1

Ćwiczenia 9

WChemii, semestr 1, 2009/10

1. Pęd relatywistyczny. Energia relatywistyczna. Równoważnośd masy i energii

Uważnie przeczytaj wykład 6. Przypomnij sobie pojęcia i wzory z wykładu 3 (kinematyka relatywistyczna)
– będą Ci również potrzebne do rozwiązania poniższych zadao. Spróbuj samodzielnie zrobid przykłady z
wykładu, a następnie przystąp do rozwiązywania zadao.

1. Tabletka aspiryny ma masę 320mg. Ile kilometrów można by przejechad samochodem, korzystając z energii

równoważnej tej masie? Przyjmij, że 1litr benzyny pozwala przejechad 12,75km, a ciepło spalania benzyny używa-
nej w samochodach wynosi

J/l.

2. Jaką prędkośd musiałby posiadad proton promieniowania kosmicznego, żeby ogrzad 10g wody o 2

o

C? Ciepło

potrzebne do ogrzania ciała obliczamy ze wzoru:

gdzie c- ciepło właściwe,

- różnica temperatur.

Potrzebne dane znajdź w tablicach fizycznych.

3. Średni czas życia spoczywających mionów wynosi 2,2 s. Pomiary wykonane w laboratorium dla wiązki mio-

nów z akceleratora cząstek wykazały, że średni czas życia mionów był równy 6,9 s. Ile wynosi w układzie związa-
nym z laboratorium: a. prędkośd mionów, b. ich energia kinetyczna i pęd? Masa mionu jest 207 razy większa od
masy elektronu.

4. Jaś, prowadzący badania na Księżycu, obserwuje statek kosmiczny poruszający się względem niego z bardzo
dużą prędkością i zauważa, że zegar na jego pokładzie idzie wolniej o czynnik 1,50. Oblicz pęd i energię kinetyczną
zegara, jeśli jego masa spoczynkowa jest równa 0,320 kg.

5. Wartośd pędu relatywistycznego i całkowita energia relatywistyczna cząstki poruszającej się w polu magnetycz-
nym (prostopadłym do wektora prędkości) jest zachowana. Na cząstka o masie spoczynkowej m i ładunku q poru-

szającą się w polu magnetycznym o indukcji magnetycznej działa siła

. W stałym polu, prostopadłym

do prędkości cząstki , porusza się ona po orbicie kołowej. Korzystając z drugiego prawa Newtona pokaż, że czę-
stotliwośd ruchu orbitalnego cząstki jest dana w przypadku relatywistycznym wzorem:

6. Małgosia siedzi w wagonie pociągu poruszającego się z szybkością relatywistyczna. Nagle z obu kooców wagonu
jednocześnie wybiegają ku niej myszy. Jaś stojący na peronie stwierdza, że myszy wybiegły jedna po drugiej w
odstępie 6,0 s. a. Z jakim zjawiskiem mamy tu do czynienia? b. Oblicz pęd i energię kinetyczną wagonu, wiedząc,
że jego masa spoczynkowa wynosi 12,0 ton.

2. Ruch harmoniczny. Tłumienie drgao i rezonans

1. W chwili początkowej t=0 położenie

klocka umocowanego do kooca sprężyny i mogącego poruszad się

bez tarcia po poziomej powierzchni wynosi

cm, jego prędkośd ma wartośd

m/s, a przyspieszenie

m/s

2

. a. Wyznacz częstośd kołową tego oscylatora. b. Wyznacz fazę początkową i amplitudę. c. Korzystając ze

wzoru na częstośd kołową oscylatora harmonicznego oblicz stałą sprężystości k wiedząc, że masa klocka wynosi
680g. d. Wyznacz energię kinetyczną i potencjalną oscylatora, gdy klocek znajduje się w punkcie

.

2.

Zbadad ruch kulki materialnej poruszającej się wzdłuż prostoliniowego tunelu przechodzącego przez środek Zie-

mi, jeśli siła grawitacji działającej w nim na kulkę wynosi

, M, R – odpowiedni masa i promieo

Ziemi,

jest odległością od środka Ziemi. Prędkośd początkowa kulki na powierzchni wynosi zero. Obliczyd czas,

po którym kulka znajdzie się w środku Ziemi i prędkośd, z jaką go minie.

3. Długośd swobodnej sprężyny podwieszonej do sufitu wynosi . Kiedy małpka o masie

kg chwyta za

jej swobodny koniec, sprężyna wydłuża się o

m. Małpka zostaje pociągnięta za ogon przez swoją towa-

2

rzyszkę i zaczyna wykonywad ruch drgający (w przybliżeniu nietłumiony). a. Napisz równanie ruchu małpki oraz
jego ogólne rozwiązanie, wychylenie w funkcji czasu,

. b. Oblicz amplitudę i fazę początkową ruchu wiedząc,

że w pewnej chwili uznanej za początkową,

m, a

m/s.

