kwanty dch

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Każde ciało o temperaturze wyższej od temperatury bezwzględnej
wysyła i pochłania promieniowanie elektromagnetyczne (EM).
Dwie wielkości opisują emisję i absorpcję promieniowania EM
przez ciało o temperaturze T:

Zdolność emisyjna

(moc wysyłana przez jednostkę powierzchni

ciała w przedziale długości fal

[λ,λ+δλ]):

λ

λ

d

)

,

( T

e

Zdolność absorpcyjna

(jest to stosunek mocy pochłoniętej do mocy

padającej

):

(

)

(

)

pad

abs

dtdS

d

dE

dtdS

d

dE

T

a

λ

λ

λ

/

/

)

,

(

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Dla wszystkich ciał zachodzi:

λ

λ

λ

λ

λ

d

T

a

d

T

e

T

f

)

,

(

)

,

(

)

,

(

=

Gdzie f

,T) jest pewną uniwersalna funkcją długości

fali i temperatury.

Całkowita moc wypromieniowana przez jednostkę powierzchni
obliczamy przez całkowanie po wszystkich długościach fali
zdolność emisyjną.

=

0

)

,

(

)

(

λ

λ

d

T

e

T

P

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Prawo Stefana-boltzmana

4

0

)

,

(

)

(

T

d

T

e

T

P

=

=

σ

λ

λ

Prawo przesunięć Wiena

T

c

=

max

λ

( )

λ

λ

λ

λ

d

T

e

c

d

T

f

)

,

(

4

/

)

,

(

=

ν

ν

ν

λ

λ

λ

λ

λ

d

c

cT

F

d

T

F

d

T

f

3

4

5

)

(

)

(

)

,

(

=

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Ciało doskonale czarne (CDC)

CDC jest to takie ciało, dla którego zdolność absorpcyjna nie
zależy od długości fali i jest równa 100%. Modelem CDC może być
wnęka z małym otworem.

)

,

(

)

,

(

T

f

T

e

λ

λ

=

1

)

,

(

=

T

a

λ

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Doswiadczalne widmo promieniowania CDC:

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Wzór Rayleigha-Jeansa:

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

V

E

dN

d

T

f

=

λ

λ

)

,

(

ν

ν

π

ν

ν

ν

ν

π

kTd

c

V

d

T

f

d

c

V

dN

kT

E

2

3

2

3

8

)

,

(

8

=

=

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Wzór Plancka

λ

λ

λ

λ

λ

d

e

c

d

T

f

T

c

1

1

)

,

(

2

5

1

=

Empiryczny:

ν

ν

π

ν

ν

ν

ν

π

d

e

e

c

V

d

T

f

d

c

V

dN

e

e

E

kT

e

kT

e

1

8

)

,

(

8

1

0

0

0

2

3

2

3

0

=

=

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Energia drgań jest zawsze całkowitą
wielokrotnością pewnej ilości energii
proporcjonalnej do częstości

ν

h

e

=

0

Teoretyczny:

λ

λ

π

λ

λ

λ

d

e

hc

d

T

f

kT

hc

1

1

8

)

,

(

5

=

ν

ν

π

ν

ν

ν

d

e

c

h

d

T

f

kT

h

1

1

8

)

,

(

3

3

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Efekt fotoelektryczny to emisja elektronów z metalu
bombardowanego promieniowaniem
elektromagnetycznym (UV).

Einstein (1905):

Metal

Promieniowanie UV

Elektrony

W

h

mv

=

ν

2

2

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Promieniowanie UV

A

+

-

Elektrony

Katoda metalowa

Próżnia

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

1) cząstki uwalniane z metalu pod wpływem promieniowania niosą

ładunek ujemny

UV

+

+

+

+

UV

W 1900 Lenard zmierzył stosunek ładunku do masy
(e/m) tych cząstek i zidentyfikował jajo elektrony

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

2) prąd w obwodzie wzrasta ze wzrostem natężenia fali

elektromagnetycznej

I [A]

U [V]

I

1

U

h

I

2

+

Charakterystyka prądowo-napięciowa - zależność od natężenia światła

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

3) maksymalna energia elektronów wzrasta ze wzrostem częstości

promieniowania padającego, dla każdego materiału katody istnieje
częstość graniczna poniżej której efekt fotoelektryczny
nie zachodzi

I [A]

g

[1/s]

0

2

2

=

=

mv

h

W

ν

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

4) energia cząstek emitowanych z katody nie zależy od natężenia

fali padającej, efekt fotoelektryczny jest natychmiastowy

Pomiar maksymalnej prędkości elektronów wyemitowanych

Promieniowanie UV

A

+ -

Elektrony

Próżnia

V

0

max

2

2

eU

mv

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Zależność napięcia hamującego U

h

od częstości padającego

promieniowania elektromagnetycznego.

