B. Oleś

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

III. WYBRANE ZAGADNIENIA Z

ELEKTRODYNAMIKI.

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

1

B. Oleś

2

1. Pole elektryczne

Ładunek elektryczny

q

, podobnie jak masa,

jest własnością cząstek materialnych.

Występujące w przyrodzie ładunki (dodatnie lub ujemne) są

skwantowane

, tj. są wielokrotnością

ładunku elementarnego

e=1,602 10

-19

C

(

elektron posiada ładunek e, proton +e)

Ładunki są źródłami

pola elektrycznego

.

W przestrzeni, w której istnieje pole elektryczne na
umieszczony w niej ładunek q

0

działają siły pola

pochodzące od wytwarzających je ładunków.

e

F



Definiujemy

natężenie pola elektrycznego

:

,

0

0

lim

0

q

F

E

e

q





gdzie q

0

jest

ładunkiem próbnym

, dodatnim

i tak małym, że nie zakłóca rozkładu pola.

Jednostka E - 1N/C=1V/m (wolt/metr)

q

2

q

1

e

F



q

0

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

1C (kulomb) - jednostka ładunku

Generator Tesli wytwarza olbrzymi ładunek
elektrostatyczny, a wokół niego pole elektryczne.

http://www.here2see.com/img/science/tesla-high-voltage-

generator/tesla-high-voltage-generator07.jpg

3

Graficznie przedstawiamy rozkład natężenia pola

elektrycznego za pomocą linii pola elektrycznego.

+

E



Rozkład natężenia pola elektrycznego od

dwu ładunków +q i –q. Wektor natężenia

pola jest w każdym punkcie styczny do

linii pola.

Wizualizacja pola elektrycznego

wokół molekuły organicznej.

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

Siła oddziaływania elektrostatycznego między
dwiema ładunkami

q

1

i

q

2

znajdującymi się w

odległości

r

od siebie dana jest

prawem Coulomba

,

ˆ

2

2

1

r

r

q

q

k

F



2

2

9

1

0

C

/

m

N

10

99

,

8

)

π

4

(

k

gdzie

- stała elektrostatyczna,

0

=8,85 10

-12

C

2

/(N m

2

) – przenikalność elektryczna próżni.

Ładunki jednoimienne odpychają się.

Ładunki przeciwnego znaku przyciągają się.

Mamy tu do czynienia z III zasadą dynamiki:
każda cząstka oddziałuje na drugą siłą o takiej samej wartości.

B. Oleś

B. Oleś

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

4

Atom wodoru składa się z dodatniego jądra

(protonu) i elektronu o ładunku ujemnym,

poruszających się pod wpływem wzajemnego

przyciągania kulombowskiego i związanych ze

sobą poprzez to oddziaływanie:

.

ˆ

)

(

)

(

2

r

r

e

e

k

F

C



+e

-e

F



Traktując atom jako obiekt klasyczny (niepoprawnie!), promień
orbity, po której porusza się elektron wyliczymy z zależności:

,

2

2

2

r

e

k

m

r

v

,

C

doś

F

a

m





.

2

2

v

r

m

e

k

Bohr założył, że istnieją tylko pewne dozwolone orbity elektronu.

Poruszając się po nich elektron posiada skwantowany moment pędu:

,...

2

,

1

),

2

/(

|

n

nh

m

r

|

v

|

L

|







Atom wodoru

A wówczas:

.

4

2

2

2

2

ke

m

n

h

n

r

h=6,6 10

-19

J s

-

stała Plancka, n - liczba kwantowa

5

1.1. Prawo Gaussa

Wyobraźmy sobie pudełko, w którym
umieszczone są ładunki elektryczne.

Definiujemy

strumień natężenia pola elektrycznego

przechodzący przez powierzchnię

S

:

E



S



q

E



Wytwarzają one pole elektryczne, które
przechodzi przez powierzchnie ścianek pudełka.

