Prawdopodobieństwo i statystyka

6.04.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1.

Rzucono niezależnie 80 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza łączną liczbę
orłów, a Y liczbę orłów w pierwszych 20 rzutach. Wtedy współczynnik korelacji

)

,

(

Y

X

ρ

jest równy

(A) 0

(B)

2

1

(C)

2

1

(D)

4

1

(E) 1

1

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.04.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2.

Niech

X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładów

prawdopodobieństwa

o gęstościach

(

)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

−

=

0

gdy

0

0

gdy

2

exp

3

8

)

(

3

x

x

x

x

x

f

X

i

(

)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

−

=

0

gdy

0

0

gdy

2

exp

3

4

)

(

4

x

x

x

x

x

f

Y

Niech

Y

X

X

U

+

=

i

V=X+Y.

Wtedy

(A)

( )

5

4

=

U

E

(B)

(

)

9

4

|

=

V

U

E

(C)

(

)

V

V

U

E

2

|

=

(D)

(

)

U

U

V

E

2

|

=

(E)

( )

2

7

=

V

E

2

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.04.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3.

Niech

,

,N będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Zmienne

mają rozkład o wartości oczekiwanej 2 i wariancji 1. Zmienne

mają rozkład jednostajny na przedziale

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

K

K ,

,

,

,

2

1

n

I

I

I

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

K

K ,

,

,

,

2

1

n

I

I

I

( )

1

,

0

. Zmienna N ma rozkład ujemny

dwumianowy

(

)

n

n

n

n

N

P

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

Γ

=

=

4

1

4

3

!

)

2

(

2

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

n

.

Niech

.

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

=

=

∑

=

0

0

0

1

N

gdy

X

I

N

gdy

S

N

i

i

i

N

Wtedy

jest równa

(

N

Var S

)

(A)

9

8

(B)

9

4

(C)

3

4

(D)

9

10

(E)

18

17

3

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.04.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4.

W urnie znajduje się nieznana liczba N kul, wśród których jest 7 kul czerwonych.
Losujemy 6 kul i zliczamy X liczbę kul czerwonych. Weryfikujemy hipotezę H:

N=15 przy alternatywie, że K: N>15. Przy poziomie istotności

143

12

test jednostajnie

najmocniejszy odrzuca hipotezę H, gdy

(A)

1

<

X

(B)

2

<

X

(C)

3

<

X

(D)

3

>

X

(E) 4

>

X

4

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.04.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5.

Na podstawie prostej próby losowej

testowano hipotezę

przy

alternatywie

, gdzie

jest parametrem odpowiadającym za wariancję

zmiennej losowej

.

10

2

1

,

,

,

X

X

X

K

2

:

2

0

=

σ

H

5

,

0

:

2

1

=

σ

H

2

σ

i

X

Jeżeli dodatkowo wiadomo, że zmienne losowe

mają rozkład zadany gęstością

i

X

⎩

⎨

⎧

≤

>

=

−

0

x

0

0

)

(

2

gdy

x

gdy

xe

x

f

x

θ

θ

θ

,

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem, to przy poziomie istotności

05

,

0

=

α

, obszar

krytyczny testu opartego na ilorazie wiarogodności jest równy

(A)

25

,

13

10

1

<

∑

=

i

i

X

(B)

88

,

27

10

1

>

∑

=

i

i

X

(C)

15

,

9

10

1

>

∑

=

i

i

X

(D)

71

,

15

10

1

>

∑

=

i

i

X

(E)

43

,

5

10

1

<

∑

=

i

i

X

5

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.04.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6.

Dysponujemy dwiema urnami: A i B. W urnie A są dwie kule białe i trzy czarne, w urnie B są
cztery kule białe i jedna czarna. Wykonujemy trzy etapowe doświadczenie:
1 etap: losujemy urnę (wylosowanie każdej urny jest jednakowo prawdopodobne);
2 etap: z wylosowanej urny ciągniemy 2 kule bez zwracania, a następnie wrzucamy do tej
urny 2 kule białe i 2 czarne;
3 etap: z urny, do której wrzuciliśmy kule, losujemy jedną kulę.
Okazało się, że wylosowana w trzecim etapie kula jest biała.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w drugim etapie wylosowano dwie kule jednego koloru.

