Metody Obliczeniowe - 2 rok Budownictwo : Przykładowe zadania na kolokwium 2

1

Zadanie 1

. Podane równanie różniczkowe rozwiązać MES przyjmując podział dziedziny zadania na dwa

elementy skończone o liniowej interpolacji. Naszkicować rozwiązanie przybliżone.

y

′′

+ 2y = 2 ,

y

′

(0) = 0 , y(4) = 1 .

Zadanie 2

. Dla danego problemu brzegowego:

y

′′

= 6x,

x ∈ [−1, 2],

y(−1) = 1,

y

′

(2) = −1

obliczyć wartości niewiadomej funkcji w węzłach dla słabego sformułowania Bubnowa-Galerkina, przy
użyciu trzech liniowych ES o równych długościach. Dla pojedynczego elementu zachodzi równość: K

e

Q

e

=

P

e

+ P

e
b

, (x = x

e

+ d

e

), gdzie:

K

e

=



1

−1

−1

1



,

P

e

= −



1 + 3d

e

2 + 3d

e



,

P

e
b

=



−y

′

(0

e

)

y

′

(l

e

)



Zadanie 3

. Mając dane funkcje interpolacyjne Hermite’a wyznaczyć zastępnik Z

1

dla dwuwęzłowego

elementu belkowego i obciążenia parabolicznego jak na rysunku.

12 kN

4 m

x

y

1

2

q

1

q

2

q

3

q

4

Zadanie 4

. Wyznaczyć ugięcie belki w połowie elementu 2 korzystając z interpolacji Hermite’a.

4 m

6 m

2EI

EI

13 kN

1

2

3

el1

el2

EI=18000 kNm

2

x

y

gdzie Q = {0 0 0 0.001 0.016 0}

Zadanie 5

. Obliczyć wektor gęstości strumienia ciepła q oraz temperaturę w punkcie A(1.0,1.5) dla

tarczy zdyskretyzowanej jednym elementem skończonym. Dane są wektor stopni swobody

a

, macierz przewodności k i funkcje kształtu.

3 m

2 m

A

1

2

3

x

y

a

=





T

1

T

2

T

3





=





2

3.5

4





◦

C

k

=



4

0

0

6



J/

◦

Cms

N

1

(x, y) = −

1
2

y + 1

N

2

(x, y) =

1
3

x

N

3

(x, y) = −

1
3

x +

1
2

y

Metody Obliczeniowe - 2 rok Budownictwo : Przykładowe zadania na kolokwium 2

2

Zadanie 6

.

Podaną konstrukcję tarczową zdyskretyzowano jednym, trójwęzłowym elementem skończonym. Wyzna-
czyć wektor prawej strony do obliczeń MES.

5 kN/m

8 kN/m

X

Y

1

2

3

3 m

4 m

N

1

(x, y) = −

1

4

y + 1

N

2

(x, y) = −

1

3

x +

1

4

y

N

3

(x, y) =

1

3

x

Zadanie 7

. Dla tarczy (problem płaskiego stanu naprężenia) zdyskretyzowanej za pomocą 4 elementów

skończonych obliczyć globalny wektor obciążenia.

4

5

6

7

9

8

1

2

3

2m

2m

1m

1m

5kN

Zadanie 8

. Wyprowadzić funkcje kształtu dla trójkątnego tarczowego elementu skończonego.

3

2

1

x

y

1 m

2 m

2 m

Zadanie 9

. Przedstawić graficznie proces agregacji macierzy sztywności dla elementów 2 i 3 w poniższej

ramie. Zapisać globalny wektor F prawej strony równania MES.

1

1

2

2

3

3

4

4

12 kN

14 kNm

15 kN

X

Y

Metody Obliczeniowe - 2 rok Budownictwo : Przykładowe zadania na kolokwium 2

3

Zadanie 10

. Dla elementu 1 wyznaczyć składowe przemieszczenia u

x

i u

y

oraz wektor odkształceń ǫ w

punkcie o współrzędnych X=1 Y=–1 przy założeniu płaskiego stanu naprężenia. Globalny

wektor przemieszczeń ma postać:

Q

=



0 0

−1 −3 0

0 2

−2 0 0

−1 −2

· 10

−4

m

X

Y

1

2

3

1

6

5

2

3

4

3 m

3 m

3 m

3 m

ǫ

xx

= u

x,x

ǫ

yy

= u

y,y

ǫ

xy

= u

x,y

+ u

y,x

x

y

1

2

3

e

b

a

N

e

1

= 1 −

y

b

N

e

2

=

x
a

N

e

3

=

y

b

−

x
a

Zadanie 11

. Zapisać wektor prawej strony równania MES dla podanej ramy.

5m

4m

x

y

1

2

3

H

1

= 1 − 3ξ

2

+ 2ξ

3

H

2

= l

e

(ξ − 2ξ

2

+ ξ

3

)

H

3

= 3ξ

2

− 2ξ

3

H

4

= l

e

(ξ

3

− ξ

2

)

ξ = x/l

e

EA = 10000 kN

EI = 252.3 kNm

2

12 kN/m

14 kN

Zadanie 12

. Dla podanego elementu belkowego na podstawie znanego globalnego wektora stopni swobo-

dy obliczyć MES siły przywęzłowe i wykonać wykresy sił przekrojowych dla tego elementu.

(Należy zwrócić uwagę na globalne numery węzłów.)

l=2m

x, X

y, Y

q=6kN/m

k

e

=














12EI

l

3

6EI

l

2

−

12EI

l

3

6EI

l

2

6EI

l

2

4EI

l

−

6EI

l

2

2EI

l

−

12EI

l

3

−

6EI

l

2

12EI

l

3

−

6EI

l

2

6EI

l

2

2EI

l

−

6EI

l

2

4EI

l














e

z

e

=

(

ql

2

ql

2

12

ql

2

−

ql

2

12

)

e

E = 20 · 10

6

kPa

I = 3 · 10

−4

m

4

Q

= {0 0 0 2 0 -2 0 2 -1 2 0 -3} · 10

−3

m

3

2