,

cos

S

E

S

E

E





Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

elementu powierzchni

S

i wektora normalnego

(jednostkowego wektora prostopadłego do

S)

.

nˆ

gdzie - kąt między wektorami .

n

E ˆ

i



Całkowity strumień przez powierzchnię pudełka będzie sumą takich
strumieni

E

:

Rozważmy element powierzchni

S

dostatecznie

mały, aby w całym jego obszarze i

wprowadźmy wektor , będący iloczynem

n

S

S

ˆ



const

E



.

1

1

i

n

i

i

Ei

n

i

E

S

E





B. Oleś

B. Oleś

6

Dostaliśmy wynik, że całkowity strumień natężenia pola

elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest proporcjonalny

do zawartego wewnątrz niej ładunku.

Ładunek punktowy +q wytwarza pole elektryczne,

którego natężenie jest dane zależnością:

,

ˆ

4

1

2

0

r

r

q

E



Otoczmy ten ładunek sferą o promieniu R.

Całkowity strumień przez powierzchnię sfery jest równy:

,

4

2

1

1

R

E

S

E

S

E

n

i

i

n

i

i

i

E





.

)

4

(

4

1

0

2

2

0

q

R

R

q

E

q

R

E



dS

(

0

= 8,85 10

-12

F/m przenikalność

elektryczna próżni)

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

Obliczmy strumień pola elektrycznego

wytworzonego przez punktowy ładunek +q.

E



Ze względu na symetrię, w każdym punkcie na powierzchni

sfery wektor jest do niej prostopadły i ma tą samą wartość.

B. Oleś

7

q

E



q

E



Okazuje się, że wybór hipotetycznej powierzchni

otaczającej ładunek nie wpłynie na otrzymany

wynik (najwyżej skomplikuje obliczenia):

.

0

q

E

Jeśli ładunek znajduje się poza rozważaną

powierzchnią zamkniętą całkowity strumień

przez tę powierzchnię jest równy zeru:

.

0

E

Prawo Gaussa:

Całkowity strumień natężenia pola elektrycznego

przez hipotetyczną zamkniętą powierzchnię jest równy wypadkowemu
ładunkowi zamkniętemu wewnątrz niej, podzielonemu przez

0

.

.

1

1

0

n

i

i

S

E

q

S

d

E





Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

,

lim

1

0

S

n

i

i

i

S

S

d

E

S

E

i









W granicy S

0 sumowanie

przechodzi w całkowanie po powierzchni:

B. Oleś

8

Prawo Gaussa pozwala wyznaczyć natężenie pola elektrycznego E,
jeśli rozkład ładunków cechuje pewna symetria

.

Przykład:

Zastosujmy prawo Gaussa do znalezienia natężenia

pola wewnątrz kulistego rozkładu ładunku

Q

.

R

Q

r

E



Wybieramy powierzchnię Gaussa o promieniu

r

<

R

Ładunek wewnątrz tej powierzchni:

,

/

)

(

3

3

R

Qr

r

q

,

)

(

0

r

q

E

,

/

4

3

0

3

2

R

Qr

E

r

.

4

)

(

3

0

R

Qr

r

E

Podobnie postępujemy dla

r

>

R

i dostajemy

:

.

4

)

(

2

0

r

Q

r

E

Prawo Gaussa można sformułować również dla pola grawitacyjnego.
Pamiętasz zadanie z tunelem przez środek Ziemi? Jaką postać miało
wyrażenie na siłę grawitacji w tunelu?

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

,

4

2

1

1

r

E

S

E

S

E

n

i

i

n

i

i

i

E





B. Oleś

9

2. Pole magnetyczne

elektromagnes

Źródłem pola magnetycznego są magnesy

stałe oraz prądy elektryczne.

Podstawowym wektorem pola magnetycznego

jest

wektor indukcji magnetycznej

.

B



Jeśli ładunek q porusza się z prędkością w

polu magnetycznym, to działa na niego siła :

v



F



B



B

q

F







v

B



Powyższy wzór stanowi definicję wektora

indukcji magnetycznej .