(A) 0,2

(B) 0,4

(C) 0,5

(D) 0,6

(E) 0,3

6

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.04.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

7.

Niech

,

,

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu

Pareto o gęstości

n

X

X

X

X

,

,

,

,

2

1

0

K

2

>

n

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

+

=

0

x

0

0

)

1

(

3

)

(

4

gdy

x

gdy

x

x

f

Niech

. Wtedy

{

}

n

X

X

X

X

U

,

,

,

,

min

2

1

0

K

=

)

1

|

(

0

=

X

U

E

jest równa

(A)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

+

+2

3

2

1

1

2

3

1

n

n

(B)

n

n

n

3

1

3

2

1

2

1

1

1

3

1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

−

(C)

1

3

2

)

1

3

(

1

−

−

n

n

(D)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

+

−1

3

3

2

1

1

1

3

1

2

1

n

n

n

(E)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

−1

3

2

1

1

1

3

1

n

n

7

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.04.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

8.

Niech

,

, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie normalnym o wartości oczekiwanej 1 i nieznanej wariancji

.

Rozważamy rodzinę estymatorów parametru

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

2

≥

n

2

σ

σ postaci

∑

=

−

=

n

i

i

a

X

a

S

1

1 , przy czym a

jest liczbą dodatnią. Wyznaczyć

, tak by estymator

był estymatorem o

najmniejszym błędzie średniokwadratowym wśród estymatorów postaci

.

*

a

*

a

S

a

S

(A)

n

a

1

*

=

(B)

1

1

*

−

=

n

a

(C)

1

2

2

*

−

+

=

π

π

n

a

(D)

2

2

2

*

−

+

=

π

π

n

a

(E)

2

2

2

*

−

+

=

π

π

n

a

8

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.04.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

9.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie jednostajnym na przedziale

,

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

)

,

( b

a

b

a

<

i

. Rozważamy estymator

parametru

postaci

2

>

n

a

b

−

{

}

{

}

(

)

n

n

X

X

X

X

X

X

c

,

,

,

min

,

,

,

max

2

1

2

1

K

K

−

,

gdzie c dobrano tak, aby był to estymator nieobciążony.
Wariancja tego estymatora jest równa

A)

(

)

(

)(

)

1

1

2

2

−

+

−

n

n

a

b

(B)

(

)

(

) (

)

2

1

2

2

2

+

+

−

n

n

a

b

n

(C)

(

)

(

) (

)

2

1

2

2

2

+

−

−

n

n

a

b

n

(D)

(

)

(

)(

)

1

2

2

2

−

+

−

n

n

a

b

(E)

(

)

(

)(

)

2

1

2

2

+

+

−

n

n

a

b

9

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.04.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

10.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o

gęstości

10

2

1

,

,

,

X

X

X

K

( )

( )

⎩

⎨

⎧

∉

∈

=

−

0,1

x

0

1

,

0

)

(

1

gdy

x

gdy

x

x

f

θ

θ

θ

,

gdzie θ>0 jest nieznanym parametrem. Wyznaczamy przedział ufności dla parametru θ
postaci

[

]

θ

θ

ˆ

,

ˆ d

c

,

gdzie

jest estymatorem największej wiarogodności, a stałe c i d są

dobrane tak, aby

)

,

,

,

(

ˆ

ˆ

10

2

1

X

X

X

K

θ

θ

=

(

) (

)

05

,

0

ˆ

ˆ

=

>

=

<

θ

θ

θ

θ

θ

θ

d

P

c

P

. Wyznaczyć c i d.

(A)

i

54

,

0

=

c

57

,

1

=

d

(B)

i

39

,

0

=

c

83

,

1

=

d

(C)

i

11

,

0

=

c

11

,

1

=

d

(D)

i

23

,

0

=

c

21

,

2

=

d

(E)

i

27

,

0

=

c

29

,

1

=

d

10

Prawdopodobieństwo i statystyka

6.04.2009 r.

___________________________________________________________________________

Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko : .................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ..............................
Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 B

2 B

3 C

4 B

5 A

6 C

7 E

8 D

9 D

10 A

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

11