U

h

W

e

W

h

0

=

Z kąta nachylenia
możemy wyznaczyć
stałą Plancka h:

W

h

mv

=

ν

2

2

W

h

e

U

h

=

ν

e

W

e

h

U

h

=

ν

e

h

=

α

tg

[

]

s

J

h

=

−34

10

626755

.

6

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Zjawisko Comptona jest to nieelastyczne (ze zmianą energii - długości
fali) rozpraszanie fotonów promieniowania elektromagnetycznego
(promieniowanie X) na niemal swobodnych elektronach atomowych.

)

cos

1

(

'

0

θ

λ

λ

λ

=

=

c

m

h

źródło

grafit

λ

2

λ

1

detektor

Układ do obserwacji
zjawiska Comptona:

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

λ

2

λ

1

E

1

E

e

E

2

p

1

p

2

p

e

m c

o 2

ϕ

e

-

y

x

Zasada zachowania
energii:

2

2

0

2

2

0

1

1

β

ν

ν

+

=

+

c

m

h

c

m

h

ϕ

β

θ

ν

sin

1

sin

0

2

0

2

+

=

v

m

c

h

ϕ

β

θ

ν

ν

cos

1

cos

2

0

2

1

+

=

v

m

c

h

c

h

Zasada
zachowania
pędu:

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

(

)

2

2

2

0

2

2

0

1





=

+

β

ν

c

m

c

m

h

(

)

4

2

0

2

4

2

0

2

0

2

1

2

c

m

c

m

c

m

h

h

=

+

β

ν

ν

ϕ

β

θ

ν

2

2

2

2

0

2

2

2

sin

1

sin

=

v

m

c

h

ϕ

β

θ

ν

ν

2

2

2

2

0

2

2

1

cos

1

cos

=

v

m

c

h

h

(

) (

)

2

2

2

2

0

2

2

2

2

2

1

1

sin

cos

β

θ

ν

θ

ν

ν

=

+

c

v

m

h

h

h

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

(

)

(

)

( )

( )

[

]

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

0

2

cos

2

2

cos

2

1

ν

ν

θ

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

θ

ν

ν

ν

β

+

+

=

+

=

h

h

h

h

c

v

m

(

)

[

]

)

cos

1

(

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

0

θ

ν

ν

ν

ν

β

+

=

h

c

v

m

Wykorzystując wzór:

2

2

2

2

0

4

2

0

2

4

2

0

1

1

β

β

=

c

v

m

c

m

c

m

( )

4

2

0

2

2

c

m

pc

E

+

=

(

)

(

)

[

]

)

cos

1

(

2

2

2

1

2

2

1

2

2

0

2

θ

ν

ν

ν

ν

ν

ν

+

=

+

h

c

m

h

h

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

)

cos

1

(

2

1

2

0

θ

ν

ν

ν

=

h

c

m

)

cos

1

(

1

1

2

0

2

1

2

1

2

1

θ

ν

ν

ν

ν

ν

=

=

c

m

h

ν

)

cos

1

(

0

2

1

2

1

θ

λ

λ

ν

ν

=

=

c

m

h

c

c

Comptonowska długość fali:

)

cos

1

(

0

θ

λ

=

c

m

h

c

m

h

c

0

=

λ

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Zmiana długości fali w zjawisku Comptona zależy jedynie od kąta
rozproszenia, nie zależy natomiast od energii początkowej fotonu.
Maksymalna zmiana długości fali wynosi 2

λ

c

.

Comptonowska długość fali jest zbyt mała (0.0024 nm) aby
zaobserwować to zjawisko dla fal świetlnych.

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

1) Odkrycie kwantów energii fal EM
w widmie promieniowania termicznego
(Ciało Doskonale Czarne)

2) Absorpcja kwantów EM w zjawisku
fotoelektrycznym

3) Nieelastyczne rozpraszanie kwantów

promieniowania rentgenowskiego

na elektronach (zjawisko Comptona)

1) Zjawiska interferencji i dyfrakcji
światła, fal radiowych, promienio-
wania rentgenowskiego

2) Emisja i absorpcja promieniowania
EM opisana przez teorię elektronową
Lorenta.

