Metody Obliczeniowe - wykłady
MES dla konstrukcji prętowych

dr inż. Jan Jaśkowiec

Kraków, Marzec 2015

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

x

e

y

e

p

e

x

(x

e

)

p

e

y

(x

e

)

¯

f

e

1

¯

f

e

2

¯

f

e

3

¯

f

e

4

¯

f

e

5

¯

f

e

6

Rysunek:

obciążenie elementu prętowego w układzie lokalnym pręta

p

e

(x

e

) =

p

e

x

(x

e

)

p

e

y

(x

e

)



– wektor obciążenia zewnętrznego pręta

¯

f

e

=



¯

f

e

1

¯

f

e

2

¯

f

e

3

¯

f

e

4

¯

f

e

5

¯

f

e

6

T

– wektor sił przywęzłowych

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

W wyniku obciążenia punkty w pręcie ulegają przemieszczeniu, które
opisywane jest wektorem:

u

e

(x

e

) =

u

e

x

(x

e

)

u

e

y

(x

e

)



(1)

gdzie:
u

e

x

(x

e

) - przemieszczenie opisujące ’wydłużenie’ elementu

u

e

y

(x

e

) - przemieszczenie opisujące ugięcie elementu

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Energia potencjalna elementu prętowego

Φ

e

(u

e

) =

1

2

Z

V

e

σ

e

ε

e

dV

e

−

L

e

Z

0

u

eT

p

e

dx

e

− ¯

d

e

T

¯

f

e

(2)

gdzie: ¯

d

e

– wektor uogólnionych przemieszczeń na początku i końcu

elementu

¯

d

e

=











¯

d

e

1

¯

d

e

2

¯

d

e

3

¯

d

e

4

¯

d

e

5

¯

d

e

6











=











u

e

x

(0)

u

e

y

(0)

u

0e

y

(0)

u

e

x

(L

e

)

u

e

y

(L

e

)

u

0e

y

(L

e

)











(3)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Odkształcenie w elemencie ramowych jest złożeniem odkształcenia
związanego z rozciąganiem oraz ugięciem:

ε = u

0

x

−

y

%

(4)

gdzie:
% – krzywizna ugięcia elementu
Dla małych ugięć krzywizna jest wyrażona przez drugą pochodną funkcji
ugięcia:

% =

1

u

00

y

(5)

Zatem:

ε = u

0

x

− yu

00

y

(6)

Prawo Hooke’a

σ = E ε = E (u

0

x

− yu

00

y

)

(7)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Z

V

e

σε dV

e

=

Z

V

e

E (u

0

x

− yu

00

y

)

2

dV

e

=

Z

V

e

E (u

0

x

2

− 2u

0

x

yu

00

y

+ y

2

u

00

y

2

) dV

e

=

(8)

L

e

Z

0

Z

A

E (u

0

x

2

− 2u

0

x

yu

00

y

+ y

2

u

00

y

2

) dA dx

e

=

(9)

L

e

Z

0

Z

A

dAE u

0

x

2

dx

e

−

L

e

Z

0

Z

A

y dA 2E u

0

x

u

00

y

dx

e

+

L

e

Z

0

Z

A

y

2

dA E u

00

y

2

dx

e

(10)

R

A

dA = A – pole przekroju pręta

R

A

y dA = 0 – moment statyczny przekroju

R

A

y

2

dA = I – moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Z

V

e

σε dV

e

=

L

e

Z

0

EAu

0

x

2

+ EI u

00

y

2

dx

e

(11)

e =

 u

0

x

−u

00

y



,

D =

EA

0

0

EI



(12)

Z

V

e

σε dV

e

=

L

e

Z

0

e

T

De dx

e

(13)

