Prawdopodobieństwo i statystyka
6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Rzucono niezależnie 80 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza łączną liczbę
orłów, a Y liczbę orłów w pierwszych 20 rzutach. Wtedy współczynnik korelacji
)
,
(
Y
X
ρ
jest równy
(A) 0
(B)
2
1
(C)
2
1
(D)
4
1
(E) 1
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech
X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładów
prawdopodobieństwa
o gęstościach
(
)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
−
=
0
gdy
0
0
gdy
2
exp
3
8
)
(
3
x
x
x
x
x
f
X
i
(
)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
−
=
0
gdy
0
0
gdy
2
exp
3
4
)
(
4
x
x
x
x
x
f
Y
Niech
Y
X
X
U
+
=
i
V=X+Y.
Wtedy
(A)
( )
5
4
=
U
E
(B)
(
)
9
4
|
=
V
U
E
(C)
(
)
V
V
U
E
2
|
=
(D)
(
)
U
U
V
E
2
|
=
(E)
( )
2
7
=
V
E
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech
,
,N będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Zmienne
mają rozkład o wartości oczekiwanej 2 i wariancji 1. Zmienne
mają rozkład jednostajny na przedziale
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
K
K ,
,
,
,
2
1
n
I
I
I
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
K
K ,
,
,
,
2
1
n
I
I
I
( )
1
,
0
. Zmienna N ma rozkład ujemny
dwumianowy
(
)
n
n
n
n
N
P
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Γ
=
=
4
1
4
3
!
)
2
(
2
dla
K
,
2
,
1
,
0
=
n
.
Niech
.
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
=
=
∑
=
0
0
0
1
N
gdy
X
I
N
gdy
S
N
i
i
i
N
Wtedy
jest równa
(
N
Var S
)
(A)
9
8
(B)
9
4
(C)
3
4
(D)
9
10
(E)
18
17
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
W urnie znajduje się nieznana liczba N kul, wśród których jest 7 kul czerwonych.
Losujemy 6 kul i zliczamy X liczbę kul czerwonych. Weryfikujemy hipotezę H:
N=15 przy alternatywie, że K: N>15. Przy poziomie istotności
143
12
test jednostajnie
najmocniejszy odrzuca hipotezę H, gdy
(A)
1
<
X
(B)
2
<
X
(C)
3
<
X
(D)
3
>
X
(E) 4
>
X
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Na podstawie prostej próby losowej
testowano hipotezę
przy
alternatywie
, gdzie
jest parametrem odpowiadającym za wariancję
zmiennej losowej
.
10
2
1
,
,
,
X
X
X
K
2
:
2
0
=
σ
H
5
,
0
:
2
1
=
σ
H
2
σ
i
X
Jeżeli dodatkowo wiadomo, że zmienne losowe
mają rozkład zadany gęstością
i
X
⎩
⎨
⎧
≤
>
=
−
0
x
0
0
)
(
2
gdy
x
gdy
xe
x
f
x
θ
θ
θ
,
gdzie
0
>
θ
jest nieznanym parametrem, to przy poziomie istotności
05
,
0
=
α
, obszar
krytyczny testu opartego na ilorazie wiarogodności jest równy
(A)
25
,
13
10
1
<
∑
=
i
i
X
(B)
88
,
27
10
1
>
∑
=
i
i
X
(C)
15
,
9
10
1
>
∑
=
i
i
X
(D)
71
,
15
10
1
>
∑
=
i
i
X
(E)
43
,
5
10
1
<
∑
=
i
i
X
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Dysponujemy dwiema urnami: A i B. W urnie A są dwie kule białe i trzy czarne, w urnie B są
cztery kule białe i jedna czarna. Wykonujemy trzy etapowe doświadczenie:
1 etap: losujemy urnę (wylosowanie każdej urny jest jednakowo prawdopodobne);
2 etap: z wylosowanej urny ciągniemy 2 kule bez zwracania, a następnie wrzucamy do tej
urny 2 kule białe i 2 czarne;
3 etap: z urny, do której wrzuciliśmy kule, losujemy jedną kulę.