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

c

=

λν

πν

ω

2

=

λ

π

2

=

k

λ

ν

h

c

h

c

E

p

=

=

=

π

2

h

=

h

π

2

h

n

rp

=

λ

π

n

p

h

n

r

=

=

2

ω

h

=

E

k

p h

=

Jeśli elektrony rozchodzą się jak fale
to powinny ulegać interferencji.
W dośw. D-G wiązka elektronów o określonych
pędach (dł fali) padały na powierzchnię niklu
o stałej sieci a=3.52*10

-10

m.

Jako wynik zaobserwowano obraz interferencyjny.

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Jeśli dokładnie znamy pęd cząstki, to tym
samym nic nie możemy powiedzieć o jej
położeniu.

h

=

π

2

h

p

x

x

π

2

h

t

E

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Dowolnej, dobrze określonej obserwabli (położenie, pęd, energia,
masa, moment pędu itp.)odpowiada operator  taki, że w wyniku
pomiaru otrzymamy wartości a, które są wartościami własnymi
operatora Â.

ϕ

ϕ

a

=

 - operator obserwabli

a - wartość własna operatora  odpowiadająca funkcji

ϕ

ϕ

- funkcja własna operatora Â

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

= h

i

x

i

p

x

= h

ˆ

ϕ

ϕ

x

p

x

i

=

− h

ikx

x

ip

Ae

Ae

x

=

=

h

/

h

p

k

=

ϕ

)

(

λ

+

=

x

ik

ikx

e

e

λ

λ

λ

k

i

k

e

ik

sin

cos

1

+

=

=

0

sin

,

1

cos

=

=

λ

λ

k

k

π

λ

2

=

k

λ

p

k

=

k

p

Ae

ikx

k

h

=

=

,

ϕ

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

)

(

2

)

(

2

ˆ

2

2

2

r

V

m

r

V

m

p

r

h

r

+

=

+

=

ϕ

ϕ

E

x

m

=

2

2

2

2

h

2

2

2

ˆ

=

m

H

h

m

k

E

k

p

Ae

ikx

k

2

2

2

h

h

=

=

=

ϕ

0

2

2

2

=

+

ϕ

ϕ

k

x

2

2

2

h

mE

k

=

m

k

E

2

2

2

h

=

ikx

Ae

=

ϕ

ϕ

ϕ

x

p

p

=

ˆ

( )

(

)

( ) ( )

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

m

k

p

m

k

m

k

p

p

m

p

H

2

ˆ

2

2

ˆ

ˆ

2

ˆ

ˆ

2

h

h

h

=

=

=

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Pomiar obserwabli A dający w wyniku wartość a pozostawia układ
w stanie

ϕ

a

, gdzie

ϕ

a

jest funkcją własną operatora Â, odpowiadającą

wartości własnej a.

ϕ

ϕ

'

x

=

Równanie na wartości własne operatora położenia:

)

'

(

'

)

'

(

x

x

x

x

x

=

δ

δ

)

'

(

x

x

δ

-funkcja delta Diraca

=

)

(

'

)

'

(

)

'

(

x

f

dx

x

x

x

f

δ

=

1

'

)

'

(

dx

x

x

δ

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Stan układu w dowolnej chwili może reprezentować funkcja stanu

ψ,

ciągła i różniczkowalna, zwana funkcją falową. Zawarte są w niej
wszystkie informacje dotyczące stanu układu. W szczególności, jeśli
układ znajduje się w stanie

ψ(r,t), to średnia wartość dowolnej

obserwabli fizycznej A związanej z układem w chwili t dana jest wzorem:

dz

d

d

A

*

y

x

ψ

ψ

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Funkcja stanu układu zależy od czasu zgodnie z równaniem,
zwanym równaniem równaniem Schrodingera zależnym od czasu:

)

,

(

ˆ

)

,

(

t

r

H

t

r

t

i

r

r

h

ψ

ψ

=

gdzie H jest operatorem energii.