Φ

e

(u

e

) =

1

2

L

e

Z

0

e

e T

De

e

dx

e

−

L

e

Z

0

u

eT

p

e

dx

e

− ¯

d

e

T

¯

f

e

(14)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Interpolacja:

u

e

x

= N

e

1

(x

e

) ¯

d

e

1

+ N

e

2

(x

e

) ¯

d

e

4

– interpolacja Lagrange’a

u

e

y

= H

e

1

(x

e

) ¯

d

e

2

+ H

e

2

(x

e

) ¯

d

e

3

+ H

e

3

(x

e

) ¯

d

e

5

+ H

e

4

(x

e

) ¯

d

e

6

– interp. Hermite’a

u

e

=

u

e

x

u

e

y



=

N

e

1

0

0

N

e

2

0

0

0

H

e

1

H

e

2

0

H

e

3

H

e

4













¯

d

e

1

¯

d

e

2

¯

d

e

3

¯

d

e

4

¯

d

e

5

¯

d

e

6











= N

e

¯

d

e

(15)

e

e

=

N

e

1

0

0

0

N

e

2

0

0

0

0

−H

e

1

00

−H

e

2

00

0

−H

e

3

00

−H

e

4

00













¯

d

e

1

¯

d

e

2

¯

d

e

3

¯

d

e

4

¯

d

e

5

¯

d

e

6











= B

e

¯

d

e

(16)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Funkcje interpolacyjne Lagrange’a

N

1

(x ) = 1 − ξ

N

2

(x ) = ξ

ξ = x

e

/L

e

Funkcje interpolacyjne Hermite’a

H

1

(x ) = 1 − 3ξ

2

+ 2ξ

3

H

2

(x ) = L

e

(ξ − 2ξ

2

+ ξ

3

)

H

3

(x ) = 3ξ

2

− 2ξ

3

H

4

(x ) = L

e

(ξ

3

− ξ

2

)

ξ = x

e

/L

e

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Φ

e

(u

e

) =

1

2

L

e

Z

0

e

e T

De

e

dx

e

−

L

e

Z

0

u

eT

p

e

dx

e

− ¯

d

e

T

¯

f

e

(17)

Φ

e

( ¯

d

e

) =

1

2

¯

d

e

T

L

e

Z

0

B

e T

DB

e

dx

e

¯

d

e

− ¯

d

e

T

L

e

Z

0

N

eT

p

e

dx

e

− ¯

d

e

T

¯

f

e

(18)

Φ

e

( ¯

d

e

) =

1

2

¯

d

e

T

¯

K

e

¯

d

e

− ¯

d

e

T

¯

z

e

− ¯

d

e

T

¯

f

e

(19)

¯

K

e

– elementowa macierz sztywności elementu ramowego w ukł. lok.

¯

z

e

– wektor zastępników od obciążenia elementu w ukł. lok.

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Elementowa macierz sztywności:

¯

K

e

=

T

L

e

Z

0

B

e T

DB

e

dx

e

(20)

¯

K

e

=






















EA

L

0

0

−

EA

L

0

0

0

12EI

L

3

6EI

L

2

0

−

12EI

L

3

6EI

L

2

0

6EI

L

2

4EI

L

0

−

6EI

L

2

2EI

L

−

EA

L

0

0

EA

L

0

0

0

−

12EI

L

3

−

6EI

L

2

0

12EI

L

3

−

6EI

L

2

0

6EI

L

2

2EI

L

0

−

6EI

L

2

4EI

L






















e

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Wektor zastępników:

¯

z

e

=

L

e

Z

0

N

eT

p

e

dx

e

(21)

W przypadku gdy

p

e

(x

e

) =

p

e

x

p

e

y



= const

(22)

¯

z

e

=

n

p

e

x

L

e

2

p

e

y

L

e

2

p

e

y

L

e 2

12

p

e

x

L

e

2

p

e

y

L

e

2

−

p

e

y

L

e 2

12

o

T

(23)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Transformacja z układu lokalnego do globalnego:

x

e

y

e

¯

d

e

1

¯

d

e

2

¯

d

e

3

¯

d

e

4

¯

d

e

5

¯

d

e

6

T

e

– elementowa macierz transformacji

X

Y

d

e

1

d

e

2

d

e

3

d

e

4

d

e

5

d

e

6

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Transformacja z układu lokalnego do globalnego:
T

e

– elementowa macierz transformacji (ortogonalna)

