1) Test dla wartości średniej populacji
MODEL I
Założenia:
- populacja generalna ma rozkład N(m,σ),
- odchylenie standardowe σ znane,
- m
0
– hipotetyczna wartość średniej,
- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H
0
: m=m
0
,
- hipoteza alternatywna H
1
: m≠m
0
.
Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:
√
Z tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności α, wyznacza się wartość krytyczną
u
α
, tak aby zachodziła równość:
{| |
}
Zbiór wartości U określony jako |U| ≥ u
α
jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
|u| ≥ u
α
– hipotezę H
0
należy odrzucić,
|u| < u
α
– brak podstaw do odrzucenia hipotezy H
0
.
UWAGA
Model I opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: p1≠p2).
Jeżeli hipoteza H1:p1<p2 – test z lewostronnym obszarem krytycznym, tzn. U ≤ u(alfa) oraz
u(alfa) wyznaczamy tak, aby:
(
)
Jeżeli hipoteza H1:p1>p2 – test z prawostronnym obszarem krytycznym, tzn. U ≥ u(alfa) oraz
u(alfa) wyznaczamy tak, aby:
(
)
MODEL II
Założenia:
- populacja generalna ma rozkład N(m,σ),
- odchylenie standardowe σ nieznane,
- m
0
– hipotetyczna wartość średniej,
- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H
0
: m=m
0
,
- hipoteza alternatywna H
1
: m≠m
0
,
- próba losowa mała (n<30).
Wzór na wartość statystyki t:
√
̂
√
Z tablicy rozkładu t Studenta, przy założonym poziomie istotności alfa oraz k=n-1 stopniach
swobody, wyznacza się wartość krytyczną t
α
, tak aby zachodziła równość:
{| |
}
Zbiór wartości U określony jako |U| ≥ u
α
jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
|t| ≥ t
α
– hipotezę H
0
należy odrzucić,
|t| < t
α
– brak podstaw do odrzucenia hipotezy H
0
.
UWAGA
Model II opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: p1≠p2).
Jeżeli hipoteza H1:p1<p2 – test z lewostronnym obszarem krytycznym, tzn. U ≤ u(alfa) oraz
u(alfa) wyznaczamy tak, aby:
(
)
Jeżeli hipoteza H1:p1>p2 – test z prawostronnym obszarem krytycznym, tzn. U ≥ u(alfa) oraz
u(alfa) wyznaczamy tak, aby:
(
)
MODEL III
Założenia:
- populacja generalna ma rozkład N(m,σ),
- odchylenie standardowe σ nieznane,
- m
0
– hipotetyczna wartość średniej,
- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H
0
: m=m
0
,
- hipoteza alternatywna H
1
: m≠m
0
,
- próba losowa duża (n≥30).
Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:
√
Dalej test istotności obliczany jest dokładnie jak w modelu I.