Okazało się, że wylosowana w trzecim etapie kula jest biała.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w drugim etapie wylosowano dwie kule jednego koloru.
(A) 0,2
(B) 0,4
(C) 0,5
(D) 0,6
(E) 0,3
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
7.
Niech
,
,
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
Pareto o gęstości
n
X
X
X
X
,
,
,
,
2
1
0
K
2
>
n
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
+
=
0
x
0
0
)
1
(
3
)
(
4
gdy
x
gdy
x
x
f
Niech
. Wtedy
{
}
n
X
X
X
X
U
,
,
,
,
min
2
1
0
K
=
)
1
|
(
0
=
X
U
E
jest równa
(A)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
+2
3
2
1
1
2
3
1
n
n
(B)
n
n
n
3
1
3
2
1
2
1
1
1
3
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
−
(C)
1
3
2
)
1
3
(
1
−
−
n
n
(D)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
+
−1
3
3
2
1
1
1
3
1
2
1
n
n
n
(E)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
−1
3
2
1
1
1
3
1
n
n
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
8.
Niech
,
, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie normalnym o wartości oczekiwanej 1 i nieznanej wariancji
.
Rozważamy rodzinę estymatorów parametru
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
2
≥
n
2
σ
σ postaci
∑
=
−
=
n
i
i
a
X
a
S
1
1 , przy czym a
jest liczbą dodatnią. Wyznaczyć
, tak by estymator
był estymatorem o
najmniejszym błędzie średniokwadratowym wśród estymatorów postaci
.
*
a
*
a
S
a
S
(A)
n
a
1
*
=
(B)
1
1
*
−
=
n
a
(C)
1
2
2
*
−
+
=
π
π
n
a
(D)
2
2
2
*
−
+
=
π
π
n
a
(E)
2
2
2
*
−
+
=
π
π
n
a
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
9.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie jednostajnym na przedziale
,
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
)
,
( b
a
b
a
<
i
. Rozważamy estymator
parametru
postaci
2
>
n
a
b
−
{
}
{
}
(
)
n
n
X
X
X
X
X
X
c
,
,
,
min
,
,
,
max
2
1
2
1
K
K
−
,
gdzie c dobrano tak, aby był to estymator nieobciążony.
Wariancja tego estymatora jest równa
A)
(
)
(
)(
)
1
1
2
2
−
+
−
n
n
a
b
(B)
(
)
(
) (
)
2
1
2
2
2
+
+
−
n
n
a
b
n
(C)
(
)
(
) (
)
2
1
2
2
2
+
−
−
n
n
a
b
n
(D)
(
)
(
)(
)
1
2
2
2
−
+
−
n
n
a
b
(E)
(
)
(
)(
)
2
1
2
2
+
+
−
n
n
a
b
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
10.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o
gęstości
10
2
1
,
,
,
X
X
X
K
( )
( )
⎩
⎨
⎧
∉
∈
=
−
0,1
x
0
1
,
0
)
(
1
gdy
x
gdy
x
x
f
θ
θ
θ
,
gdzie θ>0 jest nieznanym parametrem. Wyznaczamy przedział ufności dla parametru θ
postaci
[
]
θ
θ
ˆ
,
ˆ d
c
,
gdzie
jest estymatorem największej wiarogodności, a stałe c i d są
dobrane tak, aby
)
,
,
,
(
ˆ
ˆ
10
2
1
X
X
X
K
θ
θ
=
(
) (
)
05
,
0
ˆ
ˆ
=
>
=
<
θ
θ
θ
θ
θ
θ
d
P
c
P
. Wyznaczyć c i d.
(A)
i
54
,
0
=
c
57
,
1
=
d
(B)
i
39
,
0
=
c
83
,
1
=
d
(C)
i
11
,
0
=
c
11
,
1
=
d
(D)
i
23
,
0
=
c
21
,
2
=
d
(E)
i
27
,
0
=
c
29
,
1
=
d
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi
Imię i nazwisko : .................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ..............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Odpowiedź Punktacja
1 B
2 B
3 C
4 B
5 A
6 C
7 E
8 D
9 D
10 A
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
♦
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11