T

e −1

= T

e T

,

det(T

e

) = 1

(24)

¯

d

e

= T

e

d

e

,

d

e

= T

e T

¯

d

e

,

(25)

T

e

=











c

s

0

0

0

0

−s

c

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

c

s

0

0

0

0

−s

c

0

0

0

0

0

0

1











e

c = cos(α

e

),

s = sin(α

e

)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Transformacja z układu lokalnego do globalnego:

Φ

e

( ¯

d

e

) =

1

2

¯

d

e

T

¯

K

e

¯

d

e

− ¯

d

e

T

¯

z

e

− ¯

d

e

T

¯

f

e

¯

d

e

= T

e

d

e

,

Φ

e

(d

e

) =

1

2

d

e T

T

e T

¯

K

e

T

e

d

e

− d

e T

T

e T

¯

z

e

− d

e T

T

e T

¯

f

e

(26)

Φ

e

(d

e

) =

1

2

d

e T

K

e

d

e

− d

e T

z

e

− d

e T

f

e

(27)

K

e

= T

e T

¯

K

e

T

e

– elementowa mac. sztywności w ukł. glob.

z

e

= T

e T

¯

z

e

– wektor zastępników obciążenia elementu w ukł. glob.

f

e

= T

e T

¯

f

e

– wektor sił przywęzłowych elementu w ukł. glob.

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Energia potencjalna całej konstrukcji

Φ =

X

e

Φ(d

e

)

(28)

Φ =

X

e



1

2

d

e T

K

e

d

e

− d

e T

z

e

− d

e T

f

e



(29)

Sumę po elementach można zapisać macierzowo, przy pomocy
zagregowanych wielkości:

Φ =

1

2

d

T

Kd − d

T

z − d

T

(w + r)

(30)

K – globalna macierz sztywności konstrukcji
z – globalny wektor obciążenia elementów
w – wektor obciążeń węzłowych
r – wektor reakcji
d – glob. wektor stopni swobody (uogólnionych przemieszczeń węzłów)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Poszukujemy takiego wektora stopni swobody, który minimalizuje energię
potencjalną:

∂Φ

∂d

= 0

(31)

∂Φ

∂d

= Kd − z − w − r = 0

(32)

Kd = z + w + r

→

d , r

(33)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Powrót do elementu

1

Dla każdego elementu z wektora d ’wybiera’ się wektor stopni
swobody dla danego elementu d

e

d

e

−−−−→ d

e

(34)

2

Wektor stopnie swobody elementu wyznacza się w układzie loklanym
elementu:

¯

d

e

= T

e

d

e

(35)

3

Z równania równowagi elementu wyznacza się wektor sił
przywęzłowych dla elementu

¯

K

e

¯

d

e

= ¯

z

e

+ ¯

f

e

→

¯

f

e

= ¯

K

e

¯

d

e

− ¯

z

e

(36)

x

e

y

e

p

e

x

(x

e

)

p

e

y

(x

e

)

¯

f

e

1

¯

f

e

2

¯

f

e

3

¯

f

e

4

¯

f

e

5

¯

f

e

6

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych

x

e

y

e

p

e

y

(x

e

)

f

e

1

f

e

2

f

e

3

f

e

4

Rysunek:

obciążenie elementu belkowego

f

e

=

f

e

1

f

e

2

f

e

3

f

e

4

T

– wektor sił przywęzłowych

Punkty w belce ulegają przemieszczeniu w kierunku y : u

e

y

(x

e

)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych

Energia potencjalna elementu prętowego

Φ

e

(u

e

y

) =

1

2

Z

V

e

σ

e

ε

e

dV

e

−

L

e

Z

0

u

e

y

p

e

y

dx

e

− d

e T

f

e

(37)

gdzie: d

e

– wektor uogólnionych przemieszczeń na początku i końcu

elementu

d

e

=







d

e

1

d

e

2

d

e

3

d

e

4







=







u

e

y

(0)

u

0e

y

(0)

u

e

y

(L

e

)

u

0e

y

(L

e

)







