Kwantyfikatory

Kwantyfikatory to określenia ilościowe dotyczące liczby obiektów jakiegoś typu. Na przykład niech
oznacza zbiór Polaków, zaś

funkcję zdaniową `` jest praworęczny''. Rozważmy zdanie:

Każdy Polak jest praworęczny.

Możemy to zdanie przepisać w sposób częściowo symboliczny:

Dla każdego

, jest praworęczny.

W rachunku zdań zastępowaliśmy spójniki języka potocznego przez pewne symbole. W rachunku
kwantyfikatorów zwrot ``dla każdego '' zapisujemy symbolicznie w postaci . Zdanie

możemy więc

zapisać w postaci

Zdanie to jest równoważne temu, że wykres funkcji zdaniowej

to cały zbiór

, tzn.

Zdanie

możemy odczytywać na wiele równoważnych sposobów:

Dla każdego

,

.

1.

Dla dowolnego

,

.

2.

Dla wszystkich

,

.

3.

Wszystkie

mają własność

.

4.

Każdy

spełnia

.

5.

dla wszystkich

.

6.

Symbol nazywamy dużym kwantyfikatorem (lub kwantyfikatorem ogólnym, uniwersalnym)

6.1

. Ogólnie,

dla dowolnej funkcji zdaniowej

zapis

odczytujemy na dowolny z powyższych

sposobów. Oznacza on zawsze, że

. Zdanie postaci

nazywamy zdaniem

uniwersalnym.

Rozważmy teraz zdanie

Pewien Polak jest praworęczny.

Oznaczając znów przez

zbiór Polaków i używając

na oznaczenie funkcji zdaniowej `` jest

praworęczny'' możemy zdanie to zapisać w postaci

Istnieje

taki, że

.

Zwrot ``istnieje'' zapisujemy symbolicznie w postaci . Zatem zdanie

możemy zapisać symbolicznie

jako

Zdanie to jest równoważne temu, że wykres funkcji zdaniowej

jest niepusty, tzn.

Zdanie

możemy odczytywać na wiele równoważnych sposobów:

Istnieje

takie, że

.

1.

Dla pewnego

mamy

.

2.

Jakieś

spełnia

.

3.

dla pewnego

.

4.

Symbol nazywamy małym kwantyfikatorem (lub kwantyfikatorem egzystencjalnym)

6.2

. Ogólnie, dla

dowolnej funkcji zdaniowej

zapis

odczytujemy na dowolny z powyższych sposobów.

Oznacza on zawsze, że

. Zdanie postaci

nazywamy zdaniem

egzystencjalnym.

Zbiór

w wyrażeniach

i

nazywamy zakresem kwantyfikatora. Gdy jest on znany z kontekstu,

można pomijać fragment ``

'' w

i

, pisząc odpowiednio

Używając kwantyfikatorów wiele matematycznych zdań możemy zapisać w przejrzystej formie. Na
przykład zdanie

mówi, że ``równanie

ma rozwiązanie''. Fakt, że

zawiera się w

, możemy zapisać w

postaci

zaś to, że zbiory

i

nie są rozłączne, znaczy, że

W przypadku kwantyfikowania po zbiorze skończonym mały kwantyfikator możemy zastąpić przez
kilkukrotną alternatywę, zaś duży kwantyfikator przez kilkukrotną koniunkcję. Załóżmy mianowicie, że
rozważamy funkcję zdaniową

, gdzie

jest zbiorem skończonym.

Wówczas zdanie

jest równoważne

zaś zdanie

jest równoważne

W matematyce używa się też często tak zwanych kwantyfikatorów ograniczonych (inaczej:
zrelatywizowanych).

Przykład 1. Zdanie ``Jeśli liczba rzeczywista jest

, to

'' w formie symbolicznej ma postać

gdzie zakres kwantyfikatora to zbiór liczb rzeczywistych. Możemy je jednak również wyrazić mówiąc:
``Dla każdej liczby rzeczywistej większej lub równej mamy

'', co w formie symbolicznej ma

postać:

W wyrażeniu tym zakres kwantyfikatora jest ograniczony do liczb rzeczywistych

, dlatego nazywamy

go tu kwantyfikatorem ograniczonym (zrelatywizowanym).

Podobnie dla funkcji zdaniowej

i zbioru

zdanie

czytamy ``Dla każdego , jeśli

, to

''. Jest ono równoważne temu, że

.

Zatem równoważnie możemy wyrazić to zdanie mówiąc: ``Dla każdego

mamy

''. W formie

symbolicznej zdanie to ma postać

zakres kwantyfikatora został tu ograniczony do zbioru

.

Przykład 2. Rozważmy zdanie ``Istnieje liczba rzeczywista taka, że

i

''. Symbolicznie

zdanie to ma postać

Możemy jednak wysłowić je mówiąc: ``Istnieje liczba mniejsza od , taka że

''. Symbolicznie

zapisujemy to w postaci:

Znów zakres kwantyfikatora, ktory początkowo był równy

, został tu ograniczony do liczb

rzeczywistych

.