)

(

)

(

)

,

(

t

T

r

t

r

ϕ

=

r

r

)

(

2

)

(

2

2

r

V

m

r

r

h

r

+

=

=

E

r

H

r

t

t

T

t

T

i

=

=

)

(

ˆ

)

(

1

)

(

)

(

1

r

r

h

ϕ

ϕ

ψ

)

(

)

(

ˆ

r

E

r

H

r

r

ϕ

ϕ

=

0

)

(

)

(

=

+

t

T

iE

t

t

T

h

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

−

=

t

iE

A

t

T

h

exp

)

(

)

(

)

(

ˆ

r

E

r

H

n

n

n

r

r

ϕ

ϕ

=

−

=

=

t

iE

r

A

t

T

r

t

r

n

n

n

h

r

r

r

exp

)

(

)

(

)

(

)

,

(

ϕ

ϕ

ψ

m

k

E

k

2

2

2

h

=

2

2

2

/

2

kl

v

m

p

p

m

p

k

k

v

=

=

=

=

=

h

h

ω

ω

ikx

k

Ae

=

ϕ

−

=

t

iE

ikx

A

t

r

k

k

h

r

exp

)

exp(

)

,

(

ψ

[

]

)

(

exp

)

,

(

t

kx

i

A

t

r

k

ω

=

r

ψ

ω

h

=

k

E

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

0

=

+

J

t

ρ

=

V

r

d

N

r

ρ

=

S

dS

J

t

N

ψ

ψ

H

i

t

ˆ

h

=

0

=

+

x

J

t

x

ρ

*

*

:

ˆ

ψ

ψ

H

i

t

h

=

2

ψ

ρ

( )

*

*

:

*

*

:

*

:

ˆ

ˆ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψψ

H

i

H

i

t

t

t

h

h

+

=

+

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

x

i

p

x

= h

ˆ

)

(

2

ˆ

2

r

V

m

p

r

+

=

( )





=

2

*

2

2

2

*

:

*

:

2

x

x

m

i

t

ψ

ψ

ψ

ψ

ψψ

h

( )

0

2

*

*

:

*

:

=





+

x

x

mi

x

t

ψ

ψ

ψ

ψ

ψψ

h





=

x

x

mi

J

x

*

*

:

2

ψ

ψ

ψ

ψ

h

(

)

*

*

:

2

ψ

ψ

ψ

ψ

=

m

i

J

h

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

pad

prz

J

J

T

=

pad

odb

J

J

R

=

2

1

2

2

A

ik

mi

J

pad

h

=

[

]

)

(

exp

1

1

t

x

k

i

A

pad

ω

ψ

=

[

]

)

(

exp

1

1

t

x

k

i

B

odb

ω

ψ

+

=

2

1

2

2

B

ik

mi

J

odb

h

=

[

]

)

(

exp

2

2

t

x

k

i

C

prz

ω

ψ

=

2

2

2

2

C

ik

mi

J

prz

h

=

2

A

B

R

=

1

2

2

k

k

A

C

T

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

ϕ

ϕ

E

x

m

=

2

2

2

2

h

ϕ

ϕ

)

(

2

2

2

2

V

E

x

m

=

− h

m

k

E

2

2

1

2

h

=

m

k

V

E

2

2

2

2

h

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

x

ik

x

ik

I

Be

Ae

1

1

+

=

ϕ

x

ik

x

ik

II

De

Ce

2

2

+

=

ϕ

0

=

D

x

x

II

I

=

)

0

(

)

0

(

ϕ

ϕ

)

0

(

)

0

(

II

I

ϕ

ϕ

=

)

0

(

)

0

(

0

0

0

2

1

1

II

ik

ik

ik

I

Ce

Be

Ae

ϕ

ϕ

=

=

+

=

C

B

A

=

+

x

e

Cik

e

Bik

e

Aik

x

II

ik

ik

ik

I

=

=

=

)

0

(

)

0

(

0

2

0

1

0

1

2

1

1

ϕ

ϕ

1

2

k

k

C

B

A

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

1

2

/

1

2

k

k

A

C

+

=

1

2

1

2

/

1

/

1

k

k

k

k

A

B

+

=

(

)

2

1

2

1

2

/

1

/

4

k

k

k

k

T

+

=

2

1

2

1

2

/

1

/

1

k

k

k

k

R

+

=

m

k

E

2

2

1

2

h

=

m

k

V

E

2

2

2

2

h

=

E

V

E

V

E

k

k

=

=

1

2

1

2

2

E

V

k

k

= 1

1

2

1

=

+ R

T

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

1

0

1

2

k

k

mamy

Dla

V

E

>

:

Dla

V

E

>>

1

1

2

k

k

0

i

1

=

=

R

T

:

Dla

V

E

=

0

1

2

=

k

k

1

i

0

=

=

R

T

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Gdy

V

E

<

ϕ

ϕ

E

x

m

=

2

2

2

2

h

ϕ

ϕ

)

(

2

2

2

2

V

E

x

m

=

− h

m

k

E

2

2

1

2

h

=

0

2

2

2

>

=

m

E

V

χ

h

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

x

ik

x

ik

I

Be

Ae

1

1

+

=

ϕ

x

II

Ce

χ

ϕ

=

A

C

A

B =

+

1

A

C

k

i

A

B

1

1

χ

=

1

/

1

2

k

i

A

C

χ

+

=

1

1

/

1

/

1

k

i

k

i

A

B

χ

χ

+

=

1

2

=

=

A

B

R

0

=

T

0

2

2

=





=

x

e

e

x

e

e

C

mi

J

x

x

x

x

prze

χ

χ

χ

χ

h

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

x

ik

x

ik

I

Be

Ae

1

1

+

=

ϕ

m

k

E

2

2

1

2

h

=

x

ik

x

ik

II

De

Ce

2

2

+

=

ϕ

m

k

V

E

2

2

2

2

h

=

x

ik

III

Fe

1

=

ϕ

m

k

E

2

2

1

2

h

=

( ) ( )

2

2

2

2

2

1

2

h

V

ma

ak

ak

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

a

ik

a

ik

a

ik

a

ik

e

A

D

e

A

C

e

A

B

e

2

2

1

1

+

=

+

=

a

ik

a

ik

a

ik

a

ik

e

A

D

e

A

C

k

e

A

B

e

k

2

2

1

1

2

1

a

ik

a

ik

a

ik

e

A

F

e

A

D

e

A

C

1

2

2

=

+

a

ik

a

ik

a

ik

e

A

F

k

e

A

D

e

A

C

k

1

2

2

1

2

=

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

sin

2

2

cos

1





+

=

a

k

k

k

k

k

i

a

k

e

A

F

a

ik

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

a

k

k

k

k

k

A

F

i

A

B

2

2

1

2

1

2

2

2

sin

2

=

1

2

2

=

+

=

+

A

B

A

F

R

T

a

k

k

k

k

k

F

A

T

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

sin

4

1

1

1





+

=

=

Dla E>V mamy:

a

k

V

E

E

V

T

2

2

2

2

sin

)

(

4

1

1

1

+

=

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

0

2

2

2

>

=

m

E

V

χ

h

( ) ( )

2

2

2

2

1

2

h

V

ma

a

ak

=

+

χ

z

i

iz

sinh

sin

=

χ

=

2

ik

Wiedząc, że:

a

k

k

T

χ

χ

χ

2

sinh

4

1

1

1

2

2

1

2

1

2





+

+

=

a

V

E

E

V

T

χ

2

sinh

)

(

4

1

1

1

2

2

+

=

a

V

E

E

V

T

χ

2

sinh

)

(

4

1

1

1

2

2

+

=

Gdy E<V to T<1

Jeśli

0

2

sin

2

2

=

a

k

to T=1

π

n

a

k

=

2

2

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

100nm

400nm

Ag

200nm

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

400nm

100nm

Au

200nm

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk

Cu

400nm

100nm

200nm

background image

© Politechnika Lubelska

Dariusz Chocyk


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kwanty dch
Wyklad4 kwantyle dystrybuanta
AMI 02 1 Kwantyfikatory
kwanty
kwantyfikatory, Matematyka
Logika dla informatyków, Sekwenty Genztena dla kwantyfikatorów
Kwanty XX
roz14 kwanty
Modul 2 Wynikanie logiczne i elementy rachunku kwantyfikatorow
5 Metody?lsyfikacji formuł na gruncie pierwszorzędowego rachunku kwantyfikatorów
ROZKLAd ch2, Kwantyle c2(p,v) rzędu p rozkładu c2 o
Kwanty światla, efekt fotoelektryczny i realność fotonów Skalski
Kwantyle rozkładu x kwadrat
kwantyle
kwantyle rozklad t studenta
06 Kwantyfikatory
19 kwanty wstęp

więcej podobnych podstron