(38)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych

Odkształcenie w elemencie belkowym jest związane z ugięciem:

ε = −

y

%

(39)

gdzie:
% – krzywizna ugięcia elementu
Dla małych ugięć krzywizna jest wyrażona przez drugą pochodną funkcji
ugięcia:

% =

1

u

00

y

(40)

Zatem:

ε = −yu

00

y

(41)

Prawo Hooke’a

σ = E ε = −E yu

00

y

(42)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych

Z

V

e

σε dV

e

= −

Z

V

e

E (yu

00

y

)

2

dV

e

=

Z

V

e

E y

2

u

00

y

2

dV

e

=

(43)

L

e

Z

0

Z

A

Ey

2

u

00

y

2

dA dx

e

=

L

e

Z

0

Z

A

y

2

dA E u

00

y

2

dx

e

(44)

R

A

y

2

dA = I – moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej

Φ

e

(u

e

y

) =

1

2

L

e

Z

0

EI u

00

y

2

dx

e

−

L

e

Z

0

u

e

y

p

e

y

dx

e

− d

e T

f

e

(45)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych

Interpolacja:

u

e

y

= H

e

1

(x

e

)d

e

1

+ H

e

2

(x

e

)d

e

2

+ H

e

3

(x

e

)d

e

3

+ H

e

4

(x

e

)d

e

4

– interp. Hermite’a

u

e

y

=

H

e

1

H

e

2

H

e

3

H

e

4









d

e

1

d

e

2

d

e

3

d

e

4







= N

e

d

e

(46)

u

00e

y

=

−H

e

1

00

−H

e

2

00

−H

e

3

00

−H

e

4

00









d

e

1

d

e

2

d

e

3

d

e

4







= B

e

d

e

(47)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych

Φ

e

(u

e

y

) =

1

2

L

e

Z

0

EI u

00

y

2

dx

e

−

L

e

Z

0

u

e

y

p

e

y

dx

e

− d

e T

f

e

(48)

Φ

e

(d

e

) =

1

2

d

e T

L

e

Z

0

B

e T

DB

e

dx

e

d

e

− d

e T

L

e

Z

0

N

eT

p

e

y

dx

e

− d

e T

¯

f

e

(49)

Φ

e

(d

e

) =

1

2

d

e T

K

e

d

e

− d

e T

z

e

− d

e T

f

e

(50)

K

e

– elementowa macierz sztywności elementu belkowego

z

e

– wektor zastępników od obciążenia elementu

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych

Elementowa macierz sztywności:

K

e

=

T

L

e

Z

0

B

e T

DB

e

dx

e

(51)

K

e

=














12EI

L

3

6EI

L

2

−

12EI

L

3

6EI

L

2

6EI

L

2

4EI

L

−

6EI

L

2

2EI

L

−

12EI

L

3

−

6EI

L

2

12EI

L

3

−

6EI

L

2

6EI

L

2

2EI

L

−

6EI

L

2

4EI

L














e

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych

Wektor zastępników:

z

e

=

L

e

Z

0

N

eT

p

e

y

dx

e

(52)

W przypadku gdy p

e

y

= const

z

e

=

n

p

e

y

L

e

2

p

e

y

L

e 2

12

p

e

y

L

e

2

−

p

e

y

L

e 2

12

o

T

(53)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych

Energia potencjalna całej konstrukcji

Φ =

X

e

Φ(d

e

)

(54)

Φ =

X

e



1

2

d

e T

K

e

d

e

− d

e T

z

e

− d

e T

f

e



(55)

Sumę po elementach można zapisać macierzowo, przy pomocy
zagregowanych wielkości:

Φ =

1

2

d

T

Kd − d

T

z − d

T

(w + r)