Podobnie, gdy mamy funkcję zdaniową

i

, zdanie

jest równoważne temu, że

. Możemy więc zapisać je w formie

Zakres kwantyfikatora, który początkowo był równy

, jest tu ograniczony do zbioru

.

Rozważmy teraz sytuację, gdy

. Wtedy zdanie

jest prawdziwe, gdyż jest ono równoważne zdaniu

. Poprzednik implikacji

wystepującej wewnątrz tego zdania jest fałszywy dla każdego .
Natomiast zdanie

jest w tym przypadku fałszywe, gdyż równoważne jest ono zdaniu

. Pierwszy człon

koniunkcji występującej wewnątrz tego zdania jest fałszywy dla każdego .

Warto podkreślić, że relatywizacja dużego kwantyfikatora odpowiada ``schowaniu'' poprzednika
implikacji, zaś relatywizacja małego kwantyfikatora odpowiada ``schowaniu'' pierwszego członu
koniunkcji, i tylko w takich przypadkach mogą być one dokonane. Formalnie rzecz biorąc, każda z form
zapisu (zrelatywizowana lub nie) jest równie dobra, wybór formy jest więc kwestią smaku. W miarę
potrzeby można przechodzić od jednej formy zapisu do drugiej. Kwantyfikatory ograniczone zazwyczaj
ujmujemy w nawiasy.

Jako kolejny przykład zauważmy, że w zrelatywizowanej formie zdanie

ma postać

. Podobnie zdanie

w postaci zrelatywizowanej można zapisać na

dwa sposoby:

i

. (W obu tych przykładach zakładamy, że zbiory

i

są podzbiorami jednej przestrzeni

, która jest zakresem kwantyfikatorów w postaci

niezrelatywizowanej.)

Możemy również kwantyfikować funkcje zdaniowe większej liczby zmiennych. Rozważmy funkcję
zdaniową

. Wówczas możemy utworzyć nowe funkcje zdaniowe:

``dla każdego

'' oraz ``istnieje

takie, że

''.

W formie symbolicznej zapisujemy je następująco:

Są to funkcje zdaniowe zmiennej o zakresie

. Zmienna została tu ``związana'' przez kwantyfikatory

i

. Gdy zakres kwantyfikatorów jest znany z kontekstu, możemy pomijać fragment ``

'' w

,

pisząc

i

.

Niech

będzie wykresem funkcji zdaniowej

. Widzimy, że

Dla dowolnych

mamy też

Przy pomocy cięć pionowych zbioru

możemy więc zinterpretować zdania typu

.

Podobnie przy pomocy cięć poziomych zbioru

interpretujemy zdania

Rozważymy teraz kilka przykładów z języka potocznego. Niestety, zarówno w języku potocznym, jak i w
matematyce, by sformalizować zdanie przy pomocy kwantyfikatorów, trzeba je często najpierw
przeformułować.

Przykład 1. Sformalizujemy zdanie: ``Każdy kij ma przynajmniej dwa końce''. Niech mianowicie
oznacza zbiór kijów,

zbiór końców, zaś

funkcję zdaniową: `` jest końcem ''.

Nasze zdanie możemy wysłowić mówiąc:

Dla każdego kija istnieją końce

takie, że jest końcem i jest końcem i

.

Symbolicznie nasze zdanie ma postać:

Zapis

jest skrótem dla

.

Przykład 2. Sformalizujemy zdanie: ``Każdy dudek ma swój czubek''. Niech

oznacza zbiór dudków,

zbiór czubków, zaś

funkcję zdaniową: `` ma ''. Nasze zdanie możemy

przeformułować następująco:

Dla każdego dudka istnieje czubek taki, że ma .

W formie symbolicznej nasze zdanie ma postać

W tym miejscu zwróćmy uwagę, że zdanie z kwantyfikatorami w zmienionej kolejności:

odczytujemy jako:

Istnieje taki czubek, że każdy dudek go ma.

co jest jawnym fałszem. Widzimy więc, że ogólnie zdania

nie są równoważne, to znaczy kwantyfikatory i nie są przemienne.

Przykład 3. Sformalizujemy zdanie: ``Nie wszystko złoto, co się świeci''. Niech

oznacza zbiór rzeczy,

, funkcję zdaniową `` jest złote'', zaś

funkcję zdaniową `` się świeci''. Nasze

zdanie możemy przeformułować w postaci: ``Nieprawda, że każda rzecz , która się świeci, jest złota.'',
czy też inaczej: ``Nieprawda, że dla każdej rzeczy , jeśli się świeci, to jest złota.'' Zatem nasze
zdanie ma postać symboliczną:

Formalizacja zdań matematycznych przy pomocy spójników logicznych i kwantyfikatorów nie jest celem
samym w sobie. Warto ją stosować, gdy rozjaśnia znaczenie matematycznego zdania lub upraszcza jego
zapis. Gdy jednak zdanie jest wystarczająco jasne w potocznym języku matematycznym, nie należy ulegać
manierze zastępowania w nim zwyczajnych słów (takich jak ``i'', ''lub'', ``dla każdego'') przez sztuczne
znaczki (

).