4. Okres drgao tłumionych T=4,0s, logarytmiczny dekrement tłumienia drgao =1,6, a faza początkowa jest równa
zeru. Wychylenie punktu w chwili t=T/4 jest równe 4,5cm. Napisz równanie ruchu drgao i znajdź jego rozwiązanie.

5. Punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch, wzajemnie prostopadłych drganiach harmonicznych opi-
sanych równaniami

i

. Wyznacz równanie toru tego punktu.

6. a. Obliczyd częstośd drgao ciężarka o masie

=0,20kg, zawieszonego na sprężynie o stałej =10,0N/m, jeżeli

współczynnik tłumienia drgao =0,50s

-1

. b. Jaką częstośd powinna mied siła wymuszająca, aby wystąpiło zjawisko

rezonansu?

Na następne zajęcia proszę zrobić powyższe zadania oraz nauczyć się materiału z wykładu 6.

Literatura

D.Halliday,R.Resnick,J.Walker: Podstawy fizyki, t.4. oraz t.2
(podręcznik polecany – z niego są zaczerpnięte niektóre tematy zadao)
B.Oleś: Wykłady z fizyki , Wydawnictwo PK

Pytania i zagadnienia, które mogą pojawić się na egzaminie pisemnym

1. a. Zdefiniuj pęd relatywistyczny i pokaż, że wyrażenie to przechodzi w definicję pędu klasycznego dla przypadku
granicznego. Narysuj wykres pędu: klasycznego i relatywistycznego w funkcji

. (2p) b. Jaką postać ma druga

zasada dynamiki dla przypadków relatywistycznych? Porównaj zachowanie cząstek relatywistycznych z klasycznymi,
jeśli działa na nie stała siła. Gdzie mamy do czynienia z ruchem cząstek relatywistycznych? (3p) c. Omów relatywi-
styczną energię: całkowitą i kinetyczną. Wyprowadź wyrażenie łączące energię relatywistyczną z pędem. (3p) d.
Wyjaśnij, na czym polega równoważność masy i energii. Podaj przykłady. (2p)

2. Omów jednowymiarowy oscylator mechaniczny, nietłumiony na przykładzie masy zawieszonej na sprężynie. a.
Podaj równanie ruchu i jego rozwiązanie dla warunków początkowych

. (5p) b. Znajdź ener-

gie: potencjalną i kinetyczną oscylatora w funkcji czasu i narysuj ich wykresy. (3p) c. Znajdź energię mechaniczną
oscylatora w dowolnej chwili t. Czy energia ta jest zachowana? (2p)

3. Omów jednowymiarowy oscylator tłumiony siłą

. a. Podaj równanie ruchu i jego rozwiązanie dla przy-

padku słabego tłumienia. (3p) b. Zdefiniuj logarytmiczny dekrement tłumienia drgań, wyprowadź jego związek ze
współczynnikiem tłumienia. (3p) c. Naszkicuj

dla przypadków tłumienia słabego i silnego. (1p) d. Wykaż, że

szybkość zmian w czasie energii tego oscylatora,

, jest równa mocy traconej na opory ruchu. (3p)

4. a. Omów jednowymiarowy oscylator tłumiony siłą

. a. Podaj równanie ruchu i jego ogólne rozwiązanie,

czyli

, dla przypadku słabego tłumienia. Narysuj wykres

. (3p) b. Co należy zrobić, aby pomimo tłumienia

drgania nie wygasały i zachodziły z określoną częstotliwością ? (1p) c. Napisz równanie ruchu oscylatora tłumio-
nego z siłą wymuszającą

, narysuj wykres drgań wymuszonych w funkcji czasu, podaj ogólne rozwią-

zanie wyżej wymienionego równania dla stanu ustalonego. (3p) d. Na czym polega zjawisko rezonansu mechanicz-
nego? Podaj przykłady występowania rezonansu i jego skutki. Naszkicuj wykresy uniwersalnych krzywych rezonan-
sowych

dla różnych współczynników tłumienia. Omów wpływ tłumienia na drgania wymuszone.

(3p)

3

5. Omów jednowymiarowy oscylator mechaniczny, nietłumiony na przykładzie masy zawieszonej na sprężynie. a.
Podaj równanie ruchu i jego rozwiązanie dla warunków początkowych

. (5p) b. Co dostanie-

my w wyniku złożenia dwóch, wzajemnie prostopadłych drgań harmonicznych? Co to są figury Lissajoux? Wypro-
wadź równanie najprostszej z tych figur. (5p)