(56)

K – globalna macierz sztywności konstrukcji
z – globalny wektor obciążenia elementów
w – wektor obciążeń węzłowych
r – wektor reakcji
d – glob. wektor stopni swobody (uogólnionych przemieszczeń węzłów)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych

Poszukujemy takiego wektora stopni swobody, który minimalizuje energię
potencjalną:

∂Φ

∂d

= 0

(57)

∂Φ

∂d

= Kd − z − w − r = 0

(58)

Kd = z + w + r

→

d , r

(59)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych

Powrót do elementu

1

Dla każdego elementu z wektora d ’wybiera’ się wektor stopni
swobody dla danego elementu d

e

d

e

−−−−→ d

e

(60)

2

Z równania równowagi elementu wyznacza się wektor sił
przywęzłowych dla elementu

K

e

d

e

= z

e

+ f

e

→

f

e

= K

e

d

e

− z

e

(61)

x

e

y

e

p

e

y

(x

e

)

f

e

1

f

e

2

f

e

3

f

e

4

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych – przykład

p

y

(x )

p

y

(x ) = 1[kN/m]

E = 200 · 10

3

[kN/m

2

]

I = 10

−4

[m

4

]

Długość belki: L = 2[m]

Podział na 2 elementy skończone L

e

= 1[m].

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych – przykład

K

1

= K

2

=







240

120

−240

120

120

80

−120

40

−240

−120

240

−120

120

40

−120

80







(62)

z

1

= z

2

=







0.5000
0.0833
0.5000

−0.0833







(63)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych – przykład

K =











K

1

11

K

1

12

K

1

13

K

1

14

0

0

K

1

21

K

1

22

K

1

23

K

1

24

0

0

K

1

31

K

1

32

K

1

33

+ K

2

11

K

1

34

+ K

2

12

K

2

13

K

2

14

K

1

41

K

1

42

K

1

43

+ K

2

21

K

1

44

+ K

2

22

K

2

23

K

2

24

0

0

K

2

31

K

2

32

K

2

33

K

2

34

0

0

K

2

41

K

2

42

K

2

43

K

2

44











(64)

K =











240

120

−240

120

0

0

120

80

−120

40

0

0

−240

−120

240 + 240

−120 + 120

−240

120

120

40

−120 + 120

80 + 80

−120

40

0

0

−240

−120

240

−120

0

0

120

40

−120

80











(65)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych – przykład

z =











z

1

1

z

1

2

z

1

3

+ z

2

1

z

1

4

+ z

2

2

z

2

3

z

2

4











=











0.5000
0.0833

0.5000 + 0.5000

−0.0833 + 0.0833

0.5000

−0.0833











=











0.5000
0.0833

1
0

0.5000

−0.0833











(66)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych – przykład

Kd = z + r

(67)











240

120

−240

120

0

0

120

80

−120

40

0

0

−240

−120

480

0

−240

120

120

40

0

180

−120

40

0

0

−240

−120

240

−120

0

0

120

40

−120

80





















0
0

d

3

d

4

0

d

6











=











0.5000
0.0833

1
0

0.5000

−0.0833











+











r

1

r

2

0
0

r

5

0















480

0

120

0

180

40

120

40

80









d

3

d

4

d

6





=





1
0

−0.0833





dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych – przykład

d =











0
0

0.0042
0.0021

0

−0.0083











r =











−1.25

−0.5

0
0

−0.75

0











(68)

Sprawdzenie równowagi:

suma sił na oś y: r

1

+ r

5

+ p · L = −1.25 − 0.75 + 1 · 2 = 0

suma momentów w (x=0): r

2

+ r

5

· L +

1

2

· p · L

2

=

− 0.5 − 0.75 · 2 +

1

2

· 1 · 4 = 0

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji belkowych – przykład

Rysunek:

Wykres ugięcia belki dla dwóch elementów skończonych

dr inż. Jan Jaśkowiec