2)

Test dla dwóch średnich

MODEL I

Założenia:

- populacje generalne mają rozkład N(m1,sigma1) oraz N(m2,sigma2)

- odchylenia standardowe sigma1 i sigma2 są znane

- weryfikacja na podstawie 2 prób losowych niezależnych hipotezy H(zero): m1=m2

- Hipoteza alternatywna H1: m1≠m2

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:

√

Z tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności alfa, wyznacza się wartość krytyczną
u

alfa

tak, aby zachodziła równość:

| |

Zbiór wartości U określony jako |U|≥u

alfa

określony jest jako obszar krytyczny

UWAGA

Model I opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: m1≠m2).

Jeżeli hipoteza H1:m1<m2 – test z lewostronnym obszarem krytycznym, tzn. U ≤ u(alfa) oraz u(alfa)
wyznaczamy tak, aby:

Jeżeli hipoteza H1:m1>m2 – test z prawostronnym obszarem krytycznym, tzn. U ≥ u(alfa) oraz u(alfa)
wyznaczamy tak, aby:

MODEL II

Założenia:

- sigma1 i sigma2 nieznane (

sigma1=sigma2!

)

- próby losowe małe (n1<30 oraz n2<30)

Wzór na wartość statystyki t:

√

Z tablicy rozkładu t Studenta, przy założonym poziomie istotności alfa oraz

k=n1+n2-2

stopniach

swobody, wyznacza się wartość krytyczną t(alfa), tak aby zachodziła równość:

| |

Zbiór wartości t określony jako |t|≥t(alfa) jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

- |t|≥t(alfa) – hipotezę H0 należy odrzucić

- |t|<t(alfa) – brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0

UWAGA

Model II opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: m1≠m2).

Jeżeli hipoteza H1:m1<m2 – test z lewostronnym obszarem krytycznym, tzn. t ≤ t(alfa) oraz t(alfa)
wyznaczamy tak, aby:

Jeżeli hipoteza H1:m1>m2 – test z prawostronnym obszarem krytycznym, tzn. t ≥ t(alfa) oraz t(alfa)
wyznaczamy tak, aby:

MODEL III

- odchylenia sigma1 i sigma2 nieznane

- próby losowe duże (n1>30, n2>30)

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:

√

Dalej test istotności jest obliczany jak w modelu I.

Test dla procentu (wskaźnika struktury)

MODEL

Założenia:

- populacja generalna ma rozkład dwupunktowy

- p – frakcja elementow wyróżnionych w populacji

- p0 – hipotetyczna wartość frakcji

- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H0: p=p0

- hipoteza alternatywna H1: p≠p0

- duża próba losowana niezależnie (n>100).

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:

√

Gdzie q0 = 1 – p0

Dalsze obliczenia obszarów krytycznych są takie same jak w przypadku modelu I dotyczącego dwóch
średnich:

UWAGA

Model opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: m1≠m2).

Jeżeli hipoteza H1:m1<m2 – test z lewostronnym obszarem krytycznym, tzn U≤u(alfa) oraz u(alfa)
wyznaczamy tak, aby:

Jeżeli hipoteza H1:m1>m2 – test z prawostronnym obszarem krytycznym, tzn U≥u(alfa) oraz u(alfa)
wyznaczamy tak, aby:

Przykład do policzenia:

Na 800 zbadanych pacjentów pewnego szpitala 320 miało grupę krwi 0. Na poziomie istotności
alfa=0,05 (1-alfa = 0,95) zweryfikować hipotezę, że procent pacjentów z tą grupą krwi wynosi 35%.

Odp.: Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (warunek obszaru krytycznego spełniony).

Oznaczenia:

m – wielkość próby

n – wielkość populacji generalnej

alfa – poziom istotności

p0 – hipotetyczna wartość próby

m/n – wynik z próby (wielkość próby/populacja generalna)

u – zmienna normalna standaryzowana, wyliczana z podanego wcześniej wzoru