Metody Obliczeniowe - wykłady
MES dla konstrukcji prętowych

dr inż. Jan Jaśkowiec

Kraków, Marzec 2013

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

x

e

y

e

p

e

x

(x

e

)

p

e

y

(x

e

)

f

e

1

f

e

2

f

e

3

f

e

4

f

e

5

f

e

6

Rysunek:

obciążenie elementu prętowego w układzie lokalnym pręta

p

e

(x

e

) =

p

e

x

(x

e

)

p

e

y

(x

e

)



– wektor obciążenia zewnętrznego pręta

f

e

=

f

e

1

f

e

2

f

e

3

f

e

4

f

e

5

f

e

6

T

– wektor sił przywęzłowych

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

W wyniku obciążenia punkty w pręcie ulegają przemieszczeniu, które
opisywane jest wektorem:

u

e

(x

e

) =

u

e

x

(x

e

)

u

e

y

(x

e

)



(1)

gdzie:
u

e

x

(x

e

) - przemieszczenie opisujące ’wydłużenie’ elementu

u

e

y

(x

e

) - przemieszczenie opisujące ugięcie elementu

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Energia potencjalna elementu prętowego

Φ

e

(u

e

) =

1

2

Z

V

e

σ

e

ε

e

dV

e

−

L

e

Z

0

u

eT

p

e

dx

e

− q

eT

f

e

(2)

gdzie: q

e

– wektor uogólnionych przemieszczeń na początku i końcu

elementu

q

e

=











q

e

1

q

e

2

q

e

3

q

e

4

q

e

5

q

e

6











=











u

e

x

(0)

u

e

y

(0)

u

0e

y

(0)

u

e

x

(L

e

)

u

e

y

(L

e

)

u

0e

y

(L

e

)











(3)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Odkształcenie w elemencie ramowych jest złożeniem odkształcenia
związanego z rozciąganiem oraz ugięciem:

ε = u

0

x

−

y

%

(4)

gdzie:
% – krzywizna ugięcia elementu
Dla małych ugięć krzywizna jest wyrażona przez drugą pochodną funkcji
ugięcia:

% =

1

u

00

y

(5)

Zatem:

ε = u

0

x

− yu

00

y

(6)

Prawo Hooke’a

σ = E ε = E (u

0

x

− yu

00

y

)

(7)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Z

V

e

σε dV

e

=

Z

V

e

E (u

0

x

− yu

00

y

)

2

dV

e

=

Z

V

e

E (u

0

x

2

− 2u

0

x

yu

00

y

+ y

2

u

00

y

2

) dV

e

=

(8)

L

e

Z

0

Z

A

E (u

0

x

2

− 2u

0

x

yu

00

y

+ y

2

u

00

y

2

) dA dx

e

=

(9)

L

e

Z

0

Z

A

dAE u

0

x

2

dx

e

−

L

e

Z

0

Z

A

y dA 2E u

0

x

u

00

y

dx

e

+

L

e

Z

0

Z

A

y

2

dA E u

00

y

2

dx

e

(10)

R

A

dA = A – pole przekroju pręta

R

A

y dA = 0 – moment statyczny przekroju

R

A

y

2

dA = I – moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Z

V

e

σε dV

e

=

L

e

Z

0

EAu

0

x

2

+ EI u

00

y

2

dx

e

(11)

e =

 u

0

x

−u

00

y



,

D =

EA

0

0

EI



(12)

Z

V

e

σε dV

e

=

L

e

Z

0

e

T

De dx

e

(13)

Φ

e

(u

e

) =

1

2

L

e

Z

0

e

e T

De

e

dx

e

−

L

e

Z

0

u

eT

p

e

dx

e

− q

eT

f

e

(14)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Interpolacja:

u

e

x

= N

e

1

(x

e

)q

e

1

+ N

e

2

(x

e

)q

e

4

– interpolacja Lagrange’a

u

e

y

= H

e

1

(x

e

)q

e

2

+ H

e

2

(x

e

)q

e

3

+ H

e

3

(x

e

)q

e

5

+ H

e

4

(x

e

)q

e

6

– interp. Hermite’a

u

e

=

u

e

x

u

e

y



=

N

e

1

0

0

N

e

2

0

0

0

H

e

1

H

e

2

0

H

e

3

H

e

4













q

e

1

q

e

2

q

e

3

q

e

4

q

e

5

q

e

6











= N

e

q

e

(15)

e

e

=

N

e

1

0

0

0

N

e

2

0

0

0

0

−H

e

1

00

−H

e

2

00

0

−H

e

3

00

−H

e

4

00













q

e

1

q

e

2

q

e

3

q

e

4

q

e

5

q

e

6











= B

e

q

e

(16)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Funkcje interpolacyjne Lagrange’a

N

1

(x ) = 1 − ξ

N

2

(x ) = ξ

ξ = x /L

e

Funkcje interpolacyjne Hermite’a

H

1

(x ) = 1 − 3ξ

2

+ 2ξ

3

H

2

(x ) = L

e

(ξ − 2ξ

2

+ ξ

3

)

H

3

(x ) = 3ξ

2

− 2ξ

3

H

4

(x ) = L

e

(ξ

3

− ξ

2

)

ξ = x /L

e

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Φ

e

(u

e

) =

1

2

L

e

Z

0

e

e T

De

e

dx

e

−

L

e

Z

0

u

eT

p

e

dx

e

− q

eT

f

e

(17)

Φ

e

(q

e

) =

1

2

q

e T

L

e

Z

0

B

e T

DB

e

dx

e

q

e

− q

e T

L

e

Z

0

N

eT

p

e

dx

e

− q

eT

f

e

(18)

Φ

e

(q

e

) =

1

2

q

e T

k

e

q

e

− q

e T

z

e

− q

e T

f

e

(19)

k

e

– elementowa macierz sztywności elementu ramowego w ukł. lok.

z

e

– wektor zastępników od obciążenia elementu w ukł. lok.

