

0

jeśli

>

H

0

odrzucamy

przyjmujemy H

A

czyli

cechy X i Y są zależne

jeśli

<

brak podstaw do

odrzucenia H

0

czyli można uznać, że

cechy X i Y są

niezależne

2

0



2





2

0



2





χ

2

– test niezależności

Przykład
Tabela przedstawia liczby prosiąt chorych na

pewną chorobę w zależności od tego czy matka

prosięcia była zdrowa czy chora na tę chorobę,

Czy istnieje związek między zdrowotnością matek

i potomstwa?

Matka

Potomek zdrowa chora

suma

Zdrowy

274=n

11

47=n

12

321=n

1·

Chory

44= n

21

17=n

22

61=n

2·

Suma 318=n

·1

64=n

·2

382=n

··

H

0

: zdrowotność potomstwa (X) nie zależy od

zdrowotności matek (Y) (czyli X i Y są

niezależne)

χ

2

– test

niezależności

wyznaczamy liczebności oczekiwane

10

382

64

61

n

n

n

N

51

382

318

61

n

n

n

N

54

382

64

321

n

n

n

N

267

382

318

321

n

n

n

N

2

2

22

1

2

21

2

1

12

1

1

11









































































N

11

+N

12

=321

N

21

+N

22

=61

274= n

11

47=n

12

321=n

1·

44= n

21

17=n

22

61=n

2·

318= n

·1

64=n

·2

382=n

··

Obliczamy wartość χ

2

95

,

6

90

,

4

96

,

0

91

,

0

18

,

0

10

7

51

)

7

(

54

)

7

(

267

7

10

)

10

17

(

51

)

51

44

(

54

)

54

47

(

267

)

267

274

(

N

)

N

n

(

χ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

i

2

1

j

ij

2

ij

ij

2

0







































 







 

267=N

11

54=N

12

51= N

21

10=N

22

274= n

11

47=n

12

44= n

21

17=n

22

χ

2

– test niezależności

χ

2

0,05

= 3,841 dla (2-1)(2-1)=1

stopnia swobody

χ

2

0

= 6,95



3,841 = χ

2

0,05

a

zatem

H

0

–

odrzucamy

czyli

twierdzimy,

że

zdrowotność

potomstwa ( X ) i zdrowotność matek
( Y )

są cechami zależnymi