Pole magnetyczne wywiera siłę tylko na poruszające się w nim

ładunki. Oznacza to, że działa również na przewodniki z płynącym w

nich prądem elektrycznym.

Siła Lorentza

Jednostką B jest 1 tesla: 1T=1V s m

-2

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

10

2.1. Ruch ładunku w polu magnetycznym

,

B

q

a

m







v

B



v



e

B

F



Naładowana cząstka porusza się w jednorodnym polu magnetycznym

po linii śrubowej, jeśli wektor ma składową w kierunku wektora .

Jeśli wektory te są do siebie prostopadłe, to torem jest okrąg.

v



B



Wektor prędkości prostopadły do

- cząstka porusza się po okręgu

.

B



).

(qB

m

r

B

q

ma

B

doś

v/

v

v





Równanie ruchu, z którego wyznaczamy
tor:

Ruch po linii śrubowej w jednorodnym
polu magnetycznym:

B. Oleś

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

11

Wiązka elektronów poruszająca się po
orbicie kołowej w stałym polu
magnetycznym. Świecenie wywołane jest
wzbudzeniami atomów gazu w bańce.

W niejednorodnym polu magnetycznym

cząstka może zostać uwięziona i poruszać

się po linii śrubowej tam i z powrotem

między obszarami silnego pola na obydwu

końcach (tzw

.

butelka magnetyczna

).

2.2. Pole magnetyczne Ziemi

12

Ziemia, jak wiele planet, wytwarza własne pole
magnetyczne, niczym wielki magnes sztabkowy.

Zapamiętaj

:

północny biegun magnetyczny jest w

rzeczywistości południowym biegunem

pola magnetycznego Ziemi.

Biegun magnetyczny

północny

Biegun geograficzny

północny

N

S

Jak się zachowa igiełka kompasu
dokładnie na biegunie północnym?

Bieguny magnetyczne nie pokrywają się dokładnie
z biegunami geograficznymi.

W płynnym jądrze zewnętrznym, które tworzy roztopione żelazo,
skomplikowane turbulentne ruchy konwekcyjne ośrodka wytwarzają pole
magnetyczne planety (geodynamo).

Z danych geofizycznych wynika, że pole magnetyczne Ziemi co jakiś
czas zmienia biegunowość.

B. Oleś

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

13

Bakterie magnetospirillum żyjące na dnie mórz,
posiadają mikroskopijne kryształki Fe

3

O

4

(ok.50nm), tzw. magnetosomy (kolor czerwony),
ustawione w łańcuch, pozwalające im
orientować się w ziemskim polu magnetycznym.

Niektóre organizmy mają zdolność orientowania
się w ziemskim polu magnetycznym.

Komputerowa symulacji

linii pola magnetycznego

B. Oleś Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

14

Pole magnetyczne Ziemi chroni ją przed niebezpiecznym
promieniowaniem kosmicznym (wysokoenergetycznymi
elektronami, protonami), pochodzącym głównie ze
Słońca.

Jaką rolę dla życia na Ziemi

odgrywa jej pole magnetyczne ?

Cząstki te zostają uwięzione w niejednorodnym polu
magnetycznym (patrz: „butelka magnetyczna”!) i
poruszają się w

pasach radiacyjnych Van Allena

, między

północnym a południowym biegunem geomagnetycznym.

Burza słoneczna może poważnie zakłócić ziemskie pole magnetyczne, w konsekwencji
zakłócenia w działaniu urządzeń elektronicznych, a nawet ich awarie, pojawianie się zorzy
polarnej poza obszarami okołobiegunowymi.

Dużej aktywności Słońca towarzyszą gigantyczne wybuchy –

burze słoneczne

- w czasie

których materia słoneczna jest wyrzucana w przestrzeń w postaci wiatru słonecznego.

