Metody falsyfikacji formuł na gruncie pierwszorzędowego rachunku kwantyfikatorów

1. Metoda przez analogię do KRZ

∀_xP_x→P_x – usuń kwantyfikatory

P_x→P_x – zamień predykaty na zmienne zdaniowe z KRZ

p→p (ANALOGON)

1 0 1

Sprzeczność

Jeśli analogon jest tautologią to formuła wyjściowa jest prawdziwa. Jeśli analogon jest fałszywy to formuła wyjściowa również jest fałszywa.

∀_x (P_x→Q_x) v ∃_x (P_x v ~Q_x)

(P_x→Q_x) v (P_x v ~Q_x)

(p→q) v (p v ~q) – tautologia

1 0 0 0 1 0 1 0

Sprzeczność

∃_x [(P_x^~Q_x) ^ ∀_x (P_x→Q_x)] → R_xy P_x = p, Q_x = q, R_xy = r

[(P_x^~Q_x) ^ (P_x→Q_x)] → R_xy

[(p^~q) ^ (p→q)] → r - tautologia

1 1 1 0 1 1 1 0 0

Sprzeczność

Podstawowe prawa klasycznego rachunku predykatów

1. Dictum de omni : ∀_xP_x→P_a – jeżeli wszystkie obiekty danego rodzaju posiadają pewna własność to poszczególny obiekt z tego rodzaju również ową własność posiada.

2. Prawo generalizacji egzystencjalnej: P_x→∃_x P_x – jeżeli jakiś przedmiot posiada pewną własność to przedmiot ten istnieje

3. Prawo subalternacji : ∀_x P_x → ∃_xP_x – jeśli wszystkie przedmioty pewnego zbioru posiadają pewną własność to istnieje obiekt tego rodzaju posiadający tą własność

4. Prawo de Morgana : ∼∀_xP_x ↔ ∃_x∼ P_x - jeśli nie wszyscy studenci piją Johnego Walkera to istnieje taki student który nie pije Johnego Walkera.

∼∃_x P_x↔∀_x ∼P_x – jeśli nie istnieją kwadratowe koła to nie istnieje kwadratowe [jedno]

Metoda 1 w pewnych przypadkach okazuje się wysoce nieużyteczna. Np. w przypadku rozbudowanych formuł.

2. Metoda przez kontrprzykłady

1. ∀_x(P_x→Q_x) → ∃_x (P_x ^ Q_x) = 1 - uznać zdanie za prawdziwe

2. Podać postać formuły w języku naturalnym w ramach danej dziedziny.

D = {zbiór ludzi}

P_x – bycie studentem

Q_x – bycie mądrym

Jeśli wszyscy studenci są mądrzy to istnieje student który jest mądry.

3. Kontrprzykład – takie zdanie języka naturalnego, które spowoduje konieczność odrzucenia założenia wyjściowego ( w tym przypadku prawdziwości zdania).

D = {zbiór wszystkich rzeczy dających się pomyśleć}

P_x = bycie ogórkiem

Q_x = bycie kultywatorem

Jeśli wszystkie ogórki są kultywatorami to istnieje ogórek, który jest kultywatorem.

3. Kwadrat logiczny

Każde zdanie języka naturalnego w Klasycznym Rachunku Predykatów może być sprowadzone do:

1) Zdania ogólno twierdzącego; Każde x jest y

2) Zdania szczegółowo-twierdzącego; Niektóre x są y

3) Zdania ogólno przeczącego; Nie każde x nie jest y

4) Zdanie sczegółowo-przeczącego; Niektóre x nie są y

Wykluczanie

Wynikanie: jeśli zdanie ogólne jest prawdziwe, to zdanie szczegółowe tez jest prawdziwe ale nie odwrotnie.

Wykluczanie(sprzeczność) : zdanie pozostające w tej relacji maja przeciwną wartość logiczną

Przeciwieństwo : Zdania będące w tej relacji nie mogą być zarazem prawdziwe

Podprzeciwieństwo : zdania będące w tej relacji nie mogą być zarazem fałszywe