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Elementowa macierz sztywności:

k

e

=

T

L

e

Z

0

B

e T

DB

e

dx

e

(20)

k

e

=






















EA

L

0

0

−

EA

L

0

0

0

12EI

L

3

6EI

L

2

0

−

12EI

L

3

6EI

L

2

0

6EI

L

2

4EI

L

0

−

6EI

L

2

2EI

L

−

EA

L

0

0

EA

L

0

0

0

−

12EI

L

3

−

6EI

L

2

0

12EI

L

3

−

6EI

L

2

0

6EI

L

2

2EI

L

0

−

6EI

L

2

4EI

L






















e

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Wektor zastępników:

z

e

=

L

e

Z

0

N

eT

p

e

dx

e

(21)

W przypadku gdy

p

e

(x

e

) =

p

e

x

p

e

y



= const

(22)

z

e

=

n

p

e

x

L

e

2

p

e

y

L

e

2

p

e

y

L

e 2

12

p

e

x

L

e

2

p

e

y

L

e

2

−

p

e

y

L

e 2

12

o

T

(23)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Transformacja z układu lokalnego do globalnego:

x

e

y

e

q

e

1

q

e

2

q

e

3

q

e

4

q

e

5

q

e

6

T

e

– elementowa macierz transformacji

X

Y

Q

e

1

Q

e

2

Q

e

3

Q

e

4

Q

e

5

Q

e

6

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Transformacja z układu lokalnego do globalnego:
T

e

– elementowa macierz transformacji (ortogonalna)

T

e −1

= T

e T

,

det(T

e

) = 1

(24)

q

e

= T

e

Q

e

,

Q

e

= T

e T

q

e

,

(25)

T

e

=











c

s

0

0

0

0

−s

c

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

c

s

0

0

0

0

−s

c

0

0

0

0

0

0

1











e

c = cos(α

e

),

s = sin(α

e

)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Transformacja z układu lokalnego do globalnego:

Φ

e

(q

e

) =

1

2

q

e T

k

e

q

e

− q

e T

z

e

− q

e T

f

e

q

e

= T

e

Q

e

,

Φ

e

(Q

e

) =

1

2

Q

e T

T

e T

k

e

T

e

Q

e

− Q

e T

T

e T

z

e

− Q

e T

T

e T

f

e

(26)

Φ

e

(Q

e

) =

1

2

Q

e T

K

e

Q

e

− Q

e T

Z

e

− Q

e T

F

e

(27)

K

e

= T

e T

k

e

T

e

– elementowa mac. sztywności w ukł. glob.

Z

e

= T

e T

z

e

– wektor zastępników obciążenia elementu w ukł. glob.

F

e

= T

e T

f

e

– wektor sił przywęzłowych elementu w ukł. glob.

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Energia potencjalna całej konstrukcji

Φ =

X

e

Φ(Q

e

)

(28)

Φ =

X

e



1

2

Q

e T

K

e

Q

e

− Q

e T

Z

e

− Q

e T

F

e



(29)

Sumę po elementach można zapisać macierzowo, przy pomocy
zagregowanych wielkości:

Φ =

1

2

Q

T

KQ − Q

T

Z − Q

T

(P + R)

(30)

K – globalna macierz sztywności konstrukcji
Z – globalny wektor obciążenia elementów
P – wektor obciążeń węzłowych
R – wektor reakcji
Q – glob. wektor stopni swobody (uogólnionych przemieszczeń węzłów)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Poszukujemy takiego wektora stopni swobody, który minimalizuje energię
potencjalną:

∂Φ

∂Q

= 0

(31)

∂Φ

∂Q

= KQ − Z − P − R = 0

(32)

KQ = Z + P + R

→

Q , R

(33)

dr inż. Jan Jaśkowiec

MES dla konstrukcji prętowych

Powrót do elementu

1

Dla każdego elementu z wektora Q ’wybiera’ się wektor stopni
swobody dla danego elementu Q

e

Q

e

−−−−→ Q

e

(34)

2

Wektor stopnie swobody elementu wyznacza się w układzie loklanym
elementu:

q

e

= T

e

Q

e

(35)

3

Z równania równowagi elementu wyznacza się wektor sił
przywęzłowych dla elementu

k

e

q

e

= z

e

+ f

e

→

f

e

= k

e

q

e

− z

e

(36)

x

e

y

e

p

e

x

(x

e

)

p

e

y

(x

e

)

f

e

1

f

e

2

f

e

3

f

e

4

f

e

5

f

e

6

dr inż. Jan Jaśkowiec