B. Oleś

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

15

Konsekwencje burzy słonecznej dla Ziemi

B. Oleś

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

16

Doświadczenie J.J.Thomsona

: wyznaczanie stosunku ładunku

elektronu i jego masy, e/m

Elektrony wysyłane przez katodę są przyspieszane przez anodę, a następnie odchylane przez
prostopadłe do siebie pola elektryczne i magnetyczne. Przy odpowiednio dobranych polach siły
działające na elektrony kompensują się, tory elektronów nie zakrzywiają się i można
wyznaczyć prędkość elektronów u, a następnie wyłączając pole magnetyczne stosunek e/m.

.

/ B

E

u

qE

quB

2

1

2

1

2

2

x

x

x

E

B

m

e

y

gdy

B

= 0:

y

x

1,

, x

2

– długość obszaru z polem

elektrycznym i obszaru bez pola

Jeśli w przestrzeni jednocześnie występuje pole magnetyczne

i elektryczne, to siła działająca na cząstkę:

B

q

E

q

F









v

,

0









B

u

q

E

q

S

S



B. Oleś

17

2.2. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Podobnie jak dla pola elektrycznego, definiujemy

strumień indukcji magnetycznej

(strumień

magnetyczny):

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

n

i

i

i

B

S

B

1

,





B



Jednostką strumienia jest 1 weber: 1Wb=1T m

2

=1V s

W przyrodzie nie istnieją monopole magnetyczne, stąd linie

pola magnetycznego są zawsze liniami zamkniętymi. Tyle

samo linii wchodzi, co wychodzi przez powierzchnię. Te które

wychodzą dają dodatni przyczynek do strumienia, wchodzące

ujemny, stąd całkowity strumień jest równy zeru.

Powierzchnia Gaussa zaznaczona na zielono, linie pola
magnetycznego kolorem czerwonym.

0

S

B

S

d

B





W granicy S

0 sumowanie

przechodzi w całkowanie po powierzchni:

S

S

B

dS

B

S

d

B

,

cos





Prawo Gaussa

: Strumień indukcji magnetycznej przez

powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zeru . .

0

B

B. Oleś

18

Warunkiem przepływu prądu w danym ośrodku

jest obecność w nim

nośników ładunku

, czyli

cząstek posiadających ładunek (np. elektronów,

jonów, dziur).

Jeśli wewnątrz takiego ośrodka istnieje

pole elektryczne, to na chaotyczny,

termiczny ruch nośników nakłada się ich

uporządkowany ruch w polu.

Natężenie prądu I

jest równe ładunkowi dq przenoszonemu

przez powierzchnię w czasie dt:

.

dt

dq

I

Za kierunek prądu przyjmujemy umownie kierunek, w którym

poruszałyby się nośniki dodatnie, nawet jeśli rzeczywiste nośniki

ładunku (np. elektrony) są ujemne i poruszają się w kierunku

przeciwnym.

Jednostką I jest 1 amper: 1A=1C/s

3. Prąd elektryczny

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

I

B. Oleś

19

Do podtrzymania prądu potrzebne są siły zewnętrzne, które

przemieszczając ładunki w obwodzie wykonują pracę.

dq

dW

E

Urządzenia wytwarzające stały przepływ ładunku noszą nazwę

źródeł SEM. Są nimi baterie, prądnice elektryczne, ogniwa

słoneczne, i in.

Jednostką SEM jest 1V (wolt)

.

Pracę sił zewnętrznych, wykonywaną nad jednostkowym ładunkiem

dodatnim, nazywa się

siłą elektromotoryczną

(SEM)

E

:

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

3.1. Siła elektromotoryczna

B. Oleś

20

3.2. Prawo Ampere’a

Prądy elektryczne płynące w przewodnikach

wytwarzają pole magnetyczne.

Rozważmy prostoliniowy przewodnik, przez który
płynie prąd o natężeniu

I.

Zdefiniujmy krążenie wektora (cyrkulację)

po dowolnej krzywej zamkniętej L:

B



Proste doświadczenie z opiłkami żelaza lub igiełkami
magnetycznymi pokazuje, że linie pola magnetycznego
mają w tym przypadku kształt współśrodkowych
okręgów, wektor jest do nich styczny.

B



Jak zależy wartość wektora od I oraz od odległości r
od przewodnika?

B



Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

,

1

i

n

i

i

B

l

B

K





l

d

B

K

C

B





gdzie l

i

jest odcinkiem krzywej tak małym, że wektor indukcji magnetycznej możemy

uważać za stały, a zwrot przypisany odcinkowi odpowiada umownie przyjętemu kierunkowi
obiegu krzywej. Przy n

sumowanie zastępujemy całką krzywoliniową:

i

B



i

B



i

l



I

r

j

B



j

l



L

B. Oleś

21

Prawo Ampere’a

:

Cyrkulacja wektora indukcji magnetycznej po

konturze zamkniętym jest równa iloczynowi sumy natężeń prądów
przepływających przez ten kontur i przenikalności magnetycznej próżni

0

.

B



Prawo Ampere’a pozwala wyznaczyć B,
jeśli układ prądów ma pewną symetrię

.

1

0

i

i

B

I

K

Skorzystajmy z tego prawa, aby znaleźć B w odległości

r

od prostoliniowego przewodnika z prądem I

.

,

0

1

I

l

B

n

i

i

i





,

i

i

i

i

l

B

l

B





const

B

,

2

0

I

rB

.

2

0

r

I

B

Jako kontur całkowania

C

wybieramy okrąg o

promieniu

r

. Wektor jest do niego styczny, więc:

B



Zwrot wektora indukcji
magnetycznej wyznacza
reguła prawej dłoni !
Prąd I wypływa z
płaszczyzny kartki

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

i

B



i

l



I

r

j

B



j

l



L

,

2

1

1

r

B

l

B

l

B

n

i

i

n

i

i

i







Otrzymujemy wartość indukcji magnetycznej:

B. Oleś

22

3.3. Prawo Faraday’a

Poprzez zbliżanie i oddalanie magnesu od cewki

możemy wytworzyć w niej prąd elektryczny.

Zjawisko to nosi nazwę

indukcji elektromagne-

tycznej.

Wartość indukowanej w obwodzie siły elektro-

magnetycznej

E

jest równa szybkości, z jaką

strumień

B

przechodzący przez ten obwód

zmienia się w czasie:

t

d

d

B

E

Znak oznacza, że indukowany prąd płynie w

takim kierunku, że wytworzone przez ten

prąd pole magnetyczne przeciwdziała zmianie

strumienia pola magnetycznego, która ten

prąd indukuje. (

Reguła Lenza

)

Prawo indukcji Faraday’a

zmiana

rosnące

induk

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

23

Reguła Lenza

Jeśli w obwodzie płynie prąd, to wzdłuż tego obwodu musi

istnieć pole elektryczne, które przemieszcza elektrony.

Praca wykonana nad cząstką o ładunku q

0

po kołowym torze

podczas jednego okrążenia wynosi W=

E

q

0

, (

E

- indukowana SEM).

C

C

l

d

E

q

l

d

F

W









0

Z drugiej strony można ją obliczyć jako pracę wykonaną przez siły
pola elektrycznego na drodze zamkniętej C (stąd symbol

)

:

Porównanie obu wyrażeń daje:

C

l

d

E

q





0

C

l

d

E





E

.

2 rE

E

W szczególnym przypadku kołowego toru dostaniemy:

czyli SEM jest równa cyrkulacji K

E

wektora

E



Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

24

Prawo Faraday’a

można zapisać w postaci:

.

t

d

d

l

d

E

B

C





Zmienne pole magnetyczne indukuje wirowe pole elektryczne.

Wybór konturu całkowania
nie ma wpływu na wynik!

Linie indukowanego pola elektrycznego tworzą zamknięte pętle, natomiast pola
wytworzonego przez ładunki statyczne nigdy nie są zamknięte, gdyż muszą
zaczynać się na ładunkach dodatnich, a kończyć na ładunkach ujemnych

.

Wykład 9 Wydz.Chemii PK, 2009/10